4.1 ダイアディック関数
ダイアディック・グリーン関数について説明するため，まず最初にダイアディックの定義，基本特性，ダイアディックの微分などを述べ，それから電磁界解析においてダイアディックを用いる方法を示し，各種ダイアディック・グリーン関数$^\dagger$について詳細に説明していく．
$\dagger$ C. T. Tai, “Dyadic Green Functions in Electromagnetic Theory,” 2nd ed., IEEE Press, New York (1991).
ダイアディックとは
直角座標系の単位ベクトルを$\VEC{i}_1$，$\VEC{i}_2$，$\VEC{i}_3$とおくと，
ベクトル$\VEC{F}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{F}
&=& F_1 \VEC{i}_1 + F_2 \VEC{i}_2 + F_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 F_i \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
いま，次のような3つのベクトル$\VEC{F}_1$，$\VEC{F}_2$，$\VEC{F}_3$を考える．
\begin{eqnarray}
\VEC{F}_1 &=& F_{11} \VEC{i}_1 + F_{21} \VEC{i}_2 + F_{31} \VEC{i}_3 = \sum _{i=1}^3 F_{i1} \VEC{i}_i
\\
\VEC{F}_2 &=& F_{12} \VEC{i}_1 + F_{22} \VEC{i}_2 + F_{32} \VEC{i}_3 = \sum _{i=1}^3 F_{i2} \VEC{i}_i
\\
\VEC{F}_3 &=& F_{13} \VEC{i}_1 + F_{23} \VEC{i}_2 + F_{33} \VEC{i}_3 = \sum _{i=1}^3 F_{i3} \VEC{i}_i
\end{eqnarray}
これより，ダイアディック（dyadic）を次のように定義する．
\begin{eqnarray}
\DYA{F}
&=& \VEC{F}_1 \VEC{i}_1 + \VEC{F}_2 \VEC{i}_2 + \VEC{F}_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{F}_j$と$\VEC{i}_j$は一般には交換できない．このダイアディックについて，成分をスカラ表示すると，
\begin{eqnarray}
\DYA{F}
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{F}_j \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \sum _{i=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& F_{11} \VEC{i}_1 \VEC{i}_1 + F_{12} \VEC{i}_1 \VEC{i}_2 + F_{13} \VEC{i}_1 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&&+ F_{21} \VEC{i}_2 \VEC{i}_1 + F_{22} \VEC{i}_2 \VEC{i}_2 + F_{23} \VEC{i}_2 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&&+ F_{31} \VEC{i}_3 \VEC{i}_1 + F_{32} \VEC{i}_3 \VEC{i}_2 + F_{33} \VEC{i}_3 \VEC{i}_3
\end{eqnarray}
ここで，9つの$\VEC{i}_i \VEC{i}_j (i,j =1,2,3)$を単位ダイアディクス（unit dyadics or dyads）という．先に述べたように，ダイアディックのベクトル成分は一般には交換できないので，
\begin{gather}
\VEC{i}_i \VEC{i}_j \neq \VEC{i}_j \VEC{i}_i \ \ \ (i \neq j)
\end{gather}
ダイアディックの転置など
ダイアディック$\DYA{F}$の転置（transpose）$\DYA{F}^T$は，ベクトルを交換したもので，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\DYA{F}^T
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{i}_j \VEC{F}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{i}_j \left( \sum _{i=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_i \right)
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \sum _{i=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_j \VEC{i}_i
\nonumber \\
%\nonumber \\ \hspace{5.8mm}
&=& \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 F_{ji} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\nonumber \\
\nonumber \\ \hspace{5.8mm}
&=& F_{11} \VEC{i}_1 \VEC{i}_1 + F_{21} \VEC{i}_1 \VEC{i}_2 + F_{31} \VEC{i}_1 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&& + F_{12} \VEC{i}_2 \VEC{i}_1 + F_{22} \VEC{i}_2 \VEC{i}_2 + F_{32} \VEC{i}_2 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&& + F_{13} \VEC{i}_3 \VEC{i}_1 + F_{23} \VEC{i}_3 \VEC{i}_2 + F_{33} \VEC{i}_3 \VEC{i}_3
\end{eqnarray}
これより，スカラ成分$F_{ij}$を$F_{ji}$に交換すれば，ダイアディックの転置が得られることがわかる．特別な場合として，$F_{ij} = F_{ji}$が成り立つとき，
\begin{gather}
\DYA{F}_s^T = \DYA{F}_s
\end{gather}
これを，対称ダイアディク（symmetrical dyadic）という．さらに，
\begin{eqnarray}
F_{ij} &=& 1 \ \ \ (i=j)
\\
F_{ij} &=& 0 \ \ \ (i\neq j)
\end{eqnarray}
つまり，
\begin{gather}
F_{ij} = \delta _{ij}
\end{gather}
のとき（$\delta_{ij}$はクロネッカ・デルタの記号），対称ダイアディックは，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\DYA{F}_s
&=& \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 F_{ij} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \VEC{i}_i \VEC{i}_i
\nonumber \\
&=& \VEC{i}_1 \VEC{i}_1 + \VEC{i}_2 \VEC{i}_2 + \VEC{i}_3 \VEC{i}_3
\nonumber \\
&\equiv& \DYA{I}
\end{eqnarray}
この$\DYA{I}$をidem factor（還元因子）という（idem とは同一のものをとるということ）．