円形導波管のTEモードの正規化
磁界モード関数の正規化条件
モード関数の正規化条件に関わる積分は，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S} \big| \boldsymbol{h}_{[mn]} \big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \big| A_{[mn]} \big|^2 k_{c,[mn]}^2 \iint_S ( \Psi_{[mn]} )^2 dS
\nonumber \\
&=& \big| A_{[mn]} \big|^2 k_{c,[mn]}^2 \int_0^a \int _0^{2\pi} \left[
J_m \left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi
\right]^2 \rho d\rho d\phi
\nonumber \\
&=& \big| A_{[mn]} \big|^2 k_{c,[mn]}^2
\int _0^{2\pi} \begin{matrix} \sin^2 \\ \cos^2 \end{matrix} \ m \phi \ d\phi
\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\int _0^{2\pi} \sin ^2 m\phi \ d\phi = \left\{
\begin {array}{cl}
\pi & (m \neq 0) \\
0 & (m = 0)
\end{array} \right.
\\
&\int _0^{2\pi} \cos ^2 m\phi \ d\phi = \left\{
\begin {array}{cl}
\pi & (m \neq 0) \\
2\pi & (m = 0)
\end{array} \right. = \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\end{align}
このとき，\(m=0\)のモードは\(\cos m\phi=1\)のみによって表されており，
\(\sin m\phi=0\)は用いない．\(\sin^2 m\phi\)の積分でも\(m \neq 0\)として，
\begin{gather}
\int _0^{2\pi}
\begin{matrix} \sin^2 \\ \cos^2 \end{matrix} \ m \phi \ d\phi
= \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\end{gather}
ベッセル関数の積分
ベッセル関数の不積分公式
\begin{gather}
\int zJ_{\nu }^2 (\alpha z) dz
= \frac{1}{2} \left\{ z^2 J_{\nu }'^2 (\alpha z)
+ \left( z^2 - \frac{\nu ^2}{\alpha ^2} \right) J_{\nu }^2(\alpha z) \right\}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
&&\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \rho^2 J_m'^2 \left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right)
+ \left( \rho^2 - \frac{m^2 a^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \right) J_m^2\left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right) \right]_0^a
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \left[ a^2 J_m'^2 (\chi '_{mn})
+ \left( a^2 - \frac{m^2 a^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \right) J_m^2 (\chi '_{mn}) \right]
\end{eqnarray}
TEモードの境界条件より，\(J_m' \left( \chi'_{mn} \right) = 0\)より，
\begin{gather}
\int_0^a J_m^2 \left( \frac{\chi '_{mn}\rho}{a} \right) \rho d\rho
= \frac{1}{2} \left( a^2 - \frac{m^2 a^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \right) J_m^2 (\chi '_{mn})
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S} \big| \boldsymbol{h}_{[mn]} \big|^2 dS
\nonumber \\
&=& \big| A_{[mn]} \big|^2 \left( \frac{\chi '_{mn}}{a} \right)^2 \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{1}{2} \left( a^2 - \frac{m^2 a^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \right) J_m^2 (\chi '_{mn})
\nonumber \\
&=& \big| A_{[mn]} \big|^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \big( \chi^{\prime 2}_{mn} -m^2 \big)
J_m^2 \left( \chi'_{mn} \right)
\equiv 1
\end{eqnarray}
正規化係数
TE\(_{mn}\)モードの正規化係数\(A_{[mn]} (> 0)\)を求めると次のようになる（絶対値をつけない定義もできる）．
\begin{eqnarray}
A_{[mn]} &=& \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi \big( \chi^{\prime 2}_{mn} -m^2 \big) }}
\ \frac{1}{|J_m (\chi '_{mn})|}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi \big( k_{c,[mn]}^2 a^2 -m^2 \big) }}
\ \frac{1}{|J_m (\chi '_{mn})|}
\end{eqnarray}
モード関数を再記して，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{[mn]}
&=& A_{[mn]}
\left[ \mp \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi'_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{\chi'_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi'_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\\
\boldsymbol{h}_{[mn]}
&=& \boldsymbol{a}_z \times \boldsymbol{e}_{[mn]}
\nonumber \\
&=& -e_{\phi,[mn]} \boldsymbol{a}_\rho + e_{\rho,[mn]} \boldsymbol{a}_\phi
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \left[ -\frac{\chi'_{mn}}{a} J_m' \left( \frac{\chi'_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\rho \right.
\nonumber \\
&&\left. \mp \frac{m}{\rho} J_m \left( \frac{\chi'_{mn} \rho}{a} \right)
\begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} \ m \phi \ \boldsymbol{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
なお，\(m=0\)のとき，\(\sin m \phi =0\)，\(\cos m \phi =1\)ゆえ，
上側符号はゼロ，下側符号のみとなり，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_{[0n]}
&=& A_{[0n]} \frac{\chi'_{0n}}{a} J_0' \left( \frac{\chi'_{0n} \rho}{a} \right) \boldsymbol{a}_\phi
\nonumber \\
&=& e_{\phi,[0n]} \boldsymbol{a}_\phi
\\
\boldsymbol{h}_{[0n]} &=& -e_{\phi,[0n]} \boldsymbol{a}_\rho
\end{eqnarray}