入力インピーダンスの偶・奇特性
偶関数，奇関数
入力インピーダンス\(Z_{in}\)の分母，分子を，\(s=j \omega\) に関する偶関数（even）\(m_i(s) = m_i(-s)\)と，奇関数（odd）\(n_i(s) = -n_i(-s) \ \ (i=1,2)\)で表すと，
\begin{gather}
Z_{in} = \frac{m_1(s) + n_1(s)}{m_2(s) + n_2(s)}
\end{gather}
ここで，偶関数\(m_i(s)\)は偶多項式で表され（\(n\)は整数），
\begin{eqnarray}
m_i(s) &=& a_{2n} s^{2n} + a_{2n-2} s^{2n-2} + \cdots + a_2 s^2 + a_0
\nonumber \\
&=& m_i(-s)
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
s^{2n} &=& (j\omega)^{2n}
\nonumber \\
&=& (-1)^n s^{2n}
\end{eqnarray}
より，\(m_i(s)\)は実数．また，奇関数\(n_i(s)\)は奇多項式で表され（\(n\)は整数），
\begin{eqnarray}
n_i(s) &=& a_{2n-1} s^{2n-1} + a_{2n-3} s^{2n-3} + \cdots + a_3 s^3 + a_1 s
\nonumber \\
&=& -n_i(-s)
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
s^{2n+1} &=& (j\omega)^{2n+1}
\nonumber \\
&=& j(-1)^n s^{2n+1}
\end{eqnarray}
より，\(n_i(s)\)は純虚数となることがわかる．そこで，\(\bar{n}_1\)，\(\bar{n}_2\)を実数とすると，
\begin{gather}
n_1 \equiv j \bar{n}_1, \ \ \ \ \
n_2 \equiv j \bar{n}_2
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
Z_{in}
&=& \frac{m_1 + n_1}{m_2 + n_2}
\nonumber \\
&=& \frac{m_1 + j \bar{n}_1}{m_2 + j \bar{n}_2}
\nonumber \\
&=& \frac{m_1 + j \bar{n}_1}{m_2 + j \bar{n}_2} \cdot \frac{m_2 - j \bar{n}_2}{m_2 - j \bar{n}_2}
\nonumber \\
&=& \frac{(m_1 m_2 - \bar{n}_1 \bar{n}_2) + j (m_1 \bar{n}_2 + m_2 \bar{n}_1)}{m_2^2 + \bar{n}_2^2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{Y_{in}}
\end{eqnarray}
上式より，\(Z_{in}\)の分母は偶関数である．一方，分子の実部は，
\begin{eqnarray}
m_1(-s) m_2(-s) - \bar{n}_1(-s) \bar{n}_2(-s)
&=& m_1(s) m_2(s) - \big( -\bar{n}_1(s) \big) \big( -\bar{n}_2(s) \big)
\nonumber \\
&=& m_1(s) m_2(s) - \bar{n}_1(s)\bar{n}_2(s)
\end{eqnarray}
ゆえ偶関数である．同様にして，分子の虚部は，
\begin{eqnarray}
m_1(-s) \bar{n}_2(-s) + m_2(-s) \bar{n}_1(-s)
&=& m_1(s) \big( -\bar{n}_2(s) \big) + m_2(s) \big( -\bar{n}_1(s) \big)
\nonumber \\
&=& - \big( m_1(s) \bar{n}_2(s) + m_2(s) \bar{n}_1(s) \big)
\end{eqnarray}
ゆえ奇関数であることがわかる．したがって，
\begin{eqnarray}
Z_{in} &=& \Re Z_{in} + \Im Z_{in}
\nonumber \\
&\equiv& \mbox{Ev} (Z_{in}) + \mbox{Odd}(Z_{in})
\end{eqnarray}
ただし，\(\mbox{Ev}(Z_{in})\)，\(\mbox{Odd}(Z_{in})\)は\(Z_{in}\)の偶関数，奇関数，
\(\Re (Z_{in})\)，\(\Im (Z_{in})\)は\(Z_{in}\)の実部，虚部を各々示す．
以上をまとめると，入力インピーダンス\(Z_{in}\)について，
\(Z_{in}\)の偶関数の項を表す\(\mbox{Ev}(Z_{in})\)は実数
\(Z_{in}\)の奇関数の項を表す\(\mbox{Odd}(Z_{in})\)は純虚数
入力アドミタンス\(Y_{in}\)も同様である．
無損失回路
無損失回路では入力インピーダンスは純虚数，つまり\(\Re (Z_{in}) =0\)ゆえ，
\begin{eqnarray}
Z_{in} &=& \frac{m_1 + j \bar{n}_1}{m_2 + j \bar{n}_2}
\nonumber \\
&=& j\frac{m_1 \bar{n}_2 + m_2 \bar{n}_1}{m_2^2 + \bar{n}_2^2}
\nonumber \\
&=& \Im (Z_{in})
\nonumber \\
&=& \mbox{Odd}(Z_{in})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{Y_{in}}
\end{eqnarray}
よって，無損失回路では入力インピーダンス\(Z_{in}\)，入力アドミタンス\(Y_{in}\)は純虚数かつ奇関数である．