円形導波管のTMモード，正規化
TMモードの管壁\(C\)での境界条件より，
\begin{gather}
\Psi^{\mathrm{TM}} \Big| _{\rho =a} = 0
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
J_m (k_c a) = 0, \ \ \ k_c = \frac{\chi _{mn}}{a}
\end{gather}
ただし，\(\chi _{mn}\)は\(J_m(\chi) = 0\)をみたす\(n\)番目の零点を示す．よって，
\begin{gather}
\psi^{\mathrm{TM}} = \Psi^{\mathrm{TM}} (\rho,\phi) \mathcal{Z}^{\mathrm{TM}}(z)
\end{gather}
ここで．
\begin{eqnarray}
\Psi^{\mathrm{TM}} &=& A_{(mn)} J_m \left( \frac{\chi _{mn}\rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi
\\
\mathcal{Z}^{\mathrm{TM}} &=& e^{-jk_{z,(mn)}z}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
k^2 &=& \left( \frac{\chi _{mn}}{a} \right)^2 + k_{z,(mn)}^2
\nonumber \\
&\equiv& k_{c,(mn)} ^2 + k_{z,(mn)}^2
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{gather}
k_{c,(mn)} = \frac{\chi _{mn}}{a}, \ \ \
J_m \left( \chi_{mn} \right) =0
\end{gather}
このとき，伝搬定数\(\gamma _{(mn)}\)は，
\begin{eqnarray}
\gamma _{(mn)}
&=& jk_{z,(mn)}
\nonumber \\
&=& \left\{
\begin {array}{ll}
j\beta _{(mn)} = j\sqrt{k^2-k_{c,(mn)}^2} & (k > k_{c,(mn)}) \\
\alpha _{(mn)} = \sqrt{k_{c,(mn)}^2-k^2} & (k < k_{c,(mn)})
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
また，管内波長\(\lambda_{g,[mn]}\)（伝搬モード），遮断波長\(\lambda_{c,[mn]}\)は，
\begin{eqnarray}
\lambda_{g,(mn)} &=& \frac{2\pi}{\beta_{(mn)}}
\\
\lambda_{c,(mn)} &=& \frac{2\pi}{k_{c,(mn)}}
= \frac{2\pi}{\displaystyle{\frac{\chi _{mn}}{a}}}
\nonumber \\
&=& \frac{2\pi a}{\chi _{mn}}
\end{eqnarray}
よって，モード関数\(\boldsymbol{e}_{(mn)}\)は，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{(mn)}
&=& - \nabla _t \Psi^{\mathrm{TM}}
\nonumber \\
&=& -\left( \frac{\partial \Psi^{\mathrm{TM}}}{\partial \rho} \boldsymbol{a}_\rho
+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial \Psi^{\mathrm{TM}}}{\partial \phi} \boldsymbol{a}_\phi \right)
\nonumber \\
&=& A_{(mn)} \left[ -\frac{\chi_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \mp \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\nonumber \\
&\equiv& e_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho + e_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi
\end{eqnarray}
また，\(\boldsymbol{h}_{(mn)}\)は，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{h}_{(mn)}
&=& \boldsymbol{a}_z \times \boldsymbol{e}_{(mn)}
\nonumber \\
&=& \boldsymbol{a}_z \times \left( e_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho + e_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi \right)
\nonumber \\
&=& e_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi - e_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho
\nonumber \\
&=& -e_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho + e_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi
\nonumber \\
&\equiv& h_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho + h_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi
\nonumber \\
&=& A_{(mn)} \left[ \pm \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. -\frac{\chi_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
モード関数の正規化条件に関わる面積分は，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S} \big| \boldsymbol{e}_{(mn)} \big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \big| A_{(mn)} \big|^2 k_{c,(mn)}^2 \iint_S ( \Psi_{(mn)} )^2 dS
\nonumber \\
&=& \big| A_{(mn)} \big|^2 k_{c,(mn)}^2 \int_0^a \int _0^{2\pi} \left[
J_m \left( \frac{\chi_{mn}\rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi
\right]^2 \rho d\rho d\phi
\nonumber \\
&=& \big| A_{(mn)} \big|^2 k_{c,(mn)}^2
\int _0^{2\pi} \begin{matrix} \sin^2 \\ \cos^2 \end{matrix} \ m \phi \ d\phi
\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
\end{eqnarray}
ベッセル関数の積分公式より，
\begin{gather}
\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
= \frac{1}{2} \left[ a^2 J_m'^2 (\chi_{mn})
+ \left( a^2 - \frac{m^2 a^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \right) J_m^2 (\chi_{mn}) \right]
\end{gather}
TMモードの境界条件（\(J_m \left( \chi_{mn} \right) = 0\)）を用いれば，
\begin{gather}
\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
= \frac{a^2}{2} J_m^{\prime 2} (\chi_{mn})
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
\iint _{S} \big| \boldsymbol{e}_{(mn)} \big|^2 dS
&=& \big| A_{(mn)} \big|^2 \left( \frac{\chi_{mn}}{a} \right)^2 \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{a^2}{2} J_m^{\prime 2} (\chi_{mn})
\nonumber \\
&=& \big| A_{(mn)} \big|^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \chi^2_{mn}
J_m^{\prime 2} \left( \chi_{mn} \right)
\equiv 1
\end{eqnarray}
とおいて，TM\(_{mn}\)モードの正規化係数\(A_{(mn)}(>0)\)を求めると次のようになる（絶対値をとらない場合もある）．
\begin{gather}
A_{(mn)} = \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi}}
\ \frac{1}{\chi _{mn} \big| J_m' (\chi _{mn}) \big| }
\end{gather}
ベッセル関数の公式
\begin{gather}
J_m'(z) = \frac{m}{z} J_m(z) - J_{m+1} (z)
\end{gather}
および境界条件\(J_m \left( \chi_{mn} \right) = 0\)を用いると，
\begin{eqnarray}
J_m' (\chi _{mn})
&=& \frac{m}{\chi _{mn}} J_m (\chi _{mn}) - J_{m+1} (\chi _{mn})
\nonumber \\
&=& -J_{m+1} (\chi _{mn})
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
A_{(mn)} = \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi}}
\ \frac{1}{\chi _{mn} \big| J_{m+1} (\chi _{mn}) \big| }
\end{gather}
主偏波成分のベクトルの向きをTEモードに合わせるため上側と下側を入れ替えると（正弦モードと余弦モードを対応させる），
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{(mn)}
&=& A_{(mn)} \left[ -\frac{\chi_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \pm \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\\
\boldsymbol{h}_{(mn)}
&=& \boldsymbol{a}_z \times \boldsymbol{e}_{(mn)}
= -e_{\phi,(mn)} \boldsymbol{a}_\rho + e_{\rho,(mn)} \boldsymbol{a}_\phi
\nonumber \\
&=& A_{(mn)}
\left[ \mp \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. -\frac{\chi_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
\(m=0\)のとき，\(\sin m \phi =0\)，\(\cos m \phi =1\)ゆえ，
下側符号はゼロ，上側符号のみとなり，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{(0n)}
&=& -A_{(0n)} \frac{\chi_{0n}}{a} J_0' \left( \frac{\chi_{0n} \rho}{a} \right) \boldsymbol{a}_\rho
\nonumber \\
&=& e_{\rho,(0n)} \boldsymbol{a}_\rho
\\
\boldsymbol{h}_{(0n)}
&=& e_{\rho,(0n)} \boldsymbol{a}_\phi
\end{eqnarray}