伝送回路パラメータ
動作伝送係数
次の図のように2端子対回路のポート1に内部抵抗\(R_1\)の電圧源\(E\)を接続し，ポート2には任意の負荷\(R_2\)を接続する．
負荷\(R_2\)で終端した回路
このような電圧源から最大電力を得るためには，次の図のように電源の内部抵抗\(R_1\)に等しい負荷を接続すればよい．
最大電力が得られる回路
整合負荷\(R_1\)で得られる最大電力\(P_{00}\)と任意の負荷\(R_2\)で消費される電力\(P_2\)との比の平方根によってによって動作伝送係数\(S_B\)が次のように定義される．
\begin{eqnarray}
S_B &=& \sqrt{\frac{P_{00}}{P_2}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{V_{00} I_{00}}{V_2 (-I_2)}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{R_1 I_{00}^2}{R_2 (-I_2)^2}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot \frac{I_{00}}{-I_2}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
I_{00} = \frac{E}{2R_1} \label{eq:I00E2R1}
\end{gather}
より，
\begin{gather}
S_B = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} \frac{E}{V_2}
%= H
\end{gather}
なお，動作伝送係数\(S_B\)は，後述する伝達関数\(H\)に等しい．
最大電力が得られる基準の回路として，終端負荷\(R_2\)とするなら，次の図のように理想変成器（\(n:1\)）を用いてもよい．端子1-1'から負荷側を見た入力インピーダンス\(Z_{in}\)を\(R_1\)と等しくすれば最大電力が得られる．
\begin{eqnarray}
Z_{in} &=& \frac{V_1'}{I_1'}
\nonumber \\
&=& \frac{nV_2'}{\frac{-1}{n}I_2'}
\nonumber \\
&=& n^2 \frac{V_2'}{-I_2'}
\nonumber \\
&=& n^2 R_2
\nonumber \\
&=& R_1
\end{eqnarray}
よって，変成比\(n\) は，
\begin{gather}
n=\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}
\end{gather}
理想変成器を用いた基準の回路
挿入伝送係数
挿入伝送係数\(S_I\)は，電源と負荷の間に2端子対回路を挿入した場合としない場合の負荷\(R_2\)における消費電力比の平方根によって次のように定義される．
\begin{eqnarray}
S_I &=& \sqrt{\frac{P_0}{P_2}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{V_0 I_0}{V_2 (-I_2)}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{R_2 I_0^2}{R_2 (-I_2)^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{I_0}{-I_2}
\nonumber \\
&=& \frac{V_0}{V_2}
\end{eqnarray}
挿入伝送係数の定義で用いられる回路：回路挿入前
挿入伝送係数の定義で用いられる回路：回路挿入後
挿入伝達係数
挿入伝達係数は挿入伝送係数\(S_I\)の逆数で与えられる．
\begin{eqnarray}
\frac{1}{S_I}
&=& \sqrt{\frac{P_2}{P_0}}
\nonumber \\
&=& \frac{-I_2}{I_0}
\nonumber \\
&=& \frac{V_2}{V_0}
\end{eqnarray}
回路挿入前の図より，\(I_0\)は，
\begin{gather}
I_0 = \frac{E}{R_1 + R_2} \label{eq:I0ER1R2}
\end{gather}
一方，回路挿入後の図より，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& E - I_1 R_1 \label{eq:V1E-I1R1}
\\
V_2 &=& -I_2 R_2 \label{eq:V2-I2R2}
\end{eqnarray}
基本行列との関係
回路の基本行列が与えられている場合，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
式\eqref{eq:V2-I2R2}より，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& A V_2 + B (-I_2)
\nonumber \\
&=& \left( A R_2 + B \right) (-I_2)
\\
I_1 &=& C V_2 + D (-I_2)
\nonumber \\
&=& \left( C R_2 + D \right) (-I_2)
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:V1E-I1R1}に上式を代入して\(V_1\)，\(I_1\)を消去すると，
\begin{gather}
( A R_2 + B ) (-I_2) = E - ( C R_2 + D ) (-I_2) R_1
\nonumber \\
\therefore
(A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1) (-I_2) = E
\end{gather}
よって，\((-I_2)\)は，
\begin{gather}
-I_2 = \frac{E}{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1} \label{eq:mI2EAR2}
\end{gather}
上式と式\eqref{eq:I0ER1R2}より，挿入伝送係数\(S_I\)，およびその逆数の挿入伝達係数は，次のようになる．
\begin{align}
&S_I = \frac{I_0}{-I_2}
= \frac{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}{R_1 + R_2}
\nonumber \\
&\frac{1}{S_I}
= \frac{R_1 + R_2}{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}
\end{align}
式\eqref{eq:I00E2R1}，式\eqref{eq:mI2EAR2}より，
\begin{eqnarray}
