circuit_theory

信号源および終端抵抗のある回路

　出力側については負荷抵抗\(R_L\)で終端し， \begin{gather} V_2 = -I_2 R_L \end{gather} 入力側については，図のように電圧源が接続されている． \begin{gather} V_1 = E_g - I_1 R_g \label{eq:V1E-I1R1} \end{gather}

また，電圧源のかわりに電流源を接続すると， \begin{gather} I_1 = J_g - \frac{V_1}{R_g} \label{eq:I1Is} \end{gather}

回路の基本行列が与えられているものとすると， \begin{gather} \begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_2 \\ -I_2 \end{pmatrix} \end{gather} 上式に\(V_2 = -I_2 R_L\)を代入して， \begin{gather} V_1 = A V_2 + B (-I_2) = \left( A R_L + B \right) (-I_2) \\ I_1 = C V_2 + D (-I_2) = \left( C R_L + D \right) (-I_2) \end{gather}

　電圧源を接続した回路に対しては，式\eqref{eq:V1E-I1R1}に上式を代入して\(V_1\)，\(I_1\)を消去すると， \begin{gather} ( A R_L + B ) (-I_2) = E_g - ( C R_L + D ) (-I_2) R_g \nonumber \\ \therefore (A R_L + B + C R_g R_L + D R_g) (-I_2) = E_g \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \frac{-I_2}{E_g} &=& \frac{1}{A R_L + B + C R_g R_L + D R_g} \\ \frac{V_2}{E_g} &=& \frac{-I_2}{E_g} R_L \nonumber \\ &=& \frac{R_L}{A R_L + B + C R_g R_L + D R_g} \end{eqnarray}

　一方，電流源を接続した回路に対しては，式\eqref{eq:I1Is}に上式を代入して\(V_1\)，\(I_1\)を消去すると， \begin{gather} ( C R_L + D ) (-I_2) = J_g - \frac{(A R_L + B ) (-I_2) }{R_g} \nonumber \\ \therefore (A R_L + B + C R_g R_L + D R_g) (-I_2) = R_g J_g \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \frac{-I_2}{J_g} &=& \frac{R_g}{A R_L + B + C R_g R_L + D R_g} \\ \frac{V_2}{J_g} &=& \frac{-I_2}{J_g} R_L \nonumber \\ &=& \frac{R_g R_L}{A R_L + B + C R_g R_L + D R_g} \end{eqnarray}