directivity_synthesis

5.8　多モードホーンの最適モード合成比

最適モード合成比

　多モードホーンの利得$g_1 (u)$を，各モードのユニバーサル放射パターン（開口径を$D$とすると，放射パターンは$u = D/\lambda \sin \theta $の関数）の重畳として表わすと， \begin{gather} g _1 (u)=\frac{4 \pi |F _1 (u)|^2}{P_t}\\ \end{gather} ここで， \begin{gather} F _ 1 (u) = \sum _j x_j f _{1, j} (u) \end{gather} ただし，

$f_{1,j} (u)$： $j$ 番目のモードによる主偏波のユニバーサル放射パターン
$x_j $：モードの未知係数
$P_t$：トータル電力

例えば， $u_e$ を円形領域の端（edge of coverage：EOC）として，円形領域 $0 \leq u \leq u_e$ における最低利得を最大にする場合，

等式制約条件： $F_1 (u_e)=1$
不等式制約条件： $F_1 (u) \geq 1 (0 \leq u < u_e)$

これより，最大とする利得 $g_1(u_e)$ は次式で表される． \begin{gather} g_1(u_e) = \frac{4 \pi}{P_t} \end{gather} ここで， \begin{gather} P_t = \sum _j x_j^2 \end{gather} したがって，$P_t$ が最小となる $x_j$ を決定すればよい．制約条件が1次式で与えられ，最小にする$P_t$が2次式となるので，2次計画法によって$x_j$を求めることができる．なお，モード係数$C_i$は，全電力で規格化して，次式で得られる． \begin{gather} C_j = \frac{x_j}{\sqrt{P_t}} \ \ \ (j=1,2 \cdots, M). \end{gather} さらに，サイドローブレベルのピーク値の振幅を$R(>0)$以下とする場合，

不等式制約条件：$-R \leq F_1 (u) \leq R \ \ \ \ (u_0 \leq u \leq u_s)$

ただし， $u_0 (>u_e)$，$u_s (>u_0)$ はサイドローブ領域の下限値，上限値を示す．また，放射パターンの交差偏波レベルのピーク値の振幅を$X(>0)$以下とする場合，

不等式制約条件：$-X \leq F_2 (u) \leq X \ \ \ \ (0 \leq u \leq u_x)$

ここで， \begin{gather} F _ 2 (u) = \sum _j x_j f _{2, j} (u) \end{gather} ただし， $f_{2,j} (u)$ は $j$ 番目のモードによる交差偏波のユニバーサル放射パターン， $u_x$ は交差偏波領域の範囲の上限値を示す． $M$次元列ベクトル$\VECi{x}$（要素は$x_i$）の関数である2次形式評価関数における$M \times M$の行列$\big[ H \big]$，および$M$次元列ベクトル $\VECi{c}$ は， \begin{align} &\big[ H \big] = 2 \big[ U \big] \\ &\VECi{c} = \big( 0 \big) \end{align} ただし，$\big[ U \big]$は単位行列， $( 0 )$は全ての要素が$0$となる列ベクトルを示す．一方，等式制約条件 \begin{gather} \big[ A_{eq} \big]^t \VECi{x} = \VECi{b}_{eq} \end{gather} における$\big[ A_{eq} \big]^t$および $\VECi{b}_{eq}$（実際には要素は1つしかないのでスカラー）は， \begin{align} &\big[ A_{eq} \big]^t = ( f_{1,1}(u_e) \ \ f_{1,2}(u_e) \ \ \cdots \ \ f_{1,j}(u_e) \ \ \cdots ) \\ &\VECi{b}_{eq} =1 \end{align} また，不等式制約条件 \begin{gather} \big[ A_{ineq} \big]^t \VECi{x} \leq \VECi{b}_{ineq} \end{gather} における$\big[ A_{ineq} \big]^t$および $\VECi{b}_{ineq}$ は， \begin{gather} \big[ A_{ineq} \big]^t = \begin{pmatrix} [A_c]^t \\ -[A_c]^t \\ [A_s]^t \\ -[A_s]^t \\ [A_x]^t \\ -[A_x]^t \end{pmatrix}, \ \ \ \VECi{b}_{ineq} = \begin{pmatrix} \VECi{1} \\ \VECi{1} \\ \VECi{R} \\ \VECi{R} \\ \VECi{X} \\ \VECi{X} \end{pmatrix} \end{gather} ここで，$0 \leq u_i^{(c)} < u_e$ において $u_i^{(c)} \ (i=1,2, \cdots, N_c)$とすると， $[A_c]^t$，$\VECi{1}$ は， \begin{align} &[A_c]^t = \begin{pmatrix} f_{1,1}\big(u_1^{(c)}\big) & f_{1,2}\big(u_1^{(c)}\big) & \cdots \ \\ f_{1,1}\big(u_2^{(c)}\big) & f_{1,2}\big(u_2^{(c)}\big) & \cdots \ \\ \vdots & \vdots & \\ \end{pmatrix} \\ &\VECi{1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots \ \\ \end{pmatrix}^t \end{align} また，$u_0 \leq u_i^{(s)} < u_s$において $u_i^{(s)} \ (i=1,2, \cdots, N_s)$とすると， $[A_s]^t$，$\VECi{R}$ は， \begin{align} &[A_s]^t = \begin{pmatrix} f_{1,1}\big(u_1^{(s)}\big) & f_{1,2}\big(u_1^{(s)}\big) & \cdots \ \\ f_{1,1}\big(u_2^{(s)}\big) & f_{1,2}\big(u_2^{(s)}\big) & \cdots \ \\ \vdots & \vdots & \\ \end{pmatrix} \\ &\VECi{R}= \begin{pmatrix} R & R & \cdots \ \\ \end{pmatrix}^t \end{align} また，$0 \leq u_i^{(x)} < u_x$において $u_i^{(x)} \ (i=1,2, \cdots, N_x)$とすると， $[A_x]^t$，$\VECi{X}$ は， \begin{align} &[A_x]^t = \begin{pmatrix} f_{2,1}\big(u_1^{(x)}\big) & f_{2,2}\big(u_1^{(x)}\big) & \cdots \ \\ f_{2,1}\big(u_2^{(x)}\big) & f_{2,2}\big(u_2^{(x)}\big) & \cdots \ \\ \vdots & \vdots & \\ \end{pmatrix} \\ &\VECi{X}= \begin{pmatrix} X & X & \cdots \ \\ \end{pmatrix}^t \end{align} ただし，

