5.1 波源分布のフーリエ級数展開
開口面分布と電界指向性との関係
直角座標系$(x_1, x_2, x_3)$において，
$x_3=0$ における開口面$A$の電界分布のスカラー成分 $E_a(x_1,x_2)$
を逆フーリエ変換すると，フラウンホーファ領域電界指向性のスカラー成分（ユニバーサル電界パターン）
$g(k_1,k_2)$が求められ，次のようになる．
\begin{gather}
g(k_1,k_2) = \iint_A E_a(x_1,x_2) e^{j(k_1 x_1 + k_2 x_2)} dx_1 dx_2
\end{gather}
ただし，
$k_1$，$k_2$
は波数ベクトルの
$x_1$，$x_2$
成分を示す．開口面$A$の外側をゼロとして
$e(x_1,x_2)$
を定義すれば積分範囲を拡張でき，逆変換が行える．
したがって，開口面分布
$e(x_1,x_2)$
と電界指向性
$g(k_1,k_2)$
は，次のようにフーリエ変換対で表される．
\begin{eqnarray}
g(k_1,k_2) &=& \iint_{-\infty}^{\infty} e(x_1,x_2) e^{j(k_1 x_1 + k_2 x_2)} dx_1 dx_2
\\
e(x_1,x_2) &=& \frac{1}{(2\pi)^2} \iint_{-\infty}^{\infty}
g(k_1,k_2) e^{-j(k_1 x_1 + k_2 x_2)} dk_1 dk_2
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
k_1 &=& k \sin \theta \cos \phi
\\
k_2 &=& k \sin \theta \sin \phi
\end{eqnarray}
なお，2次元フーリエ変換対の係数の積は $1/(2\pi)^2$ である．
変数分離された開口面分布
開口面分布が変数分離形
$e(x_1,x_2) = e_1(x_1) e_2(x_2)$
のとき，
\begin{eqnarray}
g(k_1,k_2) &=& \iint_{-\infty}^{\infty} e_1(x_1) e_2(x_2) e^{jk_1 x_1} e^{jk_2 x_2} dx_1 dx_2
\nonumber \\
&=& \left( \int_{-\infty}^{\infty} e_1(x_1) e^{jk_1 x_1} dx_1 \right)
\left( \int_{-\infty}^{\infty} E_2(x_2) e^{jk_2 x_2} dx_2 \right)
\nonumber \\
&\equiv& g_1(k_1) g_2(k_2)
\end{eqnarray}
ここで，$D_1 \times D_2$ の方形開口の場合，
\begin{gather}
g_1(k_1) = \int_{-\infty}^{\infty} e_1(x_1) e^{jk_1 x_1} dx_1
= \int_{-\frac{D_1}{2}}^{\frac{D_1}{2}} e_1(x_1) e^{jk_1 x_1} dx_1\\
g_2(k_2) = \int_{-\infty}^{\infty} e_2(x_2) e^{jk_2 x_2} dx_2
= \int_{-\frac{D_2}{2}}^{\frac{D_2}{2}} e_2(x_2) e^{jk_2 x_2} dx_2
\end{gather}
逆に，
\begin{eqnarray}
e(x_1,x_2) &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{-\infty}^{\infty}
g_1(k_1) g_2(k_2) e^{-j(k_1 x_1 + k_2 x_2)} dk_1 dk_2
\nonumber \\
&=& \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_1(k_1) e^{-jk_1 x_1} dk_1 \right)
\left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_2(k_2) e^{-jk_2 x_2} dk_2 \right)
\nonumber \\
&\equiv& e_1(x_1) e_2(x_2)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
e_1(x_1) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_1(k_1) e^{-jk_1 x_1} dk_1
\\
e_2(x_2) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_2(k_2) e^{-jk_2 x_2} dk_2
\end{eqnarray}
座標系の正規化
正規化した直角座標$(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$を考え，
\begin{gather}
x_1 \equiv \frac{D_1}{2} \bar{x_1}
\\
x_2 \equiv \frac{D_2}{2} \bar{x_2}
\end{gather}
いま，$\phi=0$ とおけば，$x_1x_3$面の波源分布 $e_1(x_1)$ と電界指向性 $g_1(x_1)$ の関係は，
\begin{align}
&k_1 = k \sin \theta \cos 0 = k \sin \theta
\\
&u_1 \equiv k\frac{D_1}{2} \sin \theta
= \frac{\pi D_1}{\lambda} \sin \theta
\end{align}
より，
\begin{eqnarray}
g_1(k_1) &=& \int_{-\frac{D_1}{2}}^{\frac{D_1}{2}} e_1(x_1) e^{jk_1 x_1} dx_1
\nonumber \\
&=& \frac{D_1}{2} \int_{-1}^1 e_1(\bar{x}) e^{ju_1 \bar{x}_1} d\bar{x}_1 = g_1(u_1)
\\
e_1(x_1) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_1(k_1) e^{-jk_1 x_1} dk_1
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2\pi} \frac{2}{D_1} \int_{-\infty}^{\infty} g_1(u_1) e^{-ju_1 \bar{x}_1} du_1
