自由空間中のダイアディック・グリーン関数による電磁界

4.8　自由空間中のダイアディック・グリーン関数による電磁界

　一様媒質の自由空間において，散乱体がなく，電流源

J

のみがある場合，ダイアディック・グリーン関数を用いた電磁界の表示式の積分範囲

V

は無限空間にとり，面積分は無限遠ゆえ放射条件よりゼロとなる．したがって，電界

E

および磁界

H

は，自由空間のダイアディック・グリーン関数

{\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r, r^{'})

，

{\tilde{\tilde{G}}}_{m 0} (r, r^{'})

を用いた体積積分の項のみで表され，次のようになる．

\begin{array}{rcl} (1) & E (r^{'}) & = & - j ω μ \int_{V} J (r) \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r, r^{'}) d V \\ H (r^{'}) & = & \int_{V} J (r) \cdot \nabla \times {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r, r^{'}) d V \\ (2) & = & \int_{V} J (r) \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{m 0} (r, r^{'}) d V \end{array}

いま，

r

と

r^{'}

を交換すると，

\begin{array}{rcl} (3) & E (r) & = & - j ω μ \int_{V} J (r^{'}) \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r^{'}, r) d V^{'} \\ H (r) & = & \int_{V} J (r^{'}) \cdot \nabla \times {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r^{'}, r) d V^{'} \\ (4) & = & \int_{V} J (r^{'}) \cdot {\tilde{\tilde{G}}}_{m 0} (r^{'}, r) d V^{'} \end{array}

ダイアディックのスカラ積の性質より，

\begin{array}{rcl} (5) & E (r) & = & - j ω μ \int_{V} ({\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r^{'}, r))^{T} \cdot J (r^{'}) d V^{'} \\ (6) & H (r) & = & \int_{V} ({\tilde{\tilde{G}}}_{m 0} (r^{'}, r))^{T} \cdot J (r^{'}) d V^{'} \end{array}

自由空間中のダイアディック・グリーン関数（the free-space dyadic Green functions）の対称性（symmetrical property）より，

\begin{array}{rcl} (7) & E (r) & = & - j ω μ \int_{V} {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r, r^{'}) \cdot J (r^{'}) d V^{'} \\ H (r) & = & \int_{V} {\tilde{\tilde{G}}}_{m 0} (r, r^{'}) \cdot J (r^{'}) d V^{'} \\ (8) & = & \int_{V} \nabla \times {\tilde{\tilde{G}}}_{e 0} (r, r^{'}) \cdot J (r^{'}) d V^{'} \end{array}