4.2 ダイアディック解析
ダイアディック解析におけるスカラ積：$\VEC{a} \cdot \DYA{F}$, $\DYA{F} \cdot \VEC{a}$
ベクトル$\VEC{a}$とダイアディック$\DYA{F}$のスカラ積は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \cdot \DYA{F}
&=& \VEC{a} \cdot \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \VEC{a} \cdot \VEC{F}_j \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3 \right)
\cdot \left( F_{1j} \VEC{i}_1 + F_{2j} \VEC{i}_2 + F_{3j} \VEC{i}_3 \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( a_1 F_{1j} + a_2 F_{2j} + a_3 F_{3j} \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 a_i F_{ij} \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
この場合，スカラ積はベクトルとなる．逆に，ダイアディック$\DYA{F}$とベクトル$\VEC{a}$のスカラ積は，
\begin{eqnarray}
\DYA{F} \cdot \VEC{a}
&=& \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right) \cdot \VEC{a}
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \left( \VEC{i}_j \cdot \VEC{a} \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( F_{1j} \VEC{i}_1 + F_{2j} \VEC{i}_2 + F_{3j} \VEC{i}_3 \right)
\left\{ \VEC{i}_j \cdot \left( a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3 \right) \right\}
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( F_{1j} \VEC{i}_1 + F_{2j} \VEC{i}_2 + F_{3j} \VEC{i}_3 \right) a_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 a_j F_{ij} \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
これもベクトルとなる．対称ダイアディックの場合，$\VEC{a} \cdot \DYA{F}$と$\DYA{F} \cdot \VEC{a}$は等しいが，一般には，両者は等しくない．上式の最後の項において，$i$，$j$を入れ換えて，
\begin{gather}
\DYA{F} \cdot \VEC{a}
= \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 a_i F_{ji} \VEC{i}_j
\end{gather}
先に求めた$\VEC{a} \cdot \DYA{F}$と比較すると，$F_{ji}$の添え字を入れ換えたものとなっているので，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \DYA{F}^T
= \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 a_i F_{ji} \VEC{i}_j
= \DYA{F} \cdot \VEC{a}
\label{eq:aft-fa}
\end{gather}
対称ダイアディック$\DYA{F}_s$では，$\DYA{F}_s^T = \DYA{F}_s$ゆえ，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \DYA{F}_s^T = \VEC{a} \cdot \DYA{F}_s = \DYA{F}_s \cdot \VEC{a}
\end{gather}
つまり，この場合にはスカラ積で交換できる．
また，$\DYA{F}_s = \DYA{I}$の場合，$\DYA{I} = \DYA{I}^T$ゆえ，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \DYA{I} = \DYA{I} \cdot \VEC{a}
\end{gather}
上式の左辺について，
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \cdot \DYA{I}
&=& \left( a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3 \right) \cdot
\left( \VEC{i}_1 \VEC{i}_1 + \VEC{i}_2 \VEC{i}_2 + \VEC{i}_3 \VEC{i}_3 \right)
\nonumber \\
&=& a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \VEC{a}
\end{eqnarray}
また，右辺について，
\begin{eqnarray}
\DYA{I} \cdot \VEC{a}
&=& \left( \VEC{i}_1 \VEC{i}_1 + \VEC{i}_2 \VEC{i}_2 + \VEC{i}_3 \VEC{i}_3 \right)
\cdot \left( a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3 \right)
\nonumber \\
&=& a_1 \VEC{i}_1 + a_2 \VEC{i}_2 + a_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \VEC{a}
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \DYA{I} = \DYA{I} \cdot \VEC{a} = \VEC{a}
\end{gather}
ダイアディック解析におけるベクトル積：$\VEC{a} \times \DYA{F}$，$\DYA{F} \times \VEC{a}$
次に，ベクトル$\VEC{a}$とダイアディク$\DYA{F}$のベクトル積は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \times \DYA{F}
&=& \VEC{a} \times \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \VEC{a} \times \VEC{F}_j \right) \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
同様にして，$\DYA{F} \times \VEC{a}$は，
\begin{eqnarray}
\DYA{F} \times \VEC{a}
&=& \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right) \times \VEC{a}
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \left( \VEC{i}_j \times \VEC{a} \right)
\end{eqnarray}
上のように，ベクトル積の結果はダイアディクとなる（スカラ積の結果はベクトルである）．
ダイアディック解析における3重積
ベクトル解析において，ベクトルの3重積は，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \left( \VEC{b} \times \VEC{c} \right)
= \VEC{b} \cdot \left( \VEC{c} \times \VEC{a} \right)
= \VEC{c} \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right)
\end{gather}
いま，ベクトル$\VEC{c}$に着目して，
$\VEC{c}$が式の最後になるよう書くと，
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \left( \VEC{b} \times \VEC{c} \right)
= -\VEC{b} \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{c} \right)
= \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right) \cdot \VEC{c}
\end{gather}
ダイアディクのベクトル成分$\VEC{c} = \VEC{F}_j \ (j=1,2,3)$を考えると．
\begin{gather}
\VEC{a} \cdot \left( \VEC{b} \times \VEC{F}_j \right)
= -\VEC{b} \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{F}_j \right)
= \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right) \cdot \VEC{F}_j \ \ \ (j=1,2,3)
\end{gather}
これらをベクトル成分として，ダイアディクで表すと，
\begin{eqnarray}
\sum _{j=1}^3 \left\{ \VEC{a} \cdot \left( \VEC{b} \times \VEC{F}_j \right) \right\} \VEC{i}_j
&=& -\sum _{j=1}^3 \left\{ \VEC{b} \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{F}_j \right) \right\} \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left\{ \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right) \cdot \VEC{F}_j \right\} \VEC{i}_j
\nonumber \\
\VEC{a} \cdot \left\{ \VEC{b} \times \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right) \right\}
&=& -\VEC{b} \cdot \left\{ \VEC{a} \times \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right) \right\}
\nonumber \\
&=& \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right) \cdot \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right)