\end{eqnarray}
また，$\phi=\pi/2$ とおけば，$x_2x_3$面の波源分布 $e_2(x_2)$ と電界指向性 $g_2(x_2)$ の関係は，
\begin{align}
&k_2 = k \sin \theta \sin \frac{\pi}{2} = k \sin \theta\\
&u_2 \equiv k\frac{D_2}{2} \sin \theta
= \frac{\pi D_2}{\lambda} \sin \theta
\end{align}
より，
\begin{eqnarray}
g_2(k_2) &=& \int_{-\frac{D_2}{2}}^{\frac{D_2}{2}} e_2(x_2) e^{jk_2 x_2} dx_2
\nonumber \\
&=& \frac{D_2}{2} \int_{-1}^1 e_2(\bar{x}_2) e^{ju_2 \bar{x}_2} d\bar{x}_2 = g_2(u_2)
\\
e_2(x_2) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g_2(k_2) e^{-jk_2 x_2} dk_2
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2\pi} \frac{2}{D_2} \int_{-\infty}^{\infty} g_2(u_2) e^{-ju_2 \bar{x}_2} du_2
\end{eqnarray}
1次元フーリエ変換対
$x_1x_3$面と$x_2x_3$面の関係を一つにまとめ，
$x_ix_3$面（$i=1,2$）に対する関係を，
\begin{gather}
x_i = \frac{D_i}{2} \bar{x}_i, \ \ \ \ \
u_i = \frac{\pi D_i}{\lambda} \sin \theta
\end{gather}
として，
\begin{eqnarray}
g_i(u_i) &=& \int_{-\frac{D_i}{2}}^{\frac{D_i}{2}} e_i(x_i) e^{ju_i \frac{2}{D_i} x_i} dx_i
\nonumber \\
&=& \frac{D_i}{2} \int_{-1}^1 e_i(\bar{x}_i) e^{ju_i \bar{x}_i} d\bar{x}_i
\\
e_i(\bar{x}_i)
&=& \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{D_i} \int_{-\infty}^{\infty} g_i(u_i) e^{-ju_i \bar{x}_i} du_i
\end{eqnarray}
添字 $i$ を省略して簡略化して
\begin{gather}
x = \frac{D}{2} \bar{x}, \ \ \ \ \
u = \frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta
\end{gather}
とすると，
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \int_{-\frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} e(x) e^{ju \frac{2}{D} x} dx
\nonumber \\
&=& \frac{D}{2} \int_{-1}^1 e(\bar{x}) e^{ju \bar{x}} d\bar{x}
\\
e(\bar{x})
&=& \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{D} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-ju \bar{x}} du
\end{eqnarray}
波源分布のフーリエ級数展開
1次元波源分布$e(\bar{x}) \ (-1 \le \bar{x} \le 1)$を，
複素フーリエ級数で展開すると，
\begin{gather}
e(\bar{x}) = \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}}
\end{gather}
いま，$e(\bar{x}) \ (-1 \le \bar{x} \le 1)$が与えられれば（周期$T=2$），
\begin{eqnarray}
\frac{1}{T} \int _{-1}^1 e(\bar{x}) e^{jm\pi \bar{x}} d\bar{x}
&=& \frac{1}{2} \int _{-1}^1 \left( \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}} \right) e^{jm\pi \bar{x}} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N \frac{a_n}{2} \int _{-1}^1 e^{j(m-n)\pi \bar{x}} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N \frac{a_n}{2} \left[ \frac{e^{j(m-n)\pi \bar{x}}}{j(m-n)\pi} \right]_{-1}^1
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N \frac{a_n}{2} \cdot \frac{e^{j(m-n)\pi} - e^{-j(m-n)\pi}}{j(m-n)\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N \frac{a_n}{2} \cdot \frac{j2 \sin (m-n)\pi}{j(m-n)\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \cdot \frac{\sin (m-n)\pi}{(m-n)\pi}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\frac{\sin (m-n)\pi}{(m-n)\pi} = \left\{
\begin {array}{ll}
1 & (m = n) \\
0 & (m \ne n)
\end{array} \right.
