入力インピーダンスの零点と極について
リアクタンス回路は，インダクタンス\(L\)とキャパシタンス\(C\)で構成されるため，入力インピーダン\(Z_{in}\)の分母，分子は，\(s\)の偶数次項からなる偶多項式\(F_1(s^2)\)
\begin{gather}
F_1(s^2) = a_{2n} s^{2n} + a_{2n-2} s^{2n-2} + \cdots + a_2 s^2 + a_0
\end{gather}
または，\(s\)の奇数次項からなる奇多項式\(sF_2(s^2)\)
\begin{gather}
sF_2(s^2) = a_{2n-1} s^{2n-1} + a_{2n-3} s^{2n-3} + \cdots + a_3 s^3 + a_1 s
\end{gather}
のどちらかになる．
無損失回路の入力インピーダンス\(Z_{in}\)は，リアクタンス成分のみゆえ奇関数であるから，\(Z_{in}\)の分母，分子は，偶多項式と奇多項式の組み合わせとなる．つまり，次のように分子が偶多項式ならば分母は奇多項式であり，
\begin{gather}
Z_{in} (s) = \frac{m_1(s)}{n_2(s)} = \frac{F_1(s^2)}{sF_2(s^2)}
\end{gather}
逆に，分子が奇多項式ならば分母は偶数多項式である．
\begin{gather}
Z_{in} (s) = \frac{m_2(s)}{n_1(s)}= \frac{sF_2(s^2)}{F_1(s^2)}
\end{gather}
\(Z_{in}\)の分母，分子の次数の差は1ゆえ，
\begin{eqnarray}
Z_{in} (s)
&=& \frac{F_1(s^2)}{sF_2(s^2)}
\nonumber \\
&=& H \frac{(s^2-s_1^2)(s^2-s_3^2) \cdots (s^2-s_{2n-1}^2)}{s(s^2-s_2^{\prime 2})(s^2-s_4^{\prime 2}) \cdots (s^2-s_{2n}^{\prime 2})}
\\ \mbox{or} \ \
&=& H \frac{(s^2-s_1^2)(s^2-s_3^2)(s^2-s_5^2) \cdots (s^2-s_{2n+1}^2)}{s(s^2-s_2^{\prime 2})(s^2-s_4^{\prime 2}) \cdots (s^2-s_{2n}^{\prime 2})}
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
Z_{in} (s)
&=& \frac{sF_2(s^2)}{F_1(s^2)}
\nonumber \\
&=& H \frac{s(s^2-s_2^2)(s^2-s_4^2) \cdots (s^2-s_{2n}^2)}{(s^2-s_1^{\prime 2})(s^2-s_3^{\prime 2}) \cdots (s^2-s_{2n-1}^{\prime 2})}
\\ \hspace{-5mm}
\mbox{or} \ \
&=& H \frac{s(s^2-s_2^2)(s^2-s_4^2) \cdots (s^2-s_{2n}^2)}{(s^2-s_1^{\prime 2})(s^2-s_3^{\prime 2})(s^2-s_5^{\prime 2}) \cdots (s^2-s_{2n+1}^{\prime 2})}
\end{eqnarray}
ここで，
\(s_i = j \omega_i\)より，
\begin{gather}
s^2-s_i^2 = s^2 - (j \omega_i)^2 = s^2 + \omega_i^2
\end{gather}
ゆえ，
\begin{eqnarray}
Z_{in} (s)
&=& H \frac{(s^2+\omega_1^2)(s^2+\omega_3^2) \cdots (s^2+\omega_{2n-1}^2)}{s(s^2+\omega_2^{\prime 2})(s^2+\omega_4^{\prime 2}) \cdots (s^2+\omega_{2n}^{\prime 2})}
\\
\mbox{or} \ \
&=& H \frac{(s^2+\omega_1^2)(s^2+\omega_3^2)(s^2+\omega_5^2) \cdots (s^2+\omega_{2n+1}^2)}{s(s^2+\omega_2^{\prime 2})(s^2+\omega_4^{\prime 2}) \cdots (s^2+\omega_{2n}^{\prime 2})}
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{gather}
Z_{in} (s)
= H \frac{s(s^2+\omega_2^2)(s^2+\omega_4^2) \cdots (s^2+\omega_{2n}^2)}{(s^2+\omega_1^{\prime 2})(s^2+\omega_3^{\prime 2}) \cdots (s^2+\omega_{2n-1}^{\prime 2})}
\\ \hspace{-4mm} \mbox{or} \ \
= H \frac{s(s^2+\omega_2^2)(s^2+\omega_4^2) \cdots (s^2+\omega_{2n}^2)}{(s^2+\omega_1^{\prime 2})(s^2+\omega_3^{\prime 2})(s^2+\omega_5^{\prime 2}) \cdots (s^2+\omega_{2n+1}^{\prime 2})}
\end{gather}
ここで，\(s = j \omega\)より，