\frac{I_{00}}{-I_2}
&=& \frac{\frac{E}{2R_1}}{\frac{E}{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}}
\nonumber \\
&=& \frac{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}{2R_1}
\end{eqnarray}
これより，動作伝送係数\(S_B\)は，
\begin{eqnarray}
S_B &=& \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot\frac{I_{00}}{-I_2}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot \frac{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}{2R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{A R_2 + B + C R_1 R_2 + D R_1}{2 \sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{R_1 + R_2}{2 \sqrt{R_1 R_2}} S_I
\end{eqnarray}
電源の内部抵抗\(R_1\)と負荷抵抗\(R_2\)が等しく\(R \equiv R_1 = R_2\)のとき，挿入伝送係数\(S_I\)と動作伝送係数\(S_B(=H)\)は一致し，
\begin{eqnarray}
S_B \Big|_{R = R_1 = R_2}
&=& S_I \Big|_{R = R_1 = R_2}
\nonumber \\
&=& \frac{A R + B + C R^2 + D R}{2 R}
\end{eqnarray}
さらに，\(R=1\)であれば，
\begin{eqnarray}
S_B \Big|_{R_1 = R_2 = 1}
&=& S_I \Big|_{R_1 = R_2 = 1}
\nonumber \\
&=& \frac{A + B + C + D}{2}
\end{eqnarray}
インピーダンス行列との関係
回路のインピーダンス行列が与えられている場合，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{12} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
式\eqref{eq:V2-I2R2}より，
\begin{gather}
V_2 = -I_2 R_2 = Z_{12} I_1 + Z_{22} I_2
\nonumber \\ \therefore
I_1 = \frac{R_2+Z_{22}}{Z_{12}} (-I_2) \label{eq:I1R2Z22}
\end{gather}
式\eqref{eq:V1E-I1R1}より，
\begin{gather}
V_1 = E - I_1 R_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2
\end{gather}
式\eqref{eq:I1R2Z22}を用いて\(I_1\)を消去すると，
\begin{eqnarray}
E &=& (R_1 + Z_{11}) I_1 + Z_{12} I_2
\nonumber \\
&=& (R_1 + Z_{11}) \frac{R_2+Z_{22}}{Z_{12}} (-I_2) + Z_{12} I_2
\nonumber \\
&=& \frac{(R_1 + Z_{11})(R_2+Z_{22})- Z_{12}^2}{Z_{12}} (-I_2) \label{eq:ER1Z11I1Z12I2}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:ER1Z11I1Z12I2}，式\eqref{eq:mI2EAR2}より，
\begin{eqnarray}
\frac{I_{00}}{-I_2}
&=& \frac{\frac{E}{2R_1}}{\frac{E Z_{12}}{(R_1 + Z_{11})(R_2+Z_{22})- Z_{12}^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2R_1} \cdot \frac{(R_1 + Z_{11})(R_2+Z_{22})- Z_{12}^2}{Z_{12}}
\end{eqnarray}
これより，動作伝送係数\(S_B\)は，
\begin{eqnarray}
S_B &=& \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot\frac{I_{00}}{-I_2}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot \frac{1}{2R_1} \cdot \frac{(R_1 + Z_{11})(R_2+Z_{22})- Z_{12}^2}{Z_{12}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2 \sqrt{R_1 R_2}} \cdot \frac{(R_1 + Z_{11})(R_2+Z_{22})- Z_{12}^2}{Z_{12}}
\end{eqnarray}
反射係数
回路挿入後の回路において，端子1-1'から回路を見たときの反射係数\(\Gamma_1\)は，
\begin{eqnarray}
\Gamma _1
&=& \frac{Z_{in} - R_1}{Z_{in} + R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{\frac{V_1}{I_1} - R_1}{\frac{V_1}{I_1}+R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{V_1 - I_1 R_1}{V_1 + I_1 R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{A R_2 + B - (C R_2 + D) R_1}{A R_2 + B + (C R_2 + D) R_1}
\end{eqnarray}
これより，特性関数\(K\)は次のように表される．
\begin{eqnarray}
K &=& \Gamma_1 H
\nonumber \\
&=& \frac{A R_2 + B - C R_1 R_2 - D R_1}{2 \sqrt{R_1 R_2}}
\end{eqnarray}
さらに，
\begin{align}
&\Gamma_1 H \Big|_{R = R_1 = R_2} = \frac{A R + B - C R^2 - D R}{2 R}
\\
&\Gamma_1 H \Big|_{R = R_1 = R_2=1} = \frac{A+ B - C- D}{2}
\end{align}