= \delta _{m,n}
\end{gather}
より，
\begin{align}
&\frac{1}{2} \int _{-1}^1 e(x) e^{jm\pi \bar{x}} d\bar{x}
= \sum_{n=-N}^N a_n \delta_{m,n}
= a_m
\nonumber \\
&\therefore
a_n = \frac{1}{2} \int _{-1}^1 e(x) e^{jn\pi \bar{x}} d\bar{x}
\end{align}
実数係数で展開された開口面分布
複素波源分布 $e(\bar{x})$ の複素共役 $e^*(\bar{x})$ は，
\begin{gather}
e^*(\bar{x}) = \left( \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}} \right)^*
= \sum_{n=-N}^N a_n^* e^{jn\pi \bar{x}}
\end{gather}
また，
\begin{gather}
e(-\bar{x}) = \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi (-\bar{x})}
= \sum_{n=-N}^N a_n e^{jn\pi \bar{x}}
\end{gather}
展開係数 $a_n$ が実数のとき，$a_n = a_n^*$ より，次式が成り立つ．
\begin{gather}
e^*(\bar{x}) = \sum_{n=-N}^N a_n e^{jn\pi \bar{x}} = e(-\bar{x})
\end{gather}
いま，複素波源分布 $e(\bar{x}) \equiv E(\bar{x}) e^{j\varphi(\bar{x})}$
（$E$，$\varphi$は実数）とおくと，
\begin{eqnarray}
e^*(\bar{x})
&=& \big( E(\bar{x}) e^{j\varphi(\bar{x})} \big)^*
\nonumber \\
&=& E(\bar{x}) e^{j\{-\varphi(\bar{x})\}}
\nonumber \\
&=& e(-\bar{x})
\nonumber \\
&=& E(-\bar{x}) e^{j\varphi(-\bar{x})}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
E(\bar{x}) = E(-\bar{x})\\
-\varphi(\bar{x}) = \varphi(-\bar{x})
\end{gather}
つまり，展開係数 $a_n$ が実数のとき，
複素波源分布 $e(\bar{x})$ の振幅は偶関数，位相は奇関数となる．
対称な波源分布
波源分布 $e(\bar{x})$ が原点に対して対称な場合，
$e(-\bar{x})=e(\bar{x})$ より（$n'=-n$），
\begin{eqnarray}
e (-\bar{x})
&=& \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi (-\bar{x})}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n e^{-j(-n)\pi \bar{x}}
\nonumber \\
&=& \sum_{n'=-N}^N a_{-n'} e^{-jn'\pi \bar{x}}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
a_{-n} = a_n
\end{gather}
これより，対称な開口面分布$e(\bar{x})$は，
\begin{eqnarray}
e(\bar{x})
&=& \sum_{n'=1}^N a_{-n'} e^{-j(-n')\pi \bar{x}}
+ a_0 + \sum_{n=1}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}}
\nonumber \\
&=& a_0
+ \sum_{n=1}^N a_n \left( e^{jn\pi \bar{x}} + e^{-jn\pi \bar{x}} \right)
\nonumber \\
&=& a_0 +2 \sum_{n=1}^N a_n \cos (n\pi \bar{x})
\end{eqnarray}
波源分布の逆フーリエ変換
1次元波源（電界）分布 $e(\bar{x}) \ (-1 \le \bar{x} \le 1)$ を（$x = \frac{D}{2} \bar{x}$），
\begin{eqnarray}
e(\bar{x})
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{D}\sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D} \sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}}
\end{eqnarray}
とおき，逆フーリエ変換すると電界指向性 $g(u)$ は（$u=\frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta$），
\begin{eqnarray}
g(u)
&=& \frac{D}{2}\int_{-1}^1 e(\bar{x}) e^{ju \bar{x}} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \frac{D}{2}\int_{-1}^1 \left( \frac{1}{D}
\sum_{n=-N}^N a_n e^{-jn\pi \bar{x}} \right) e^{ju\bar{x}} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \sum_{n=-N}^N a_n \int_{-1}^1 e^{j(u-n\pi) \bar{x}} d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \sum_{n=-N}^N a_n \left[ \frac{e^{j(u-n\pi) \bar{x}}}{j(u-n\pi)} \right]_{-1}^1
