4.8 自由空間中のダイアディック・グリーン関数による電磁界
一様媒質の自由空間において，散乱体がなく，電流源$\VEC{J}$のみがある場合，ダイアディック・グリーン関数を用いた電磁界の表示式の積分範囲$V$は無限空間にとり，面積分は無限遠ゆえ放射条件よりゼロとなる．
したがって，電界$\VEC{E}$および磁界$\VEC{H}$は，自由空間のダイアディック・グリーン関数$\DYA{G}_{e0} (\VEC{r},\VEC{r}')$，$\DYA{G}_{m0} (\VEC{r},\VEC{r}')$を用いた体積積分の項のみで表され，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r}')
&=& -j\omega \mu \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_{e0} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\\
\VEC{H}(\VEC{r}')
&=& \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \nabla \times \DYA{G}_{e0} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\nonumber \\
&=& \int _V \VEC{J}(\VEC{r}) \cdot \DYA{G}_{m0} (\VEC{r},\VEC{r}') dV
\end{eqnarray}
いま，$\VEC{r}$と$\VEC{r}'$を交換すると，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r})
&=& -j\omega \mu \int _V \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot \DYA{G}_{e0} (\VEC{r}',\VEC{r}) dV'
\\
\VEC{H}(\VEC{r})
&=& \int _V \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot \nabla \times \DYA{G}_{e0} (\VEC{r}',\VEC{r}) dV'
\nonumber \\
&=& \int _V \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot \DYA{G}_{m0} (\VEC{r}',\VEC{r}) dV'
\end{eqnarray}
ダイアディックのスカラ積の性質より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r})
&=& -j\omega \mu \int _V \big( \DYA{G}_{e0} (\VEC{r}',\VEC{r}) \big) ^T \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\\
\VEC{H}(\VEC{r})
&=& \int _V \big( \DYA{G}_{m0} (\VEC{r}',\VEC{r}) \big) ^T \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{eqnarray}
自由空間中のダイアディック・グリーン関数（the free-space dyadic Green functions）の対称性（symmetrical property）より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r})
&=& -j\omega \mu \int _V \DYA{G}_{e0} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\\
\VEC{H}(\VEC{r})
&=& \int _V \DYA{G}_{m0} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\nonumber \\
&=& \int _V \nabla \times \DYA{G}_{e0} (\VEC{r},\VEC{r}') \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{eqnarray}