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \cdot \left( \VEC{b} \times \DYA{F} \right)
&=& -\VEC{b} \cdot \left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)
\nonumber \\
&=& \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right) \cdot \DYA{F}
\nonumber \\
&=& \left( \VEC{b} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \VEC{a}
\nonumber \\
&=& -\left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \VEC{b}
\nonumber \\
&=& \DYA{F}^T \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{b} \right)
\end{eqnarray}
ここで，最後の3つの項は，ダイアディクの転置の性質を用いている．さらに，最後の2項については，$\VEC{b} = \VEC{b}_j$とおくと，
\begin{gather}
-\left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \VEC{b}_j
= \DYA{F}^T \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{b}_j \right) \ \ \ (j=1,2,3)
\end{gather}
これらをベクトル成分とするダイアディクを考えると，
\begin{gather}
-\sum _{j=1}^3 \left\{ \left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \VEC{b}_j \right\} \VEC{i}_j
= \sum _{j=1}^3 \left\{ \DYA{F}^T \cdot \left( \VEC{a} \times \VEC{b}_j \right) \right\} \VEC{i}_j
\nonumber \\
-\left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{b}_j \VEC{i}_j \right)
= \DYA{F}^T \cdot \left\{ \VEC{a} \times \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{b}_j \VEC{i}_j \right) \right\} \\
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
-\left( \VEC{a} \times \DYA{F} \right)^T \cdot \DYA{b}
= \DYA{F}^T \cdot \left( \VEC{a} \times \DYA{b} \right)
\end{gather}
ダイアディックの発散：$\nabla \cdot \DYA{F}$
ダイアディック関数$\DYA{F}$の発散$(\nabla \cdot \DYA{F})$は，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \DYA{F}
&=& \nabla \cdot \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \nabla \cdot \VEC{F}_j \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \left( \nabla \cdot \VEC{F}_1 \right) \VEC{i}_1 + \left( \nabla \cdot \VEC{F}_2 \right) \VEC{i}_2
+ \left( \nabla \cdot \VEC{F}_3 \right) \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \left\{ \nabla \cdot \left( \sum _{i=1}^3 F_{i1} \VEC{i}_i \right) \right\} \VEC{i}_1
\nonumber \\
&&+ \left\{ \nabla \cdot \left( \sum _{i=1}^3 F_{i2} \VEC{i}_i \right) \right\} \VEC{i}_2
+ \left\{ \nabla \cdot \left( \sum _{i=1}^3 F_{i3} \VEC{i}_i \right) \right\} \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \left( \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_{i1}}{\partial x_i} \right) \VEC{i}_1
+ \left( \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_{i2}}{\partial x_i} \right) \VEC{i}_2
+ \left( \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_{i3}}{\partial x_i} \right) \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_{ij}}{\partial x_i} \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
となり，ベクトル関数で表される．
ダイアディックの回転：$\nabla \times \DYA{F}$
ダイアディック関数$\DYA{F}$の回転$(\nabla \times \DYA{F})$は，
\begin{eqnarray}
\nabla \times \DYA{F}
&=& \nabla \times \left( \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \nabla \times \VEC{F}_j \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left\{ \nabla \times \left( \sum _{i=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_i \right) \right\} \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left\{ \sum _{i=1}^3 \left( \nabla \times F_{ij} \VEC{i}_i \right) \right\} \VEC{i}_j
\label{eq:rotdyadic}
\end{eqnarray}
ここで，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times F_{ij} \VEC{i}_i = \nabla F_{ij} \times \VEC{i}_i
\end{gather}
を用いると，次式が得られる．
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{F}
= \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 \left( \nabla F_{ij} \times \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_j
\end{gather}
ダイアディックの回転は，ダイアディックで表される．
ベクトルの勾配：$\nabla \VEC{F}$
ベクトル関数$\VEC{F}$の勾配$(\nabla \VEC{F})$は，
\begin{eqnarray}
\nabla \VEC{F}
&=& \nabla \left( \sum _{j=1}^3 F_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \left( \sum _{j=1}^3 \nabla F_j \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \frac{\partial F_j}{\partial x_1} \VEC{i}_1
+ \frac{\partial F_j}{\partial x_2} \VEC{i}_2 + \frac{\partial F_j}{\partial x_3} \VEC{i}_3 \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
となり，ダイアディック関数で表される．いま，ダイアディック関数$\DYA{F}$が，
$\DYA{F} = f \DYA{I}$,
で定義されているとき，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \DYA{F}
&=& \nabla \cdot \left( f \DYA{I} \right)
\nonumber \\
&=& \nabla \cdot \left( f \sum _{i=1}^3 \VEC{i}_i \VEC{i}_i \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \nabla \cdot \left( f \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_i
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \left( \nabla f \cdot \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_i
\nonumber \\
&=& \nabla f
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\nabla \times \DYA{F}
&=& \nabla \times \left( f \DYA{I} \right)
\nonumber \\
&=& \nabla \times \left( f \sum _{i=1}^3 \VEC{i}_i \VEC{i}_i \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \nabla \times \left( f \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_i
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \left( \nabla f \times \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_i
\nonumber \\
&=& \nabla f \times \DYA{I}
\end{eqnarray}