ダイアディック・グリーン関数の定義

4.4　ダイアディック・グリーン関数の定義

ダイアディック形式のMaxwellの方程式

　Maxwellの方程式を電流源

J_{j} (j = 1, 2, 3)

，電荷

ρ_{j}

について示すと，

\begin{aligned} (1) & \nabla \times E_{j} = - j ω μ H_{j} \\ (2) & \nabla \times H_{j} = J_{j} + j ω ϵ E_{j} \\ (3) & \nabla \cdot H_{j} = 0 \\ (4) & \nabla \cdot E_{j} = \frac{ρ_{j}}{ϵ} \\ (5) & \nabla \cdot J_{j} = - j ω ρ_{j} \end{aligned}

いま，各々のダイアディックおよびベクトルを次式で定義する．

\begin{array}{rcl} (6) & \tilde{\tilde{E}} & \equiv & \sum_{j = 1}^{3} E_{j} i_{j} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{i = 1}^{3} E_{i j} i_{i} i_{j} \\ (7) & \tilde{\tilde{H}} & \equiv & \sum_{j = 1}^{3} H_{j} i_{j} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{i = 1}^{3} H_{i j} i_{i} i_{j} \\ (8) & \tilde{\tilde{J}} & \equiv & \sum_{j = 1}^{3} J_{j} i_{j} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{i = 1}^{3} J_{i j} i_{i} i_{j} \\ (9) & ρ & \equiv & \sum_{j = 1}^{3} ρ_{j} i_{j} \end{array}

ただし，

ρ

は形式的なベクトル表示である．これより，

\begin{aligned} (10) & \nabla \times \tilde{\tilde{E}} = - j ω μ \tilde{\tilde{H}} \\ (11) & \nabla \times \tilde{\tilde{H}} = \tilde{\tilde{J}} + j ω ϵ \tilde{\tilde{E}} \\ (12) & \nabla \cdot \tilde{\tilde{H}} = 0 \\ (13) & \nabla \cdot \tilde{\tilde{E}} = \frac{ρ}{ϵ} \\ (14) & \nabla \cdot \tilde{\tilde{J}} = - j ω ρ \end{aligned}

ダイアディック・グリーン関数の定義

　点

r = r^{'}

における微小電流素子は，

\begin{matrix} (15) & J_{j} = c_{j} δ (r - r^{'}) i_{j} (j = 1, 2, 3) \end{matrix}

ここでは，係数

c_{j}

を

\begin{matrix} (16) & - j ω μ c_{j} = 1 \end{matrix}

となるように決めると，

\begin{matrix} (17) & j ω μ J_{j} = j ω μ c_{j} δ (r - r^{'}) i_{j} = - δ (r - r^{'}) i_{j} \end{matrix}

これより，ダイアディック表示（dyadic form）では，

\begin{matrix} (18) & j ω μ \tilde{\tilde{J}} = - \sum_{j = 1}^{3} δ (r - r^{'}) i_{j} i_{j} = - \tilde{\tilde{I}} δ (r - r^{'}) \end{matrix}

このようなダイアディック微小電流素子がある場合の電界

\tilde{\tilde{E}}

を， 電界に対するダイアディック・グリーン関数（the dyadic Green function of the electric type or the electric dyadic Green function）

{\tilde{\tilde{G}}}_{e}

とする．

\begin{matrix} (19) & {\tilde{\tilde{G}}}_{e} \equiv \tilde{\tilde{E}} (\tilde{\tilde{I}} δ) \end{matrix}

また，このときの磁界

\tilde{\tilde{H}}

を基に

\begin{matrix} (20) & {\tilde{\tilde{G}}}_{m} \equiv - j ω μ \tilde{\tilde{H}} (\tilde{\tilde{I}} δ) \end{matrix}

より，磁界に対するダイアディック・グリーン関数（the dyadic Green function of the magnetic type or the magnetic dyadic Green function）

{\tilde{\tilde{G}}}_{m}

も定義する．電荷については，

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{\nabla \cdot \tilde{\tilde{J}}}{- j ω} \\ = & \frac{1}{- j ω} \nabla \cdot \frac{- \tilde{\tilde{I}} δ (r - r^{'})}{j ω μ} \\ (21) & = & - \frac{1}{ω^{2} μ} \nabla \cdot (\tilde{\tilde{I}} δ (r - r^{'})) \end{array}

