4.4 ダイアディック・グリーン関数の定義
ダイアディック形式のMaxwellの方程式
Maxwellの方程式を電流源$\VEC{J}_j \ (j=1,2,3)$，電荷$\rho _j$について示すと，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E}_j = - j\omega \mu \VEC{H}_j
\\
&\nabla \times \VEC{H}_j = \VEC{J}_j + j\omega \epsilon \VEC{E}_j
\\
&\nabla \cdot \VEC{H}_j = 0
\\
&\nabla \cdot \VEC{E}_j = \frac{\rho _j}{\epsilon}
\\
&\nabla \cdot \VEC{J}_j = - j\omega \rho _j
\end{align}
いま，各々のダイアディックおよびベクトルを次式で定義する．
\begin{eqnarray}
\DYA{E}
&\equiv& \sum _{j=1}^3 \VEC{E}_j \VEC{i}_j
= \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 E_{ij} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\\
\DYA{H}
&\equiv& \sum _{j=1}^3 \VEC{H}_j \VEC{i}_j
= \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 H_{ij} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\\
\DYA{J}
&\equiv& \sum _{j=1}^3 \VEC{J}_j \VEC{i}_j
= \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 J_{ij} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\\
\VECi{\rho}
&\equiv& \sum _{j=1}^3 \rho _j \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
ただし，$\VECi{\rho}$ は形式的なベクトル表示である．これより，
\begin{align}
&\nabla \times \DYA{E} = - j\omega \mu \DYA{H}
\\
&\nabla \times \DYA{H} = \DYA{J} + j\omega \epsilon \DYA{E}
\\
&\nabla \cdot \DYA{H} = 0
\\
&\nabla \cdot \DYA{E} = \frac{\VECi{\rho}}{\epsilon}
\\
&\nabla \cdot \DYA{J} = - j\omega \VECi{\rho}
\end{align}
ダイアディック・グリーン関数の定義
点$\VEC{r}=\VEC{r}'$における微小電流素子は，
\begin{gather}
\VEC{J}_j = c_j \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \VEC{i}_j \ \ \ \ \ (j=1,2,3)
\end{gather}
ここでは，係数$c_j$を
\begin{gather}
-j\omega \mu c_j = 1
\end{gather}
となるように決めると，
\begin{gather}
j\omega \mu \VEC{J}_j = j\omega \mu c_j \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \VEC{i}_j
= -\delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \VEC{i}_j
\end{gather}
これより，ダイアディック表示（dyadic form）では，
\begin{gather}
j\omega \mu \DYA{J} = - \sum _{j=1}^3 \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \VEC{i}_j \VEC{i}_j
=-\DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\label{eq:jdelta}
\end{gather}
このようなダイアディック微小電流素子がある場合の電界$\DYA{E}$を，
電界に対するダイアディック・グリーン関数（the dyadic Green function of the electric type or the electric dyadic Green function）$\DYA{G}_e$とする．
\begin{gather}
\DYA{G}_e \equiv \DYA{E} (\DYA{I} \delta )
\label{eq:ge}
\end{gather}
また，このときの磁界$\DYA{H}$を基に
\begin{gather}
\DYA{G}_m \equiv -j\omega \mu \DYA{H} (\DYA{I} \delta )
\label{eq:gm}
\end{gather}
より，磁界に対するダイアディック・グリーン関数（the dyadic Green function of the magnetic type or the magnetic dyadic Green function）$\DYA{G}_m$も定義する．電荷については，
\begin{eqnarray}
\VECi{\rho}
&=& \frac{\nabla \cdot \DYA{J}}{-j\omega}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{-j\omega} \nabla \cdot \frac{-\DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')}{j\omega \mu}
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{\omega ^2 \mu} \nabla \cdot \big( \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\end{eqnarray}
ここで，ダイアディック公式 $\nabla \cdot (f \DYA{I}) = \nabla f$ より，
\begin{gather}
\VECi{\rho} = -\frac{\epsilon}{k^2} \nabla \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\label{eq:vector_rho}
\end{gather}
さて，$\nabla \times \DYA{E} = -j\omega \mu \DYA{H}$に，
式\eqref{eq:ge}の$\DYA{G}_e$，および式\eqref{eq:gm}の$\DYA{G}_m$を代入すると，
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{G}_e = \DYA{G}_m
\label{eq:nablagegm}
\end{gather}
同様にして，$\nabla \times \DYA{H} = \DYA{J} + j\omega \mu \DYA{E}$に，$\DYA{G}_e$，$\DYA{G}_m$，および$\DYA{J}$の式を代入すると，
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{G}_m = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_e
\label{eq:nablagmge}
\end{gather}
さらに，$\nabla \cdot \DYA{E}=\VECi{\rho}/\epsilon$に，
$\DYA{G}_e$，および式\eqref{eq:vector_rho}の$\VECi{\rho}$を代入すると，
\begin{gather}
\nabla \cdot \DYA{G}_e = -\frac{1}{k^2} \nabla \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{gather}
また，$\nabla \cdot \DYA{H}=0$より，
\begin{gather}
\nabla \cdot \DYA{G}_m = 0
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\DYA{G}_e = \DYA{G}_e (\VEC{r},\VEC{r}') = \sum _{j=1}^3 \VEC{G}_{e,j} \VEC{i}_j,
\\
\DYA{G}_m = \DYA{G}_m (\VEC{r},\VEC{r}') = \sum _{j=1}^3 \VEC{G}_{m,j} \VEC{i}_j
\end{gather}
ただし，$\VEC{G}_{e,j}$，$\VEC{G}_{m,j}$は電界および磁界に対するベクトル・グリーン関数（the vector Green functions of the electric type and the magnetic type）を示す．
また，$\VEC{r}$は観測点の位置ベクトル，$\VEC{r}'$は波源の位置ベクトルを示す．
ダイアディック・グリーン関数の境界条件
境界条件については，領域$(+)$，$(-)$に対して，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \big( \VEC{E}^{(+)} - \VEC{E}^{(-)} \big) = 0, \ \ \ \ \
\VEC{n} \times \big( \VEC{H}^{(+)} - \VEC{H}^{(-)} \big) = \VEC{J}_s
\end{gather}
ただし，$\VEC{n}$は領域$(+)$側を正にとる法線ベクトル，$\VEC{J}_s$は境界面上の面電流分布を示す．
これを基にして，$\DYA{G}_e$に関する境界条件（boundary condition）は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{n} \times \big( \DYA{G}_e^{(+)} - \DYA{G}_e^{(-)} \big) = 0
\end{gather}
境界面上$\VEC{r}=\VEC{r}'$に微小電流素子をおいた場合，面電流に関する式はダイアディック表示で，
\begin{gather}
j\omega \mu \DYA{J}_s = - ( \DYA{I}-\VEC{n}\VEC{n}) \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
= - \DYA{I}_s \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{gather}
このとき，$\delta (\VEC{r}-\VEC{r}')$は2次元のデルタ関数である．
\begin{gather}
\iint \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') dS = 1
\end{gather}
よって，$\DYA{G}_m$に関する境界条件は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{n} \times \big( \DYA{G}_m^{(+)} - \DYA{G}_m^{(-)} \big) = \DYA{I}_s \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{gather}