4.3 軸対称複反射鏡アンテナの最適開口面分布
カセグレンアンテナは，副反射鏡によって開口面の中心部分の電波が遮へいされ，サイドローブレベルが高くなってしまう．
そこで，与えられたサイドローブレベルで開口能率を最大にする開口面分布が2次計画法によって求められている$^\dagger$．
$\dagger$ 後藤尚久，渡辺文夫，"与えられたサイドローブを持つカセグレンアンテナの最大開口能率,"
信学論，vol.J61-B，pp.321-326（1978）
副反射鏡による遮へい領域を開口面（直径$D$）と同心円（副反射鏡に対応）とし，その半径を
$\alpha D/2$（$0 < \alpha < 1$）とする．いま，半径方向座標成分
$\rho$ を開口半径
$D/2$ で規格化した
$\bar{\rho}=2\rho/D$を定義し，開口面分布
$E_a$を
$\bar{\rho}$ の関数（位相一様，つまり実数）として，次のように表すことにする．
\begin{gather}
E_a(\bar{\rho}) = \sum_{j=1}^M x_j J_0(b_j \bar{\rho})
\end{gather}
ただし，$J_0$は0次の第1種ベッセル関数，
$b_j$（$0=b_1 < b_2 < \cdots$）は1次の第1種ベッセル関数の零点（$J_1(b_j)=0$）を示す．
開口面法より，
ユニバーサル放射パターン$E_p(u)$は，
\begin{gather}
E_p(u) = 2 \int _\alpha^1 E_a(\bar{\rho}) J_0 (\bar{\rho} u) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
u = \frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta
\end{gather}
上式に，$E_a(\bar{\rho})$を代入して積分すると，
\begin{align}
&E_p(u) = \sum_{j=1}^M x_j f_j(u)
\\
&f_j(u) = 2 \frac{u J_1(u) J_0(b_j) - \alpha u J_1(\alpha u) J_0(\alpha b_j)
+ \alpha b_j J_1 (\alpha b_j) J_0(\alpha u) }{
u^2-b_j^2}
\end{align}
このとき，ピーク方向 $u=0$ の利得 $g(0)$ は，
\begin{gather}
g(0) = \frac{4\pi |K E_p(0)|^2}{P_t}
\end{gather}
ただし，$K$は定数，$
P_t$ はトータル電力を示す．また，$E_a(p)$，$E_p(u)$ともに係数
$x_j$ による線型結合の式で表されている．
いま，$E_p(0) \equiv 1$とすると，利得を最大にするには，
$P_t$を最小にすればよい．このとき，トータル電力$P_t$は開口面分布関数$E_a$から求められ，
$E_a^2$の積分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
F &=& \int_\alpha ^1 E_a^2 \ \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&=& \int_\alpha ^1 \left( \sum_{n=1}^N x_n J_0(b_n \bar{\rho}) \right)
\left( \sum_{m=1}^N x_m J_0(b_m \bar{\rho}) \right) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N
x_n x_m \int_\alpha ^1 J_0(b_n \bar{\rho}) J_0(b_m \bar{\rho}) \bar{\rho}d\bar{\rho}
\end{eqnarray}
ベッセル関数の不定積分公式より， $\alpha \neq \beta$のとき，
\begin{gather}
\int J_\nu (\alpha z) J_\nu (\beta z) z dz
= \frac{z}{\alpha^2 - \beta^2}
\Big\{ \beta J_\nu(\alpha z) J_\nu' (\beta z)
- \alpha J_\nu' (\alpha z) J_\nu (\beta z) \Big\}
\end{gather}
よって，$b_n \neq b_m$のとき，
\begin{align}
&\int_\alpha ^1 J_0 (b_n \bar{\rho}) J_0 (b_m \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&= \left[ \frac{\bar{\rho}}{b_n^2 - b_m^2}
\Big\{ b_m J_0 (b_n \bar{\rho}) J_0' (b_m \bar{\rho})
- b_n J_0' (b_n \bar{\rho}) J_0 (b_m \bar{\rho}) \Big\} \right] _\alpha ^1
\end{align}
ここで，$J_0'(z) = -J_1(z)$より，
\begin{align}
&\int_\alpha ^1 J_0 (b_n \bar{\rho}) J_0 (b_m \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&= \frac{1}{b_n^2 - b_m^2} \Big[
\Big\{ -b_m J_0(b_n) J_1(b_m) + b_n J_1(b_n)J_0(b_m) \Big\} \Big.
\nonumber \\
&\Big.
