directivity_synthesis

5.2　レメッツのアルゴリズムによる指向性合成

　レメッツのアルゴリズム$^\dagger$を用いて，サイドローブレベルの最大値が所定の値以下となる1次元開口面分布を求める指向性合成$^\ddagger$について説明する

抑圧するサイドローブレベルの最大値 $\epsilon$ と第1サイドローブから順に抑圧するサイドローブ数$N$ を与える．
初期値として電界指向性 $g_0(u)$ を与える．例えば，一様開口面分布による電界指向性（sinc関数）などが考えられる．
サイドローブレベルのピーク方向 $u_n (n=1,2, \cdots ,N)$ を，第1サイドローブから順に$N$ 個求める．
サイドローブ領域の電界指向性を $-\epsilon \le g(u) \le \epsilon$ とするため，ユニバーサルパラメータ $u=u_n$ での電界指向性のピーク値が $\pm \epsilon$ となるように，次式により係数 $a_n \ (n=1,2, \cdots ,N)$ を決定する（$g(u)=a_0=1$）． \begin{gather} g(u_m) = \phi_0(u_m) + \sum_{n=1}^N a_n \phi_n(u_m) =(-1)^m \epsilon \ \ \ \ \ (m=1,2, \cdots ,N) \end{gather}

$\dagger$ "アンテナ工学ハンドブック（第2版）," pp.827-828，オーム社 (2008).

$\ddagger$ 後藤尚久，"アンテナ工学入門講座," pp.108-109, 電波新聞社 (2008).

これらの式を行列表示すると， \begin{gather} \begin{pmatrix} \phi_1(u_1) & \phi_2(u_1) & \cdots & \phi_N(u_1) \\ \phi_1(u_2) & \phi_2(u_2) & \cdots & \phi_N(u_2) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \phi_1(u_N) & \phi_2(u_N) & \cdots & \phi_N(u_N) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\phi_0(u_1)+(-1)^1 \epsilon \\ -\phi_0(u_2)+(-1)^2 \epsilon \\ \vdots \\ -\phi_0(u_N)+(-1)^N \epsilon \end{pmatrix} \end{gather} よって，未知係数$a_n$は， \begin{gather} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi_1(u_1) & \phi_2(u_1) & \cdots & \phi_N(u_1) \\ \phi_1(u_2) & \phi_2(u_2) & \cdots & \phi_N(u_2) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \phi_1(u_N) & \phi_2(u_N) & \cdots & \phi_N(u_N) \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -\phi_0(u_1)+(-1)^1 \epsilon \\ -\phi_0(u_2)+(-1)^2 \epsilon \\ \vdots \\ -\phi_0(u_N)+(-1)^N \epsilon \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} これより，指向性を求め，3，4の計算を繰り返し $a_n$ を更新していく． $N$個のサイドローブレベルのピーク値が所定の値となれば反復を終了する． 3では，

$g'(u_n)=0$ を満足する $u_n$ を$N$個計算する．
$g(u)$ を細かく計算し，ピーク値を抽出して $u_n$ を決定する．

サイローブレベル$-20$ dB以下

指向性合成（$a_0 = 1.0$, $a_1 = 0.1197$, $a_2 = 0.0300$, $a_3 = -0.0323$，$\eta \simeq 0.97$）

サイローブレベル$-25$ dB以下

サイローブレベル$-30$ dB以下

サイローブレベル$-35$ dB以下

展開係数 $a_n \ (n=1,2, \cdots, N)$（ただし，$a_0 =1$）