4.5 ダイアディック・グリーン関数を用いた電磁界の積分表示式
次のMaxwellの方程式
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E} = - j\omega \mu \VEC{H}
\\
&\nabla \times \VEC{H} = \VEC{J} + j\omega \epsilon \VEC{E}
\end{align}
から，$\VEC{E}$あるいは$\VEC{H}$を消去すると，一様媒質における電界$\VEC{E}$および磁界$\VEC{H}$の満たすべき方程式が得られ，次のようになる．
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E} - k^2 \VEC{E} = -j\omega \mu \VEC{J}
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H} - k^2 \VEC{H} = \nabla \times \VEC{J}
\end{align}
ただし，$k = \sqrt{\mu \epsilon}$．一方，ダイアディック・グリーン関数を再記して，
\begin{align}
&\nabla \times \DYA{G}_e = \DYA{G}_m
\\
&\nabla \times \DYA{G}_m = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_e
\end{align}
これらの式より，$\DYA{G}_e$あるいは$\DYA{G}_m$を消去すると，一様媒質における電界および磁界に対するダイアディック・グリーン関数$\DYA{G}_e$，$\DYA{G}_m$の満たすべき方程式が得られ，次のようになる．
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e - k^2 \DYA{G}_e = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \\
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_m - k^2 \DYA{G}_m = \nabla \times \big( \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\end{align}
ここで，ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を再記すると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{F} \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G} \big)
- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \DYA{G} \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \big( \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \big( \VEC{n} \times \DYA{G} \big)
- \big( \VEC{n} \times \VEC{F} \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G} \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
これより，
$\VEC{F} \equiv \VEC{E} (\VEC{r})$，$\DYA{G} \equiv \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')$
とおくと，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{E}(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \big( \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \VEC{n} \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
ここで，
$\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')$，
$\nabla \times \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r})$は，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')
= k^2 \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')+ \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\nonumber \\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r})
= k^2 \VEC{E}(\VEC{r}) -j\omega \VEC{J}(\VEC{r})
\end{align}
したがって，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{E}(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \iiint _V \Big\{ \VEC{E}(\VEC{r}) \cdot \big( k^2 \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')+ \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( k^2 \VEC{E}(\VEC{r}) -j\omega \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \VEC{E}(\VEC{r}')
+ j\omega \mu \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \big( \nabla \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \VEC{n} \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
次に，ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理の右辺（the right-hand term of the second vector-dyadic Green's theorem）を変形して，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{F} \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G} \big)
- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \DYA{G} \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \VEC{F} \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G} \big)
- \big( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \DYA{G} \Big\} dS
\label{eq:vecdyagreen2b}
\end{eqnarray}
これより，
$\VEC{F} \equiv \VEC{H} (\VEC{r})$，$\DYA{G} \equiv \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')$
とおくと，上式の左辺は，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
- \big( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dS
\label{eq:integral0}
\end{eqnarray}
ここで，
$\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')$，
$\nabla \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r})$は，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')
= k^2 \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')+ \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\nonumber \\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r})
= k^2 \VEC{H}(\VEC{r}) +\nabla \times \VEC{J}(\VEC{r})
\end{align}
これより，式\eqref{eq:integral0}の左辺は，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \iiint _V \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big( k^2 \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}')+ \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( k^2 \VEC{H}(\VEC{r}) +\nabla \times \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \VEC{H}(\VEC{r}')
- \iiint _V \big( \nabla \times \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\label{eq:integral}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:integral}の第2項の積分は，ダイアディック公式
\begin{gather}
\nabla \cdot (\VEC{a} \times \DYA{b})
= (\nabla \times \VEC{a}) \cdot \DYA{b} - \VEC{a} \cdot (\nabla \times \DYA{b})
\end{gather}
を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \big( \nabla \times \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& \iiint _V \nabla \cdot \big( \VEC{J} (\VEC{r}) \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) dV
+ \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{eqnarray}
ダイアディックの発散定理（the dyadic divergence theorem）より，上式の第1項の体積積分は面積積分に次のように変換できる．
\begin{eqnarray}
\iiint _V \nabla \cdot \big( \VEC{J} (\VEC{r}) \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) dV
&=& \oiint _S \VEC{n} \cdot \big( \VEC{J} (\VEC{r}) \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) dS
\nonumber \\
&=& \oiint _S \big( \VEC{n} \times \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dS
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}(\VEC{r}')
- \oiint _S \big( \VEC{n} \times \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dS
- \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\ \hspace{-4mm}
= \oiint _S \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
- \big( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dS
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{H}(\VEC{r}')
- \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \VEC{n} \times \big( \nabla \times \VEC{H}(\VEC{r}) - \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dS
\end{eqnarray}
これより，電界および磁界に関する式は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r}')
&=& - j\omega \mu \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&&+ \oiint _S \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big( \VEC{n} \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\label{eq:gee}
\\
\VEC{H}(\VEC{r}')
&=& \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&&+ \oiint _S \Big\{ \VEC{H}(\VEC{r}) \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- j\omega \epsilon \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dS
\label{eq:geh}
\end{eqnarray}