- \alpha \Big\{- b_m J_0(b_n \alpha) J_1(b_m \alpha) + b_n J_1(b_n \alpha)J_0(b_m \alpha) \Big\} \Big]
\end{align}
さらに，$J_1(b_n)=0$，$J_1(b_m)=0$ より，
\begin{align}
&\int_\alpha ^1 J_0 (b_n \bar{\rho}) J_0 (b_m \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&= \frac{\alpha}{b_n^2 - b_m^2}
\Big\{b_m J_0(b_n \alpha) J_1(b_m \alpha)
- b_n J_1(b_n \alpha)J_0(b_m \alpha) \Big\}
\nonumber \\
&\equiv \frac{H_{nm}}{2} \ \ \ \ \ (n \neq m)
\end{align}
また，ベッセル関数の不定積分公式より，
\begin{gather}
\int J_\nu^2 (\alpha z) z dz
= \frac{1}{2} \left\{ z^2 J_\nu'^2(\alpha z) + \left( z^2 - \frac{\nu^2}{\alpha^2} \right)
J_\nu^2 (\alpha z) \right\}
\end{gather}
よって，$b_n = b_m$のとき，
\begin{gather}
\int_\alpha ^1 J_0^2 (b_n \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
= \left[ \frac{\bar{\rho}^2}{2} \Big\{ J_0'^2(b_n \bar{\rho}) + J_0^2 (b_n \bar{\rho}) \Big\} \right]_\alpha ^1
\end{gather}
ここで，$J_0'(z) = -J_1(z)$より，
\begin{align}
&\int_\alpha ^1 J_0^2 (b_n \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
\nonumber \\
&= \left[ \frac{\bar{\rho}^2}{2} \Big\{ J_1^2(b_n \bar{\rho}) + J_0^2 (b_n \bar{\rho}) \Big\} \right]_\alpha ^1
\nonumber \\
&= \frac{1}{2} \Big[ \Big\{ J_1^2(b_n) + J_0^2 (b_n) \Big\}
- \alpha^2 \Big\{ J_1^2(b_n \alpha) + J_0^2 (b_n \alpha) \Big\} \Big]
\end{align}
さらに，$J_1(b_n)=0$より，
\begin{eqnarray}
\int_\alpha ^1 J_0^2 (b_n \bar{\rho}) \bar{\rho} d\bar{\rho}
&=& \frac{1}{2} \Big[ J_0^2(b_n)
- \alpha^2 \Big\{ J_1^2(b_n \alpha) + J_0^2 (b_n \alpha) \Big\} \Big]
\nonumber \\
&\equiv& \frac{H_{nn}}{2}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
F(\VECi{x})
&=& \int_\alpha ^1 E_a^2 \ p dp
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N
x_n x_m \frac{H_{nm}}{2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \VECi{x}^t \big[ H \big] \VECi{x}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VECi{x} =
\begin{pmatrix}
x_0 & x_1 & \cdots & x_n & \cdots \\
\end{pmatrix}^t
\end{gather}
したがって，与えられたサイドローブレベルなどの制約条件のもとで開口能率が最大となるように最適化問題を解くことによって，
$x_n$を求めることにする．そこで，
$x_n$を要素とする列ベクトル
$\VECi{x}$を最適化変数とし，評価関数が次のように2次式となる．
\begin{gather}
\min _{(\VECi{x})} \left(
\frac{1}{2} \ \VECi{x}^t \big[ H \big] \VECi{x}
\right)
\end{gather}
このとき，制約条件は，
- 等式制約条件： $E_p(0)=1$
- 不等式制約条件： $-R \leq E_p(u) \leq R$ （$u_0 \leq u \leq u_e$）
これらは1次式で表されため，2次計画問題として解けばよい．ただし，
$R$はサイドローブレベル，
$u_0$は主ビームより広角で，かつ第１サイドローブレベルまでの方向とし，
$u_e$はある程度のサイドローブ数を含む角度までとるようにする．このとき，2次形式の評価関数における
$\big[ H \big]$は，$M \times M$の行列で要素は
$H_{nm}$である．また，
$\VECi{c}$ はゼロである．一方，等式制約条件
\begin{gather}
\big[ A_{eq} \big]^t \VECi{x} = \VECi{b}_{eq}
\end{gather}
における$\big[ A_{eq} \big]^t$および
$\VECi{b}_{eq}$（実際には要素は1つしかないのでスカラー）は，
\begin{align}
&\big[ A_{eq} \big]^t =
\begin{pmatrix}
f_1(0) & f_2(0) & \cdots \ \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{b}_{eq} =1
\end{align}
また，不等式制約条件を$u_i \ (i=1,2, \cdots, N_{ineq})$について定義すると，
\begin{gather}
\big[ A_{ineq} \big]^t \VECi{x} \leq \VECi{b}_{ineq}
%, \ \ \ \
%\mbox{or} \ \ \ \
%\big[ A_I \big] \VECi{x} \geq \VECi{b}_I
\end{gather}
における$\big[ A_{ineq} \big]^t$および $\VECi{b}_{ineq}$ は，
\begin{align}
&\big[ A_{ineq} \big]^t =
\begin{pmatrix}
[A_s]^t \\ -[A_s]^t
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{b}_{ineq} =
\begin{pmatrix}
\VECi{R} \\ \VECi{R} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで，行列$[A_s]^t$および列ベクトル $\VECi{R}$ は，
\begin{align}
&[A_s]^t =
\begin{pmatrix}
f_1(u_1) & f_2(u_1) & \cdots \ \\
f_1(u_2) & f_2(u_2) & \cdots \ \\
\vdots & \vdots & \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{R}=
\begin{pmatrix}
R & R & \cdots \ \\
\end{pmatrix}^t
\end{align}