6.4 ガウスの発散定理の応用
ガウスの発散定理
ガウスの発散定理（divergence theorem）は，次式で与えられる．
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \cdot \VEC{a} \ dV
= \oiint _S \VEC{a} \cdot \VEC{n} \ dS
\label{eq:divergence_theorem}
\end{gather}
ただし，積分記号$\oint$の$\circ$は積分経路が閉曲面であることを示し，
$\VEC{n}$は閉曲面上の外向き法線ベクトルである．
ガウスの回転定理
いま，ベクトル$\VEC{F}$を
$\VEC{F} = F_x \VEC{i} + F_y \VEC{j} + F_z \VEC{k}$
で定義し，
\begin{gather}
\VEC{a} \equiv F_z \VEC{j} - F_y \VEC{k}
\end{gather}
とおくと，ガウスの発散定理の式\eqref{eq:divergence_theorem}の左辺の被積分関数は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{a}
&=& \left( \VEC{i} \frac{\partial }{\partial x} + \VEC{j} \frac{\partial }{\partial y}
+ \VEC{k} \frac{\partial }{\partial z} \right) \cdot (F_z \VEC{j} - F_y \VEC{k})
\nonumber \\
&=& \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}
\nonumber \\
&=& ( \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i}
\label{eq:integrand_left}
\end{eqnarray}
次に，法線ベクトル$\VEC{n}$を，
\begin{gather}
\VEC{n} = n_x \VEC{i} + n_y \VEC{j} + n_z \VEC{k}
\end{gather}
とおくと，ガウスの発散定理の右辺の被積分関数は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{a} \cdot \VEC{n}
&=& ( F_z \VEC{j} - F_y \VEC{k} ) \cdot (n_x \VEC{i} + n_y \VEC{j} + n_z \VEC{k})
\nonumber \\
&=& F_z n_y - F_y n_z
\nonumber \\
&=& ( \VEC{n} \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i}
\label{eq:integrand_right}
\end{eqnarray}
これらの結果をガウスの発散定理の式に代入すると，次のようになる．
\begin{gather}
\iiint _V ( \nabla \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i} \ dV
= \oiint _S ( \VEC{n} \times \VEC{F} ) \cdot \VEC{i} \ dS
= - \oiint _S ( \VEC{F} \times \VEC{n} ) \cdot \VEC{i} \ dS
\end{gather}
同様にして，$\VEC{j}$，$\VEC{k}$に関する式が得られるので，次のガウスの回転定理（curl theorem）が得られる．
\begin{gather}
\iiint _V ( \nabla \times \VEC{F} ) \ dV
= - \oiint _S ( \VEC{F} \times \VEC{n} ) \ dS
\end{gather}
ガウスの勾配定理
いま，$\VEC{b}$を定ベクトルとして，
$\VEC{a} \equiv f \VEC{b}$とおくと，ガウスの発散定理の式\eqref{eq:divergence_theorem}の左辺の被積分関数は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{a}
&=& \nabla \cdot (f \VEC{b})
\nonumber \\
&=& (\nabla f) \cdot \VEC{b}
\label{eq:integrand_left2}
\end{eqnarray}
このとき，ガウスの発散定理は次のようになる．
\begin{gather}
\iiint _V ( \nabla f ) \cdot \VEC{b} \ dV
= \oiint _S (f\VEC{b}) \cdot \VEC{n} \ dS
\end{gather}
ここで，$\VEC{b}$は定ベクトルゆえ，
\begin{gather}
\VEC{b} \cdot \iiint _V \nabla f \ dV
= \VEC{b} \cdot \oiint _S f\VEC{n} \ dS
\end{gather}
よって，次のガウスの勾配定理（gradient theorem）が得られる．
\begin{gather}
\iiint _V \nabla f \ dV = \oiint _S f\VEC{n} \ dS
\end{gather}
2次元発散定理
軸方向を$z$軸（単位ベクトルは $\VEC{a}_z$）とする円柱領域$V$を考える．この軸に直交する面内の2次元ベクトル$\VEC{A}_t$，および
2次元微分演算子$\nabla_t$を用いると，
$\VEC{A}$および$\nabla$は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{A} &\equiv& \VEC{A}_t + A_z \VEC{a}_z
\\
\VEC{A}_t &\equiv& A_t \VEC{a}_t
\\
\nabla &=& \nabla_t + \frac{\partial }{\partial z} \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
これらを3次元の発散定理に代入すると，
\begin{gather}
\iiint _V \left( \nabla_t + \frac{\partial }{\partial z} \VEC{a}_z \right)
\cdot \left( \VEC{A}_t + A_z \VEC{a}_z \right) dV
= \oiint _S \left( \VEC{A}_t + A_z \VEC{a}_z \right) \cdot \VEC{n} \ dS
\end{gather}
領域$V$を囲む閉曲面$S$を円筒にとり，
$z=z_1, z_2$における断面（$z$軸に直交する面）を$S_1$，$S_2$とすると，
\begin{eqnarray}
&&\int \left( \iint _{S} \nabla_t \cdot \VEC{A}_t dS \right) dz
+ \iint _{S} \left( \int \frac{\partial A_z }{\partial z} dz \right) dS
\nonumber \\
&=& \iint _{S_1} -A_z (z_1) dS + \iint _{S_2} A_z (z_2) dS
+ \int \left( \oint _C \VEC{A}_t \cdot \VEC{n} d\sigma \right) dz
\end{eqnarray}
面$S_2$が面$S_1$に十分接近しているとき ($z_2 = z_1 + \Delta z$) ，
$A_z(z_2)$を次のように近似する．
\begin{gather}
A_z(z_2) \simeq A_z(z_1) + \frac{\partial A_z }{\partial z} \Delta z
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
&&\int \left( \iint _{S} \nabla_t \cdot \VEC{A}_t dS \right) dz
+ \iint _{S} \left( A_z(z_1) + \frac{\partial A_z }{\partial z} \Delta z - A_z(z_1) \right) dS
\nonumber \\
&\simeq& \iint _S -A_z (z_1) dS
+ \iint _S \left( A_z(z_1) + \frac{\partial A_z }{\partial z} \Delta z \right) dS
\nonumber \\
&&+ \int \left( \oint _C \VEC{A}_t \cdot \VEC{n} d\sigma \right) dz
\end{eqnarray}
上式において$\Delta z \to 0$の極限をとると，
次のように2次元発散定理が得られる．
\begin{gather}
\iint _{S} \nabla_t \cdot \VEC{A}_t dS = \oint _C \VEC{A}_t \cdot \VEC{n} \ d\sigma
\label{eq:sdiv}
\end{gather}
ただし，面$S$およびその周回積分経路$C$は平面上にとられ，
$\VEC{n}$は閉じた経路$C$の外向きの法線ベクトルを示す．
または，$\VEC{A}$を用いて，
\begin{gather}
\iint _{S} \nabla_t \cdot \VEC{A} dS = \oint _C \VEC{A} \cdot \VEC{n} \ d\sigma
\end{gather}
2次元勾配定理
\begin{gather}
\iint _{S} \nabla_t f dS = \oint _C f\VEC{n} \ d\sigma
\end{gather}