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \sum_{n=-N}^N a_n \left\{ \frac{e^{j(u-n\pi)} - e^{-j(u-n\pi)}}{j(u-n\pi)} \right\}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\label{eq:guansinc}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
u = \frac{\pi D}{\lambda} \sin \theta
\end{gather}
より，可視領域は，$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$の範囲で
$-\frac{\pi D}{\lambda} \le u \le \frac{\pi D}{\lambda}$
となる．不可視領域まで指向性合成を拡大する場合，この $u$ の範囲より十分広くして考えればよい．電界指向性$g(u)$をsinc関数を用いて表すと次のようになる．
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \ \mbox{sinc} \left( \frac{u}{\pi} - n \right)
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
\sin (u-n\pi)
&=& \sin u \cos (n\pi) - \cos u \sin (n \pi)
\nonumber \\
&=& \sin u (-1)^n
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
\frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
&=& \frac{(-1)^n \sin u}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \frac{(-1)^n}{1-\frac{n\pi}{u}} \frac{\sin u}{u}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{(-1)^n}{1-\frac{n\pi}{u}} \frac{\sin u}{u}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{(-1)^n}{1-\frac{n\pi}{u}} \cdot
\mbox{sinc} \left( \frac{u}{\pi} \right)
\label{eq:guanan}
\end{eqnarray}
上式において各項は実数であるが，展開係数 $a_n$ は実数の場合と複素数の場合があろう．
$a_n$ が実数の場合，$g(u)$ も実数である．ここで，$u=0$ とおくと，
\begin{gather}
g(0) = \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (0-n\pi)}{0-n\pi} = a_0
\label{eq:g0a0}
\end{gather}
これより，
$g(0)=1$
とおくと，
$a_0=1$
となる．このとき，
\begin{gather}
e(\bar{x}) = \frac{1}{D} \left\{ 1+2 \sum_{n=1}^N a_n \cos (n\pi \bar{x}) \right\}
\end{gather}
また，電界指向性 $g(u)$ も $a_{-n} = a_n$ の関係を用いると，
\begin{eqnarray}
g(u) &=& \sum_{n=-N}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=-N}^{-1} a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
+ a_0 \frac{\sin(u)}{u} + \sum_{n=1}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& \sum_{n'=1}^{N} a_{-n'} \frac{\sin (u+n'\pi)}{u+n'\pi}
+ a_0 \frac{\sin(u)}{u} + \sum_{n=1}^N a_n \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi}
\nonumber \\
&=& a_0 \frac{\sin u}{u} + \sum_{n=1}^N a_n \left\{ \frac{\sin (u+n\pi)}{u+n\pi}
+ \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi} \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{\sin u }{u} \left\{ a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \frac{2(-1)^n u^2}{u^2-(n\pi)^2} \right\}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\phi_0(u) &\equiv& \frac{\sin u}{u}
\label{eq:phi0u}
\\
\phi_n(u) &\equiv& \frac{\sin (u-n\pi)}{u-n\pi} + \frac{\sin (u+n\pi)}{u+n\pi}
\nonumber \\
&=& \frac{\sin u }{u} \cdot \frac{2(-1)^n u^2}{u^2-(n\pi)^2} \ \ \
(n=1,2, \cdots, N)
\label{eq:phinu}
\end{eqnarray}
とおくと，
電界指向性 $g(u)$ は，
\begin{gather}
g(u) = a_0 \phi_0(u) + \sum_{n=1}^N a_n \phi_n(u)
\end{gather}
さらに，$a_0=1$ のとき，
\begin{gather}
g(u) = \phi_0(u) + \sum_{n=1}^N a_n \phi_n(u)
\label{eq:guphi0}
\end{gather}
なお，MATLABの関数sincは，
\begin{gather}
\mbox{sinc} \ t = \left\{
\begin {array}{cc}
\displaystyle{\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}} & (t \ne 0) \\
1 & (t=0)
\end{array} \right.