ここで，ダイアディック公式

\nabla \cdot (f \tilde{\tilde{I}}) = \nabla f

より，

\begin{matrix} (22) & ρ = - \frac{ϵ}{k^{2}} \nabla δ (r - r^{'}) \end{matrix}

さて，

\nabla \times \tilde{\tilde{E}} = - j ω μ \tilde{\tilde{H}}

に，式

(19)

の

{\tilde{\tilde{G}}}_{e}

，および式

(20)

の

{\tilde{\tilde{G}}}_{m}

を代入すると，

\begin{matrix} (23) & \nabla \times {\tilde{\tilde{G}}}_{e} = {\tilde{\tilde{G}}}_{m} \end{matrix}

同様にして，

\nabla \times \tilde{\tilde{H}} = \tilde{\tilde{J}} + j ω μ \tilde{\tilde{E}}

に，

{\tilde{\tilde{G}}}_{e}

，

{\tilde{\tilde{G}}}_{m}

，および

\tilde{\tilde{J}}

の式を代入すると，

\begin{matrix} (24) & \nabla \times {\tilde{\tilde{G}}}_{m} = \tilde{\tilde{I}} δ (r - r^{'}) + k^{2} {\tilde{\tilde{G}}}_{e} \end{matrix}

さらに，

\nabla \cdot \tilde{\tilde{E}} = ρ / ϵ

に，

{\tilde{\tilde{G}}}_{e}

，および式

(22)

の

ρ

を代入すると，

\begin{matrix} (25) & \nabla \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{e} = - \frac{1}{k^{2}} \nabla δ (r - r^{'}) \end{matrix}

また，

\nabla \cdot \tilde{\tilde{H}} = 0

より，

\begin{matrix} (26) & \nabla \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{m} = 0 \end{matrix}

これより，

\begin{matrix} (27) & {\tilde{\tilde{G}}}_{e} = {\tilde{\tilde{G}}}_{e} (r, r^{'}) = \sum_{j = 1}^{3} G_{e, j} i_{j}, \\ (28) & {\tilde{\tilde{G}}}_{m} = {\tilde{\tilde{G}}}_{m} (r, r^{'}) = \sum_{j = 1}^{3} G_{m, j} i_{j} \end{matrix}

ただし，

G_{e, j}

，

G_{m, j}

は電界および磁界に対するベクトル・グリーン関数（the vector Green functions of the electric type and the magnetic type）を示す．また，

r

は観測点の位置ベクトル，

r^{'}

は波源の位置ベクトルを示す．

ダイアディック・グリーン関数の境界条件

　境界条件については，領域

(+)

，

(-)

に対して，

\begin{matrix} (29) & n \times (E^{(+)} - E^{(-)}) = 0, n \times (H^{(+)} - H^{(-)}) = J_{s} \end{matrix}

ただし，

n

は領域

(+)

側を正にとる法線ベクトル，

J_{s}

は境界面上の面電流分布を示す．これを基にして，

{\tilde{\tilde{G}}}_{e}

に関する境界条件（boundary condition）は次のようになる．

\begin{matrix} (30) & n \times ({\tilde{\tilde{G}}}_{e}^{(+)} - {\tilde{\tilde{G}}}_{e}^{(-)}) = 0 \end{matrix}

境界面上

r = r^{'}

に微小電流素子をおいた場合，面電流に関する式はダイアディック表示で，

\begin{matrix} (31) & j ω μ {\tilde{\tilde{J}}}_{s} = - (\tilde{\tilde{I}} - n n) δ (r - r^{'}) = - {\tilde{\tilde{I}}}_{s} δ (r - r^{'}) \end{matrix}

このとき，

δ (r - r^{'})

は2次元のデルタ関数である．

\begin{matrix} (32) & \iint δ (r - r^{'}) d S = 1 \end{matrix}

よって，

{\tilde{\tilde{G}}}_{m}

に関する境界条件は次のようになる．

\begin{matrix} (33) & n \times ({\tilde{\tilde{G}}}_{m}^{(+)} - {\tilde{\tilde{G}}}_{m}^{(-)}) = {\tilde{\tilde{I}}}_{s} δ (r - r^{'}) \end{matrix}

4.4 ダイアディック・グリーン関数の定義

ダイアディック形式のMaxwellの方程式

ダイアディック・グリーン関数の定義

ダイアディック・グリーン関数の境界条件

4.4　ダイアディック・グリーン関数の定義