4.10 第3種ダイアディック・グリーン関数
異なる媒質の一方に電流源がある場合のダイアディック・グリーン関数
図に示すように，異なる媒質におけるダイアディック・グリーン関数は，観測点$\VEC{r}$および波源$\VEC{r}'$のある領域を肩文字に記して，
$\DYA{G}_e^{(11)}$，$\DYA{G}_e^{(12)}$，$\DYA{G}_e^{(21)}$，$\DYA{G}_e^{(22)}$，
$\DYA{G}_m^{(11)}$，$\DYA{G}_m^{(12)}$，$\DYA{G}_m^{(21)}$，$\DYA{G}_m^{(22)}$
で表される．これらを第3種ダイアディック・グリーン関数（the dyadic Green functions of the third kind）という．このとき，第1，2種の添え字$1, 2$に対応するものは通常，省略される．
異なる媒質の一方に電流源がある境界値問題 (case C)
波源が領域 #1にある場合，電磁界の満たすべき方程式は次のようになる．
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{E}_1(\VEC{r}) = -j\omega \mu _1 \VEC{J}_1(\VEC{r})
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) = 0
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{H}_1(\VEC{r}) = \nabla \times \VEC{J}_1(\VEC{r})
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{H}_2(\VEC{r}) = 0
\end{align}
あるいは，波源が領域 #2にある場合，電磁界の満たすべき方程式は次のようになる．
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{E}_1(\VEC{r}) = 0
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) = -j\omega \mu _2 \VEC{J}_2(\VEC{r})
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{H}_1(\VEC{r}) = 0
\\
&\nabla \times \nabla \times \VEC{H}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{H}_2(\VEC{r}) = \nabla \times \VEC{J}_2(\VEC{r})
\end{align}
媒質の異なる２つの領域があって，一方に電流源がある問題について考える．
まず，観測点$\VEC{r}$を領域 #1，電流源のある点$\VEC{r}'$も領域 #1においたときの電界に対するダイアディック・グリーン関数を
$\DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}')$とすると，満たすべき方程式は次のようになる．
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_1^2 \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \ \ \ \ \ (\mbox{region #1})
\end{gather}
観測点$\VEC{r}$を領域 \#2，電流源の位置$\VEC{r}'$を領域 #1とした
$\DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}')$は，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_2^2 \DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{region #2})
\end{gather}
同様にして，観測点$\VEC{r}$を領域 #1，電流源の位置$\VEC{r}'$を領域 #2とした
$\DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}')$は，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_1^2 \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{region #1})
\end{gather}
観測点$\VEC{r}$を領域 #2，電流源の位置$\VEC{r}'$を領域 #2とした
$\DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}')$は，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_2^2 \DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \ \ \ \ \ (\mbox{region #2})
\end{gather}
ここで，ベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を再記して，
\begin{align}
&\int _V \Big\{ \VEC{F} \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G} \big)
- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \DYA{G} \Big\} dV
\nonumber \\
&= \oint _S \Big\{ \VEC{F} \cdot \big(\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G} \big)
- \big( \VEC{n} \times \nabla \times \VEC{F} \big) \cdot \DYA{G} \Big\} dS
\end{align}
領域 #1に電流源がある場合
領域 #1に電流源$\VEC{J}_1$がある場合のその領域 #1の電界を$\VEC{E}_1$とおくと，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{E}_1(\VEC{r}) = -j\omega \mu _1 \VEC{J}_1(\VEC{r})
\\
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_1^2 \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{align}
これより，$\VEC{F} \equiv \VEC{E}_1(\VEC{r})$,
$\DYA{G}_e \equiv \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}')$として，
領域 #1（$V_1$とおく）においてベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_1(\VEC{r}')
+ j\omega \mu _1 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& -\int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_1 \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\label{eq:e1g11-1}
\end{eqnarray}
ただし，積分範囲$V_1$は領域 #1にとり，この領域を囲む面は，無限遠と領域 #1，#2の境界面からなり，無限遠での積分が放射条件よりゼロとなるので，上式の面$S_i$は領域 #1，#2の境界面を示す．
また，法線ベクトル$\VEC{n}_1$は，面$S_i$の法線方向で領域 #2を向く方向を正にとる．
領域 #1に電流源$\VEC{J}_1$がある場合の領域 #2の電界を$\VEC{E}_2$とおき，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) = 0
\\
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_2^2 \DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}') = 0
\end{align}
同様にして，
$\VEC{F} \equiv \VEC{E}_2(\VEC{r})$，
$\DYA{G}_e \equiv \DYA{G}_e^{(21)}(\VEC{r},\VEC{r}')$として，
領域 #2（$V_2$とおく）においてベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\int _{V_2} \Big\{ \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \int _{V_2} \Big\{ \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot k_2^2 \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}')
- k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV = 0
\nonumber \\
&=& - \int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_2 \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{n}_2 \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\label{eq:e1g11-2}
\end{eqnarray}
ここで，領域 #1，#2の境界条件
\begin{align}
&\VEC{n}_1 \times \big( \VEC{E}_1 (\VEC{r}) - \VEC{E}_2 (\VEC{r}) \big) = 0
\\
&\VEC{n}_1 \times \big( \VEC{H}_1 (\VEC{r}) - \VEC{H}_2 (\VEC{r}) \big) = 0
\end{align}
より，
\begin{align}
&\VEC{n}_1 \times \big( \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') - \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) = 0
\\
&\VEC{n}_1 \times \left( \frac{1}{\mu _1} \nabla \times \DYA{G}_e^{(11)}(\VEC{r},\VEC{r}')
- \frac{1}{\mu _2} \nabla \times \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \right) = 0
\end{align}
ただし，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{E}_{1 \choose 2} (\VEC{r})
= -j\omega \mu _{1 \choose 2} (\VEC{r}) \VEC{H}_{1 \choose 2} (\VEC{r})
\end{gather}
これより，境界面$S_i$での面積分は等しくゼロになるので，
\begin{gather}
\VEC{E}_1(\VEC{r}')
+ j\omega \mu _1 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