\end{gather}
開口能率
開口能率（aperture efficiency）あるいは利得係数は，一様開口面分布の利得$G_{u0}$に対する利得低下量を表し
（$S$は開口面積），
\begin{eqnarray}
\eta _a &=& \frac{G_0}{G_{u0}}
= \frac{G_0}{\frac{4\pi S}{\lambda^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{\lambda^2}{4\pi S} \cdot
\frac{4\pi}{\lambda ^2} \ \frac{\big| g(0,0) \big| ^2}{
\displaystyle \iint _A | E_a | ^2 dS}
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle \left| \iint _A E_a dS \right| ^2}{\displaystyle S \iint _A | E_a | ^2 dS}
\end{eqnarray}
方形開口（$D_1 \times D_2$）面上の電界分布が
変数分離形 $E_a(x_1,x_2) =e_1(x_1)e_2(x_2)$ のとき，
$S=D_1 D_2$，$dS=dx_1dx_2$ より，
\begin{gather}
\eta _a
= \frac{\displaystyle \left| \int _{D_1} e_1(x_1) dx_1 \right| ^2}{
\displaystyle D_1 \int _{D_1} | e_1(x_1) | ^2 dx_1} \cdot
\frac{\displaystyle \left| \int _{D_2} e_2(x_2) dx_2 \right| ^2}{
\displaystyle D_2 \int _{D_2} | e_2(x_2) | ^2 dx_2}
\equiv \eta_1 \eta_2
\end{gather}
変数分離された開口能率 $\eta_i$ は，$x_i = \frac{D_i}{2} \bar{x}_i$，
$dx_i = \frac{D_i}{2} d\bar{x}_i \ (i=1,2)$より，
\begin{eqnarray}
\eta _i
&=& \frac{\displaystyle \left| \int _{-\frac{D_i}{2}}^{\frac{D_i}{2}} e_i(x_i) dx_i \right| ^2}{
\displaystyle D_i \int _{-\frac{D_i}{2}}^{\frac{D_i}{2}} | e_i(x_i) | ^2 dx_i}
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle \big| g_i(0) \big| ^2}{
\displaystyle \frac{D_i^2}{2} \int _{-1}^1 | e_i(\bar{x}_i) | ^2 d\bar{x}_i}
\end{eqnarray}
ただし，$g_i(0) \ (i=1,2)$は正面方向の電界指向性$g(0,0)$ $(= g_1 g_2)$を変数分離したもので，
\begin{eqnarray}
g_i(0) &=& \int _{-\frac{D_i}{2}}^{\frac{D_i}{2}} e_i(x_i) dx_i
\nonumber \\
&=& \frac{D_i}{2} \int _{-1}^1 e_i(\bar{x})_i d\bar{x}_i
\end{eqnarray}
後述する1次元の解析においても添字 $i$ を省略して簡略化していく．
1次元波源分布に対する開口能率
1次元波源分布 $e(\bar{x})$ より，直交性を用いれば，
\begin{eqnarray}
\int_{-1}^1 |e(\bar{x})|^2 d\bar{x}
&=& \int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{D} \left\{ 1+ 2
\sum_{n=1}^N a_n \cos (n\pi \bar{x}) \right\} \right]^2 d\bar{x}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left\{ \int_{-1}^1 d\bar{x}
+ 4 \sum_{n=1}^N a_n^2 \int_{-1}^1 \cos^2 (n\pi \bar{x}) d\bar{x} \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{D^2} \left\{ 2 + 4 \sum_{n=1}^N 2a_n^2 \int_0^1 \frac{1}{2}
\left\{ 1+ \cos (2n\pi \bar{x}) \right\} d\bar{x} \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{2}{D^2} \left\{ 1+ 2 \sum_{n=1}^N a_n^2 \left[ x + \frac{\sin (2n\pi x)}{2n\pi} \right]_0^1 \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{2}{D^2} \left( 1+ 2 \sum_{n=1}^N a_n^2 \right)
\end{eqnarray}
よって，1次元波源分布に対する（1次元）開口能率 $\eta$ は，$g(0)=1$ より，
\begin{gather}
\eta = \frac{|g(0)|^2}{\displaystyle{{\frac{D^2}{2}\int_{-1}^1 |e(\bar{x})|^2 d\bar{x}}}}
=\frac{1}{\displaystyle{1+2\sum_{n=1}^N a_n^2}}
\end{gather}
上式において，展開係数 $a_n$ の項は2次式であり，
\begin{gather}
\sum_{n=1}^N a_n^2
= \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1& 0 & \cdots \\
0 & 1& \cdots \\
\vdots & \vdots & \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ \vdots
\end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \VECi{a}^t 2[U] \VECi{a}
\label{eq:at2E}
\end{gather}
ただし，$[U]$は$N \times N$単位行列，
$\VECi{a}^t$は列ベクトル$\VECi{a}$の転置を示す．