無損失回路の性質
無損失回路のインピーダンス行列
インピーダンス行列\([Z]\)についても
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{12} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
無損失回路では，\(i,j,k = 1,2 \ (j \neq k)\)として，
\begin{eqnarray}
Z_{ij} &=& \left. \frac{V_i}{I_j} \right| _{I_k=0}
\nonumber \\
&=& \Im (Z_{ij})
\nonumber \\
&=& \mbox{Odd}(Z_{ij})
\end{eqnarray}
よって，\([Z]\)の全ての行列要素が純虚数，奇関数となる．
無損失回路のアドミタンス行列
アドミタンス行列\([Y]\)についても
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Y_{11} & Y_{12} \\
Y_{12} & Y_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
無損失回路では，\(i,j,k = 1,2 \ (j \neq k)\)として同様に，
\begin{eqnarray}
Y_{ij} &=& \left. \frac{I_i}{J_j} \right| _{I_k=0}
\nonumber \\
&=& \Im (Y_{ij})
\nonumber \\
&=& \mbox{Odd}(Y_{ij})
\end{eqnarray}
よって，\([Y]\)の全ての行列要素が純虚数，奇関数となる．
無損失回路の基本行列
さらに，基本行列\([F]\)は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
= [F]
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
, \ \ \ \ \
[F] =
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
インピーダンス行列要素を用いて表すと，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{Z_{12}}
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{11} Z_{22} - Z_{12}^2 \\
1 & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
C(s) &=& \frac{1}{Z_{12}(s)}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{-Z_{12}(-s)}
\nonumber \\
&=& -C(-s)
\nonumber \\
&=& \Im (C)
\\
A(s) &=& \frac{Z_{11}(s)}{Z_{12}(s)}
\nonumber \\
&=& \frac{-Z_{11}(-s)}{-Z_{12}(-s)}
\nonumber \\
&=& A(-s)
\nonumber \\
&=& \Re (A)
\\
D(s) &=& \frac{Z_{22}(s)}{Z_{12}(s)}
\nonumber \\
&=& \frac{-Z_{22}(-s)}{-Z_{12}(-s)}
\nonumber \\
&=& D(-s)
\nonumber \\
&=& \Re (D)
\\
B(s) &=& \frac{Z_{11}(s) Z_{22}(s)-Z_{12}^2(s)}{Z_{12}(s)}
\nonumber \\
&=& -B(-s)
\nonumber \\
&=& \Im (B)
\end{eqnarray}
よって，無損失回路では四端子定数の\(A\)，\(D\)は実数かつ偶関数，\(B\)，\(C\)は純虚数かつ奇関数となる．