4.3 グリーンの定理の導出
ベクトル形式のグリーンの定理
ベクトル$\VEC{a}$，$\VEC{b}$については，次のような発散に関する関係式がある．
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{a} \times \VEC{b} )
= \VEC{b} \cdot \nabla \times \VEC{a} - \VEC{a} \cdot \nabla \times \VEC{b}
\end{gather}
いま，ベクトル$\VEC{a}$の代わりに$\VEC{F}$，
ベクトル$\VEC{b}$の代わりに$\nabla \times \VEC{G}$ を考えると，
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} )
= (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} )
\end{gather}
両辺を交換し，体積積分すると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \iiint _V \nabla \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} ) dV
\end{eqnarray}
ガウスの発散定理（divergence theorem）を用いて上式の右辺を面積分で表すと，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \VEC{n} \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G} ) dS
\end{eqnarray}
これをベクトル形式のグリーンの第一定理（the vector Green's theorem of the first kind）という．
ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの定理
ベクトル形式のグリーンの第一定理において，3つのベクトル$\VEC{G}_j \ (j=1,2,3)$を考えると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{F}) \cdot (\nabla \times \VEC{G}_j) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{G}_j ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \VEC{n} \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G}_j ) dS \ \ \ (j=1,2,3)
\end{eqnarray}
これらを成分とするダイアディク$\DYA{G}$を，
\begin{gather}
\DYA{G} = \sum _{j=1}^3 \VEC{G}_j \VEC{i}_j
\end{gather}
とおくと，ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第一定理が得られ，次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{F}) \cdot (\nabla \times \DYA{G}) - \VEC{F} \cdot \nabla \times ( \nabla \times \DYA{G} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \VEC{n} \cdot ( \VEC{F} \times \nabla \times \DYA{G} ) dS
\end{eqnarray}
また，$\VEC{F}$と$\VEC{G}_j$を入れ換えると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \VEC{G}_j) \cdot (\nabla \times \VEC{F}) - \VEC{G}_j \cdot \nabla \times ( \nabla \times \VEC{F} ) \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \VEC{n} \cdot ( \VEC{G}_j \times \nabla \times \VEC{F} ) dS \ \ \ (j=1,2,3)
\end{eqnarray}
ベクトル$\VEC{G}_j$が最後になるように変形すると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V [ (\nabla \times \VEC{F}) \cdot (\nabla \times \VEC{G}_j) - \{ \nabla \times ( \nabla \times \VEC{F} ) \} \cdot \VEC{G}_j ] dV
\nonumber \\
&=& -\oiint _S \VEC{n} \cdot \{ ( \nabla \times \VEC{F} ) \times \VEC{G}_j \} dS \ \ \ (j=1,2,3)
\end{eqnarray}
これより，ベクトル形式のグリーンの第二定理（the vector Green's theorem of the second kind），あるいはストラットンの定理（the Stratton's theorem）は
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V [ \VEC{F} \cdot \nabla \times \nabla \times \VEC{G}_j
- ( \nabla \times \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{G}_j ] \ dV
\nonumber \\
&=& -\oiint _S \VEC{n} \cdot
\{ (\nabla \times \VEC{F} ) \times \VEC{G}_j + \VEC{F} \times \nabla \times \VEC{G}_j \} \ dS
\nonumber \\
&=& -\oiint _S
\{ ( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{G}_j
+ ( \VEC{n} \times \VEC{F} ) \cdot \nabla \times \VEC{G}_j \} \ dS \ \ \ (j=1,2,3)
\end{eqnarray}
これらを成分とするダイアディク$\DYA{G}$を用いて，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V [\VEC{F} \cdot \nabla \times \nabla \times \DYA{G}
- ( \nabla \times \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \DYA{G} ] \ dV
\nonumber \\
&=& -\oiint _S
\{ ( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \DYA{G}
+ ( \VEC{n} \times \VEC{F} ) \cdot \nabla \times \DYA{G} \} \ dS
\label{eq:vecdyagreen2}
\end{eqnarray}
これは，ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理（the vector-dyadic Green's theorem of the second kind）である．
ダイアディック形式のグリーンの定理
さらに，全てダイアディクの表示式を求める．まず，$\VEC{F}_j \ (j=1,2,3)$が最後になるようダイアディクの転置を用いてベクトル・ダイアディク形式のグリーンの第一定理を変形すると，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \DYA{G}) \cdot (\nabla \times \VEC{F}_j)^T- (\nabla \times \nabla \times \DYA{G})^T \cdot \VEC{F}_j \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S (\VEC{n} \times \VEC{F}_j) \cdot (\nabla \times \DYA{G}) dS
= \oiint _S (\nabla \times \DYA{G})^T \cdot (\VEC{n} \times \VEC{F}_j) dS
\end{eqnarray}
これらを成分とするダイアディク$\DYA{F}$を，次のようにおく．
\begin{gather}
\DYA{F} = \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j
\end{gather}
これより，ダイアディクス形式のグリーンの第一定理（the dyadic-dyadic Green's theorem of the first kind）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \{ (\nabla \times \DYA{G}) \cdot (\nabla \times \DYA{F})^T- (\nabla \times \nabla \times \DYA{G})^T \cdot \DYA{F} \} dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S (\nabla \times \DYA{G})^T \cdot (\VEC{n} \times \DYA{F}) dS
\end{eqnarray}
また，ダイアディク形式のグリーンの第二定理（the dyadic-dyadic Green's theorem of the second kind ）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V (\nabla \times \nabla \times \DYA{G})^T \cdot \DYA{F}
- \DYA{G}^T \cdot ( \nabla \times \nabla \times \DYA{F}) \ dV
\nonumber \\
&=& -\oiint _S
\{ \DYA{G}^T \cdot (\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{F} )
+ (\nabla \times \DYA{G})^T \cdot (\VEC{n} \times \DYA{F}) \} \ dS
\end{eqnarray}