5.7 成形ビームのチルト（2次計画法）
カバレッジの範囲を正面以外の任意の方向として，
$\theta_{e1} \le \theta \le \theta_{e2}$
とすると，制約条件は，
- 等式制約条件： $g(u_{e1})=g(u_{e2})=1$
- 不等式制約条件：$g(u) \geq 1$ （$u_{e1} \leq u \leq u_{e2}$）
ここで，
\begin{gather}
u_{e1} = \frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta_{e1}, \ \ \ \ \
u_{e2} = \frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta_{e2}
\end{gather}
ただし，
$\theta_{e1}$，$\theta_{e2} (> \theta_{e1})$
は利得を高くしたいカバレッジ端（edge of coverage, EOC）方向を示す．
また，指向性関数 $g(u)$ は正規化していないため，$a_0$ も最適化変数として扱い，波源分布の対称性は考えないため，電界指向性 $g(u)$ は，
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{(-1)^n}{1-\frac{n\pi}{u}} \frac{\sin u}{u}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \varphi_n(u)
\end{eqnarray}
これより，まず等式制約条件（equality constraints）
\begin{gather}
\big[ A_{eq} \big] \VECi{a} = \VECi{b}_{eq}
\end{gather}
における行列$\big[ A_{eq} \big]$および列ベクトル $\VECi{b}_{eq}$ は，
\begin{align}
&\big[ A_{eq} \big]=
\begin{pmatrix}
\varphi_{-N}(u_{e1}) & \cdots \ & \varphi_0(u_{e1}) &
\varphi_1(u_{e1}) & \cdots \ & \varphi_N(u_{e1}) \\
\varphi_{-N}(u_{e2}) & \cdots \ & \varphi_0(u_{e2}) &
\varphi_1(u_{e2}) & \cdots \ & \varphi_N(u_{e2}) \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{b}_{eq}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
最適化変数は（要素数は$2N+1$），
\begin{gather}
\VECi{a} =
\begin{pmatrix}
a_{-N} & \cdots & a_0 & a_1 & \cdots \ & a_N \\
\end{pmatrix}^t
\end{gather}
また，不等式制約条件（inequality constraints）
\begin{gather}
\big[ A_{ineq} \big] \VECi{a} \leq \VECi{b}_{ineq}
\end{gather}
は，主ビームの条件より，
\begin{align}
&\big[ A_{ineq} \big] =-[A_c]
\\
&\VECi{b}_{ineq} =-\VECi{I}_c
\end{align}
行列$[A_c]$は，$u_{e1} \leq u_i^{(c)} < u_{e2}$ の範囲の点を
$u_i^{(c)} \ (i=1,2, \cdots, N_c)$ とすると，
\begin{gather}
[A_c] =
\begin{pmatrix}
\varphi_{-N}(u_1^{(c)}) & \varphi_{-N}(u_2^{(c)}) & \cdots \ & \varphi_{-N}(u_{N_s}^{(c)}) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_0(u_1^{(c)}) & \varphi_0(u_2^{(c)}) & \cdots \ & \varphi_0(u_{N_s}^{(c)}) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_N(u_1^{(c)}) & \varphi_N(u_2^{(c)}) & \cdots \ & \varphi_N(u_{N_s}^{(c)}) \\
\end{pmatrix}^t
\end{gather}
ただし，$\VECi{I}_c$ は$N_c$列の要素が全て1となる列ベクトルを示す．
\begin{gather}
\VECi{I}_c=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots \ \\
\end{pmatrix}^t
\end{gather}
所定のサイロドーブレベル$\epsilon_1$，$\epsilon_2$ 以下にする不等式制約条件は，
- 主ビームよりマイナス側の方向：
$-\epsilon_1 \leq g(u) \leq \epsilon_1$ （$u_{m1} \leq u \leq u_{s1}$）
- 主ビームよりプラス側の方向：
$-\epsilon_2 \leq g(u) \leq \epsilon_2$ （$u_{s2} \leq u \leq u_{m2}$）
ただし，$u_{s1}$，$u_{s2}$は主ビームより広角で，
かつ第１サイドローブレベルまでの方向とする．
これより，
\begin{gather}
\big[ A_{ineq} \big] =
\begin{pmatrix}
-[A_c] \\ [A_{s1}] \\ -[A_{s1}] \\ [A_{s2}] \\ -[A_{s2}]
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\VECi{b}_{ineq} =
\begin{pmatrix}
-\VECi{I}_c \\ \epsilon_{1} \VECi{I}_{s1} \\ \epsilon_{1} \VECi{I}_{s1} \\
\epsilon_{2} \VECi{I}_{s2} \\ \epsilon_{2} \VECi{I}_{s2} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
行列$[A_{s1}]$は $u_{m1} \leq u \leq u_{s1}$ の範囲の点
$u_i^{(s1)} \ (i=0,1,2, \cdots, N_{s1})$における計算より
$N_{s1}$行$(N+1)$列で表され，同様にして，
行列$[A_{s2}]$は $u_{s2} \leq u \leq u_{m2}$ の範囲の点
$u_i^{(s2)} \ (i=0,1,2, \cdots, N_{s2})$における計算より
$N_{s2}$行$(N+1)$列で表され，
\begin{gather}
[A_{si}] =
\begin{pmatrix}
\varphi_{-N}(u_1^{(si)}) & \varphi_{-N}(u_2^{(si)}) & \cdots \ & \varphi_{-N}(u_{N_s}^{(si)}) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_0(u_1^{(si)}) & \varphi_0(u_2^{(si)}) & \cdots \ & \varphi_0(u_{N_s}^{(si)}) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\varphi_N(u_1^{(si)}) & \varphi_N(u_2^{(si)}) & \cdots \ & \varphi_N(u_{N_s}^{(si)}) \\
\end{pmatrix}^t
\ \ \ (i=1,2)
\end{gather}
また，$\VECi{I}_{si} \ (i=1,2)$は$N_{si}$列の要素が全て1となる列ベクトルを示す．
\begin{gather}
\VECi{I}_{si}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots \ \\
\end{pmatrix}^t
\end{gather}
低サイドローブ成形ビーム（$0^\circ\sim 40^\circ$）の$20^\circ$チルト
低サイドローブ成形ビーム（$0^\circ\sim 40^\circ$）の$20^\circ$チルトの指向性合成
低サイドローブ成形ビーム（$0^\circ\sim 40^\circ$）の$20^\circ$チルトの指向性合成
低サイドローブ（$-35$dB）成形ビーム（$0^\circ\sim 40^\circ$）のチルト
低サイドローブ（$-35$dB）成形ビーム（$0^\circ\sim 40^\circ$）のチルトの指向性合成
低サイドローブ成形ビーム（$10^\circ\sim 30^\circ$）の$20^\circ$チルト
低サイドローブ成形ビーム（$10^\circ\sim 30^\circ$）の$20^\circ$チルトの指向性合成
低サイドローブ成形ビーム（$15^\circ\sim 25^\circ$）の$20^\circ$チルト
低サイドローブ成形ビーム（$15^\circ\sim 25^\circ$）の$20^\circ$チルトの指向性合成
低サイドローブ成形ビーム（$17.5^\circ\sim 22.5^\circ$）の$20^\circ$チルト
低サイドローブ成形ビーム（$17.5^\circ\sim 22.5^\circ$）の$20^\circ$チルトの指向性合成