電界指向性のフーリエ級数展開

電界指向性のフーリエ級数展開

　指向性関数

g (u)

を複素フーリエ級数展開するため，

\begin{array}{rcl} (1) & u & = & \frac{π D}{λ} \sin θ = \frac{π D}{λ} w \\ (2) & w & = & \sin θ \end{array}

とおき，周期を

T = 2

として，

\begin{matrix} (3) & g (w) = \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} e^{j n π w} \end{matrix}

いま，

g (w) (- 1 \leq \sin θ \leq 1)

が与えられれば，

\begin{aligned} \frac{1}{T} \int_{- 1}^{1} g (w) e^{- j m π w} d w = \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} \frac{\sin (n - m) π}{(n - m) π} = b_{m} \\ (4) & ∴ b_{n} = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} g (w) e^{- j n π w} d w \end{aligned}

有限範囲で一様な電界指向性

　電界指向性

g (w)

が対称な場合，

b_{- n} = b_{n}

より，

\begin{array}{rcl} g (u) & = & \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} e^{j n π w} \\ = & \sum_{n = - N_{b}}^{- 1} b_{n} e^{j n π w} + b_{0} + \sum_{n = 1}^{N_{b}} b_{n} e^{j n π w} \\ = & \sum_{n^{'} = 1}^{N_{b}} b_{- n^{'}} e^{j (- n^{'}) π w} + b_{0} + \sum_{n = 1}^{N_{b}} b_{n} e^{j n π w} \\ (5) & = & b_{0} + \sum_{n = 1}^{N_{b}} 2 b_{n} \cos (n π w) \end{array}

電界指向性が

(- 1 <) - α \leq w \leq α (< 1)

の範囲で

g = 1

（一定）のとき，展開係数

b_{n}

は，

\begin{array}{rcl} b_{n} & = & \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} g (w) e^{- j n π w} d w \\ = & \frac{1}{2} \int_{- α}^{α} e^{- j n π w} d w \\ (6) & = & α \frac{\sin (n π α)}{n π α} \\ (7) & b_{0} & = & α \frac{\sin (0 \cdot π α)}{0 \cdot π α} = α \end{array}

電界指向性のフーリエ変換

　電界指向性

g (u)

をフーリエ変換すると波源分布

e (x)

が得られ，

\begin{array}{rcl} e (x) & = & \frac{1}{π D} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j u \bar{x}} d u \\ = & \frac{1}{π D} \frac{π D}{λ} \int_{- 1}^{1} g (w) e^{- j \frac{π D}{λ} w \bar{x}} d w \\ = & \frac{1}{λ} \int_{- 1}^{1} (\sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} e^{j n π w}) e^{- j \frac{π D}{λ} w \bar{x}} d w \\ = & \frac{1}{λ} \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} \int_{- 1}^{1} e^{j (n π - \frac{π D}{λ} \bar{x}) w} d w \\ = & \frac{2}{λ} \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} \frac{\sin (n - \frac{D}{λ} \bar{x}) π}{(n - \frac{D}{λ} \bar{x}) π} \\ (8) & = & \frac{2}{λ} \sum_{n = - N_{b}}^{N_{b}} b_{n} \frac{\sin (\frac{D}{λ} \bar{x} - n) π}{(\frac{D}{λ} \bar{x} - n) π} \end{array}

さらに，

b_{- n} = b_{n}

のとき，

\begin{matrix} (9) & e (x) = \frac{2}{λ} (b_{0} Φ_{0} (\bar{x}) + \sum_{n = 1}^{N_{b}} b_{n} Φ_{n} (\bar{x})) \end{matrix}

ここで，

\begin{array}{rcl} (10) & Φ_{0} (\bar{x}) & = & \frac{\sin (\frac{π D}{λ} \bar{x})}{\frac{π D}{λ} \bar{x}} \\ (11) & Φ_{n} (\bar{x}) & = & \frac{\sin (\frac{D}{λ} \bar{x} - n) π}{(\frac{D}{λ} \bar{x} - n) π} + \frac{\sin (\frac{D}{λ} \bar{x} + n) π}{(\frac{D}{λ} \bar{x} + n) π} \end{array}

1次元波源の共相励振

　1次元波源分布

e (\bar{x})

の振幅を

A (\bar{x})

，位相を

ψ (\bar{x})

とおくと，電界指向性

g (u)

は，

\begin{matrix} (12) & g (u) = \frac{D}{2} \int_{- 1}^{1} A (\bar{x}) e^{j ψ (\bar{x})} e^{j u \bar{x}} d \bar{x} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (13) & u = \frac{π D}{λ} \sin θ, \bar{x} = \frac{2}{D} x \end{matrix}

より，

θ = θ_{m}

の方向に共相励振するための位相項の条件は，

\begin{aligned} ψ (\bar{x}) + \frac{π D}{λ} \sin θ_{m} \cdot \bar{x} = 0 \\ (14) & ∴ ψ (\bar{x}) = - \frac{π D}{λ} \sin θ_{m} \cdot \bar{x} \end{aligned}

これより，電界指向性

g (u)

は，

\begin{matrix} (15) & g (u) = \frac{D}{2} \int_{- 1}^{1} A (\bar{x}) e^{- j \frac{π D}{λ} \sin θ_{m} \cdot \bar{x}} e^{j u \bar{x}} d \bar{x} \end{matrix}

ここで，

\begin{array}{rcl} v_{m} & \equiv & \frac{π D}{λ} (\sin θ - \sin θ_{m}) \\ (16) & = & u - \frac{π D}{λ} \sin θ_{m} \end{array}

とおくと，

\begin{matrix} (17) & g (u) = \frac{D}{2} \int_{- 1}^{1} A (\bar{x}) e^{j v_{m} \bar{x}} d \bar{x} \end{matrix}

振幅が一定のとき，

A (\bar{x}) = A_{0}

とおけば，

\begin{array}{rcl} g (u) & = & \frac{D}{2} A_{0} \int_{- 1}^{1} e^{j v_{m} \bar{x}} d \bar{x} \\ = & \frac{D}{2} A_{0} \frac{2 \sin v_{m}}{v_{m}} \\ (18) & = & D A_{0} \frac{\sin v_{m}}{v_{m}} \end{array}

いま，

g (0) = 1

とすると，

\begin{matrix} (19) & g (0) = D A_{0} = 1 \end{matrix}

よって，

\begin{array}{rcl} g (u) & = & \frac{\sin v_{m}}{v_{m}} \\ (20) & = & \frac{\sin (u - \frac{π D}{λ} \sin θ_{m})}{u - \frac{π D}{λ} \sin θ_{m}} \end{array}