\begin{eqnarray}
s^2 + \omega_i^2
&=& (j \omega)^2 + \omega_i^2
\nonumber \\
&=& \omega_i^2 - \omega
\end{eqnarray}
これより，リアクタンス\(X_i(\omega)\)は，次の4とおりとなる．
\begin{eqnarray}
X_1 (\omega)
&=& H \frac{(\omega_1^2-\omega^2)(\omega_3^2-\omega^2) \cdots (\omega_{2n-1}^2-\omega^2)}{-\omega (\omega_2^{\prime 2}-\omega^2)(\omega_4^{\prime 2}-\omega^2) \cdots (\omega_{2n}^{\prime 2}-\omega^2)}
\\
X_2 (\omega)
&=& H \frac{(\omega_1^2-\omega^2)(\omega_3^2-\omega^2)(\omega_5^2-\omega^2) \cdots (\omega_{2n+1}^2-\omega^2)}{-\omega (\omega_2^{\prime 2}-\omega^2)(\omega_4^{\prime 2}-\omega^2) \cdots (\omega_{2n}^{\prime 2}-\omega^2)}
\\
X_3 (\omega)
&=& H \frac{\omega (\omega_2^2-\omega^2)(\omega_4^2-\omega^2) \cdots (\omega_{2n}^2-\omega^2)}{(\omega_1^{\prime 2}-\omega^2)(\omega_3^{\prime 2}-\omega^2) \cdots (\omega_{2n-1}^{\prime 2}-\omega^2)}
\\
X_4 (\omega)
&=& H \frac{\omega (\omega_2^2-\omega^2)(\omega_4^2-\omega^2) \cdots (\omega_{2n}^2-\omega^2)}{(\omega_1^{\prime 2}-\omega^2)(\omega_3^{\prime 2}-\omega^2)(\omega_5^{\prime 2}-\omega^2) \cdots (\omega_{2n+1}^{\prime 2}-\omega^2)}
\end{eqnarray}
一方，\(Z_{in}(s) \)は次のように部分分数展開できる（Foster型展開式）．
\begin{eqnarray}
Z_{in}(s) &=& \frac{h_0}{s} + \sum_{\nu =1}^n \frac{2h_{2\nu} s}{s^2+\omega_{2\nu}^{\prime 2}} + h_\infty s
\nonumber \\
&=& \frac{h_0}{s} + \sum_{\nu =1}^n \left( \frac{h_{2\nu}}{s-j\omega_{2\nu}^{\prime}} + \frac{h_{2\nu}}{s+j\omega_{2\nu}^{\prime}}\right)
+ h_\infty s
\end{eqnarray}
\(Z_{in}(s) = jX_i(s)\)，\(s=j \omega\)より，
\begin{eqnarray}
X_i(\omega)
&=& -j Z_{in}(s)
\nonumber \\
&=& -\frac{h_0}{\omega} + \sum_{\nu =1}^n \frac{2h_{2\nu} \omega}{-\omega^2+\omega_{2\nu}^{\prime 2}} + h_\infty \omega
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
h_\infty &=& \lim_{s \to \infty} \frac{Z_{in}(s)}{s} = 0 \ \ \mbox{or} \ \ H >0\\
h_0 &=& \lim_{s \to 0} s Z_{in}(s)
\nonumber \\
&=& H \frac{\omega_1^2 \cdot \omega_3^2 \cdots \omega_{2n-1}^2}{\omega_2^2 \cdot \omega_4^2 \cdots} >0 \ \ \mbox{or} \ \ 0\\
h_{2\nu} &=& \lim_{s^2 \to -\omega_{2\nu}^{\prime 2}} \frac{s^2+\omega_{2\nu}^{\prime 2}}{2s} Z_{in}(s) >0
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
\frac{dZ_{in}(s)}{ds}
&=& j\frac{dX_i(\omega)}{d\omega} \frac{d\omega}{ds}
\nonumber \\
&=& j\frac{dX_i(\omega)}{d\omega} \frac{1}{j}
\nonumber \\
&=& \frac{dX_i(\omega)}{d\omega} >0
\end{eqnarray}
よって，リアクタンス関数\(X_i(\omega)\)は\(\omega\)に関して単調増加となるので，\(Z_{in}(s)\)の零点と極は虚軸上に交互に並ぶ．
4つのリアクタンス関数の計算例を図に示しており，いずれも．零点と極は虚軸上に交互に並んでいることが確認できる．
リアクタンス関数\(X_i(\omega)\)の角周波数特性の例