$N_c$：主ビームを計算するサンプル点数
$N_s$：サイドローブを計算するサンプル点数
$N_x$：交差偏波成分を計算するサンプル点数

低交差偏波トリプルモード円形ホーンの励振モード係数

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分のピーク値を$X$ [dB]以下，サイドローブレベルを$R$ [dB]以下（$X=R$）として求めた励振モード係数（モード数3）（ただし，*は基本モードと逆相） \begin{array}{l|c|c|c|c} \hline X=R \ [\mbox{dB}] & -30 & -35 & -40 & -45 \\ \hline \mbox{TE}_{11} \ [\mbox{dB}] & -0.37 & -0.61 & -0.82 & -1.08 \\ \mbox{TM}_{11} \ [\mbox{dB}] & -10.9 & -8.95 & -7.88 & -7.02 \\ \mbox{TE}_{12} \ [\mbox{dB}] & -45.0 & -25.7 & -20.5 & -16.6 \\ \hline 開口能率 \ [\%] & 77 & 70 & 65 & 59 \\ \hline \end{array}

開口面電界分布の計算例（$X, R=-30$ dB）

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分のピーク値およびサイドローブレベルを$-30$ dB以下として求めた励振モード係数（TE$_{11}$，TM$_{11}$，TE$_{12}$モード）による開口面電界ベクトル，開口面カット面の振幅分布，主偏波成分および交差偏波成分

開口面電界分布の計算例（$X, R=-35$ dB）

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分のピーク値およびサイドローブレベルを$-35$ dB以下として求めた励振モード係数（TE$_{11}$，TM$_{11}$，TE$_{12}$モード）による開口面電界ベクトル，開口面カット面の振幅分布，主偏波成分および交差偏波成分

開口面電界分布の計算例（$X, R=-40$ dB）

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分のピーク値およびサイドローブレベルを$-40$ dB以下として求めた励振モード係数（TE$_{11}$，TM$_{11}$，TE$_{12}$モード）による開口面電界ベクトル，開口面カット面の振幅分布，主偏波成分および交差偏波成分

開口面電界分布の計算例（$X, R=-45$ dB）

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分のピーク値およびサイドローブレベルを$-45$ dB以下として求めた励振モード係数（TE$_{11}$，TM$_{11}$，TE$_{12}$モード）による開口面電界ベクトル，開口面カット面の振幅分布，主偏波成分および交差偏波成分

低交差偏波多モード円形ホーンの励振モード係数

　2次計画法より利得最大，交差偏波成分$X=-50$ dB以下，サイドローブレベル$R$ [dB]以下として求めた励振モード係数（モード数10）（ただし，* は基本モードと逆相） \begin{array}{l|r|r|r|r} \hline R \ [\mbox{dB}] & -30 & -35 & -40 & -45 \\ \hline \mbox{TE}_{11} \ [\mbox{dB}] & -0.51 & -0.62 & -0.78 & -0.96 \\ \mbox{TM}_{11} \ [\mbox{dB}] & -10.3 & -9.00 & -8.06 & -7.36 \\ \mbox{TE}_{12} \ [\mbox{dB}] & ^*-32.7 & -30.5 & -22.4 & -18.6 \\ \mbox{TM}_{12} \ [\mbox{dB}] & ^*-34.2 & ^*-34.9 & ^*-37.6 & ^*-48.4 \\ \mbox{TE}_{13} \ [\mbox{dB}] & -22.9 & -28.4 & -34.7 & -43.5 \\ \mbox{TM}_{13} \ [\mbox{dB}] & -34.5 & -45.7 & -52.2 & -61.3 \\ \mbox{TE}_{14} \ [\mbox{dB}] & ^*-22.8 & ^*-27.2 & ^*-32.3 & ^*-38.4 \\ \mbox{TM}_{14} \ [\mbox{dB}] & ^*-24.2 & ^*-36.1 & ^*-54.0 & -55.0 \\ \mbox{TE}_{15} \ [\mbox{dB}] & ^*-61.3 & -30.9 & -32.8 & -39.1 \\ \mbox{TM}_{15} \ [\mbox{dB}] & -30.4 & -29.3 & -38.0 & -54.8 \\ \hline 開口能率 \ [\%] & 79 & 74 & 68 & 63 \\ \hline \end{array}
　円形カバレッジホーンの励振モード係数を次の図に示している．ただし，$\theta =\theta _e$はカバレッジの端の方向である．図中の細い線が主ビームの形状のみを制約条件とした場合，太い線がサイドローブレベル$-30$ dB，交差偏波成分のピーク値$-40$ dBの条件をさらに加えた場合を示す．