2次元微分演算子\(\nabla_t\)を用いたスカラーヘルムホルツ方程式 \begin{gather} \nabla _t^2 \Psi +k_c^2 \Psi =0 \end{gather} を円筒座標系\((\rho ,\phi ,z)\)において解くため， 変数分離形で \begin{gather} \Psi(\rho,\phi) = \mathcal{R}(\rho ) \Phi(\phi ) \end{gather} とおくと，次式が得られる． \begin{gather} \rho \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac {\partial \mathcal{R}}{\partial \rho} \right) + \{ k_c^2 -m^2 \} \mathcal{R} = 0 \end{gather} これは，\(m\)次のベッセル関数の微分方程式（Bessel's equation of order m）であり， 半径\(\rho =a\)の円形導波管の中心（\(\rho = 0\)）においては有限な値をとるため，第1種ベッセル関数\(J_m(k_{\rho } \rho)\)を選べばよい． また， \begin{gather} \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial \phi ^2} + m^2 \Phi = 0 \ \ \ \mbox{[Harmonic equation]} \end{gather} ここで， \begin{gather} \Phi (\phi ) = \Phi (\phi + 2 \pi )\ \end{gather} より, \(m\)は整数となり，\(\sin m\phi\)，\(\cos m \phi\)を用いればよい．