4.9 第1種および第2種ダイアディック・グリーン関数
第1種電界型ダイアディック・グリーン関数（完全導体）
積分領域$V$を，面$S_d$と面$S_\infty$に囲まれた領域にとり，面$S_\infty$を無限遠とすると，面積分の項は，面$S_\infty$上の積分が放射条件によりゼロとなり，
面$S_d$のみとなる．さらに，面$S_d$で次のような境界条件を満たすグリーン関数を第1種電界型グリーン関数（electric dyadic Green function of the first kind）といい，$\DYA{G}_{e1}$とおくと，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') =0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S_d)
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r}')
&=& - j\omega \mu \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&&- \oint _{S_d} \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) dS
\end{eqnarray}
いま，面$S_d$が完全導体の場合，電界の境界条件
$\VEC{n} \times \VEC{E} (\VEC{r}) =0$ (on $S_d$)
より，面$S_d$上の面積分は完全にゼロとなり，電界$\VEC{E}$は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}(\VEC{r}')
= - j\omega \mu \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{gather}
グリーン関数の対称性などを用いれば，次式が得られる（導出省略）．
\begin{gather}
\VEC{E}(\VEC{r})
= - j\omega \mu \int _V \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{gather}
完全導体による散乱問題 (case A)
第1種電界型ダイアディック・グリーン関数（開口面）
また，別の問題として，領域$V$には電流源がなく，$S_d$内部に電流源があり，面$S_d$の一部に開口$S_A$がある場合，体積積分の項がゼロとなり，
\begin{gather}
\VEC{E}(\VEC{r}')
=- \int _{S_A} \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \big( \nabla \times \DYA{G}_{e1} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) dS
\end{gather}
波源は円筒内部にあり，開口$S_A$上の電界 $\VEC{E}(\VEC{r})$より，
磁気的な等価電流$\VEC{E}(\VEC{r}) \times \VEC{n}$を考えればよい．
完全導体表面の開口面からの放射 (case B)
第2種電界型ダイアディック・グリーン関数
面$S_d$で次のような境界条件を満たすグリーン関数は第2種グリーン関数（electric dyadic Green function of the second kind）といい，$\DYA{G}_{e2}$とおくと，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') =0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S_d)
\label{eq:ge2sd}
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}(\VEC{r}')
&=& \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&&- j\omega \epsilon \oint _{S_d} \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') dS
\label{eq:gehs}
\end{eqnarray}
いま，面$S_d$が完全導体の場合，電界の境界条件
$\VEC{n} \times \VEC{E} (\VEC{r}) =0$ (on $S_d$)
より，面$S_d$上の面積分は完全にゼロとなり，磁界$\VEC{H}$は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{H}(\VEC{r}')
= \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{gather}
また，別の問題として，領域$V$には電流源がなく，$S_d$内部に電流源があり，面$S_d$の一部に開口$S_A$がある場合，体積積分の項がゼロとなり，
\begin{gather}
\VEC{H}(\VEC{r}')
= - j\omega \epsilon \oint _{S_A} \big( \VEC{n} \times \VEC{E}(\VEC{r}) \big) \cdot \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') dS
\end{gather}
第1種および第2種磁界型ダイアディック・グリーン関数
第1種グリーン関数の境界条件を，磁界に対するダイアディック・グリーン関数に適用したものを$\DYA{G}_{m1}$とすると，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \DYA{G}_{m1} (\VEC{r},\VEC{r}') =0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S_d)
\end{gather}
電界および磁界に対するダイアディック・グリーン関数$\DYA{G}_{e}$，$\DYA{G}_{m}$との関係式
$\nabla \times \DYA{G}_{e} = \DYA{G}_{m}$
より，上式に対応するのは，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \big( \nabla \times \DYA{G}_{e2} (\VEC{r},\VEC{r}') \big) =0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S_d)
\nonumber
\end{gather}
これを，ダイアディック Neumann 境界条件という．
よって，
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{G}_{e2} = \DYA{G}_{m1}
\label{eq:ge2gm1}
\end{gather}
また，第2種グリーン関数の境界条件を，磁界に対するダイアディック・グリーン関数に適用したものを$\DYA{G}_{m2}$とすると，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \nabla \times \DYA{G}_{m2} (\VEC{r},\VEC{r}') =0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S_d)
\end{gather}
電界および磁界に対するダイアディック・グリーン関数$\DYA{G}_{e}$，$\DYA{G}_{m}$との関係式
$\nabla \times \DYA{G}_{m} = \DYA{I} \delta (\VEC{r} -\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_{e}$
より，
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{G}_{m2} = \DYA{I} \delta (\VEC{r} -\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_{e1}
\label{eq:gm2ge1}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\nabla \cdot \DYA{G}_{m2} = 0
\end{gather}