= 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\VEC{E}_1(\VEC{r}') = -j\omega \mu _1 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{gather}
領域 #2
一方，$\VEC{E}_2$については，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) - k_1^2 \VEC{E}_1(\VEC{r}) = -j\omega \mu _1 \VEC{J}_1 (\VEC{r})
\\
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_1^2 \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= 0
\end{align}
そして，$\VEC{F} \equiv \VEC{E}_1(\VEC{r})$，
$\DYA{G}_e \equiv \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}')$とし，領域 #1においてベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\int _{V_1} \Big\{ \VEC{E}_1(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \int _{V_1} \Big\{ \VEC{E}_1(\VEC{r}) \cdot k_1^2 \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&-\big( k_1^2 \VEC{E}_1(\VEC{r}) - j\omega \mu _1 \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& j\omega \mu _1 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& - \int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_1 \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\label{eq:ge12si}
\end{eqnarray}
また，
\begin{align}
&\nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) - k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) = 0
\\
&\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}') - k_2^2 \DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}')
= \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{align}
同様にして，$\VEC{F} \equiv \VEC{E}_2(\VEC{r})$，
$\DYA{G}_e \equiv \DYA{G}_e^{(22)}(\VEC{r},\VEC{r}')$として，
領域 #2においてベクトル・ダイアディック形式のグリーンの第二定理を用いると，
\begin{eqnarray}
&&\int _{V_2} \Big\{ \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot \big( \nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- \big( \nabla \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \int _{V_2} \Big\{ \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot
\big( k_2^2 \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') + \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&&- k_2^2 \VEC{E}_2(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \Big\} dV
\nonumber \\
&=& \VEC{E}_2 (\VEC{r}')
\nonumber \\
&=& - \int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_2 \times \nabla \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{n}_2 \times \VEC{E}_2(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_2 (\VEC{r}')
&=& -\int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_1 \times j\omega \mu _2 \VEC{H}_2(\VEC{r}) \big)
\cdot \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \VEC{E}_2 (\VEC{r}) \cdot \big( \VEC{n}_1 \times \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{align}
&\VEC{n}_1 = -\VEC{n}_2
\\
&\nabla \times \VEC{E}_2 (\VEC{r}) = -j\omega \mu _2 \VEC{H}_2 (\VEC{r})
\end{align}
領域 #1，#2の境界条件より，
\begin{align}
&\VEC{n}_1 \times \big( \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') - \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) = 0
\\
&\VEC{n}_1 \times \left( \frac{1}{\mu _1} \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)}(\VEC{r},\VEC{r}')
- \frac{1}{\mu _2} \nabla \times \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \right) = 0
\end{align}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_2 (\VEC{r}')
&=& -\int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_1 \times j\omega \mu _2 \VEC{H}_1(\VEC{r}) \big)
\cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \VEC{E}_1 (\VEC{r}) \cdot \big( \VEC{n}_1 \times \frac{\mu _2}{\mu _1} \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\nonumber \\
&=& \frac{\mu _2}{\mu _1}
\int _{S_i} \Big\{ \big( \VEC{n}_1 \times \nabla \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) \Big\} dS
\end{eqnarray}
よって，式\eqref{eq:ge12si}より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_2 (\VEC{r}')
&=& \frac{\mu _2}{\mu _1} \ \left( -j\omega \mu _1 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV \right)
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu _2 \int _{V_1} \VEC{J}_1 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{eqnarray}
領域 #2に電流源がある場合
同様にして，領域 #2に電流源$\VEC{J}_2$がある場合は，$1$と$2$を入れ換えて，
\begin{gather}
\VEC{E}_2 (\VEC{r}')
= -j\omega \mu _2 \int _{V_2} \VEC{J}_2 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV \\
\VEC{E}_1 (\VEC{r}')
= -j\omega \mu _1 \int _{V_2} \VEC{J}_2 (\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{gather}
第3種ダイアディック・グリーン関数の対称性
第3種電界型ダイアディック・グリーン関数の対称性は，次のようになる（導出省略）．
\begin{gather}
\frac{1}{\mu_2} \left( \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r}',\VEC{r}) \right)^T
= \frac{1}{\mu_1} \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\end{gather}
また，第3種磁界型ダイアディック・グリーン関数の対称性は，次のようになる（導出省略）．
\begin{gather}
\frac{1}{k^2_2} \left( \nabla' \times \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r}',\VEC{r}) \right)^T
= \frac{1}{k^2_1} \nabla \times \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}')
\end{gather}
第3種グリーン関数の対称性などを用いれば，次式が得られる（導出省略）．
\begin{gather}
\VEC{E}_1 (\VEC{r})
= -j\omega \mu _1 \int _{V_1} \DYA{G}_e^{(11)} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}_1 (\VEC{r}') dV' \\
\VEC{E}_2 (\VEC{r})
= -j\omega \mu _2 \int _{V_1} \DYA{G}_e^{(21)} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}_1 (\VEC{r}') dV' \\
\VEC{E}_2 (\VEC{r})
= -j\omega \mu _2 \int _{V_2} \DYA{G}_e^{(22)} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}_2 (\VEC{r}') dV' \\
\VEC{E}_1 (\VEC{r})
= -j\omega \mu _1 \int _{V_2} \DYA{G}_e^{(12)} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}_2 (\VEC{r}') dV'
\end{gather}