基本行列（伝送行列，縦続行列）
2端子対回路では，端子対に関する量を各々一組として，次のように表すと便利なことが多い（電流\(I_2\)はインピーダンス・アドミタンス行列とは逆向きに定義）．
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
%A_1 & B \\ C & A_2 \\
A & B \\ C & D \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
2端子対回路
すなわち，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& A V_2 - B I_2
\\
I_1 &=& C V_2 - D I_2
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
[F] =
\begin{pmatrix}
%A_1 & B \\ C & A_2 \\
A & B \\ C & D \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
を四端子行列（four terminal matrix），F行列，ABCD行列，基本行列（fundamental matrix），縦続行列（chain matrix），電圧・電流の伝送行列（voltage-current transmission matrix）という．
また，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)を四端子網の四定数，あるいは四端子定数という．
四端子定数
いま，基本行列を
\begin{gather}
[F] =
\begin{pmatrix}
A_1 & B \\ C & A_2 \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
として，四定数の物理的意味を考えよう．
\begin{eqnarray}
\left. \frac{V_1}{V_2} \right| _{I_2=0}
&=& \left. \frac{A_1 V_2 - B I_2}{V_1} \right| _{I_2=0}
= A \ \ \ \mbox{[開放電圧比]}
\\
\left. \frac{V_1}{-I_2} \right| _{V_2=0}
&=& \left. \frac{A_1 V_2 - B I_2}{-I_2} \right| _{V_2=0}
= B \ \ \ \mbox{[短絡インピーダンス]}
\\
\left. \frac{I_1}{V_2} \right| _{I_2=0}
&=& \left. \frac{C V_2 - A_2 I_2}{V_2} \right| _{I_2=0}
= C \ \ \ \mbox{[開放アドミタンス]}
\\
\left. \frac{I_1}{-I_2} \right| _{V_2=0}
&=& \left. \frac{C V_2 - A_2 I_2}{-I_2} \right| _{V_2=0}
= D \ \ \ \mbox{[短絡電流比]}
\end{eqnarray}
短絡，開放した入力インピーダンス
端子2-2'を短絡したとき（\(V_2=0\)）の入力インピーダンス\(Z_{1s}\)，および開放したとき（\(I_2=0\)）の入力インピーダンス\(Z_{1f}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{1s} &=& \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{V_2=0}
&=& \left. \frac{A_1 V_2 - B I_2}{C V_2- A_2 I_2} \right|_{V_2=0}
\nonumber \\
&=& \frac{B}{A_2}
\label{eq:Z1s} \\
Z_{1f} &=& \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{I_2=0}
&=& \left. \frac{A_1 V_2 - B I_2}{C V_2- A_2 I_2} \right|_{I_2=0}
\nonumber \\
&=& \frac{A_1}{C}
\label{eq:Z1f}
\end{eqnarray}
基本行列の逆行列について，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
= [F]^{-1}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
[F]^{-1} &=&
\begin{pmatrix}
A_1 & B \\ C & A_2 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\det F}
\begin{pmatrix}
A_2 & -B \\ -C & A_1 \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
符号を\(-I_2\)から，\(-I_1\)となるように変形すると，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ I_2
\end{pmatrix}
= \frac{1}{\det F}
\begin{pmatrix}
A_2 & B \\ C & A_1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ -I_1
\end{pmatrix}
\end{gather}
これは，四端子回路を送受反転したときの基本行列であり，可逆回路では\(\det F=1\)であるから，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ I_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_2 & B \\ C & A_1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ -I_1
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，端子1-1'を短絡したとき（\(V_1=0\)）の入力インピーダンス\(Z_{2s}\)，
および開放したとき（\(I_1=0\)）の入力インピーダンス\(Z_{2f}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{2s} &=& \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{V_1=0}
= \left. \frac{A_2 V_1 - B I_1}{C V_1- A_1 I_1} \right|_{V_1=0}
\nonumber \\
&=& \frac{B}{A_1}
\label{eq:Z2s}\\
Z_{2f} &=& \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{I_1=0}
= \left. \frac{A_2 V_1 - B I_1}{C V_1- A_1 I_1} \right|_{I_1=0}
\nonumber \\
&=& \frac{A_2}{C}
\label{eq:Z2f}
\end{eqnarray}
となって，単に\(A_1\)を\(A_2\)に交換した形となる．これらの結果より，
\begin{eqnarray}
\frac{Z_{1s}}{Z_{1f}}
&=& \frac{Z_{2s}}{Z_{2f}}
\nonumber \\
&=& \frac{BC}{A_1 A_2}
\nonumber \\
&=& \frac{A_1 A_2 - 1}{A_1 A_2}
\nonumber \\
&=& 1 - \frac{1}{A_1 A_2}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
A_1 A_2
&=& \frac{Z_{1f}}{Z_{1f} - Z_{1s}}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{2f}}{Z_{2f} - Z_{2s}}
\\
BC
&=& \frac{Z_{1s}}{Z_{1f} - Z_{1s}}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{2s}}{Z_{2f} - Z_{2s}}
\end{eqnarray}
Y行列，Z行列と基本行列の関係
Y行列の式を変形して，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& -\frac{Y_{22}}{Y_{21}} V_2 + \frac{1}{Y_{21}} I_2
\\
I_1 &=& \left( Y_{12} - \frac{Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \right) V_2 + \frac{Y_{11}}{Y_{21}} I_2
\end{eqnarray}
同様にZ行列の式も変形して基本行列と比較すると，
\begin{eqnarray}
A &=& -\frac{Y_{22}}{Y_{21}}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{11}}{Z_{21}}
\\
B &=& -\frac{1}{Y_{21}}
\nonumber \\
&=& \frac{\det Z}{Z_{21}}
\\
C &=& -\frac{\det Y}{Y_{21}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{Z_{21}}
\\
D &=& -\frac{Y_{11}}{Y_{21}}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{22}}{Z_{21}}
\end{eqnarray}
行列でまとめると，
\begin{eqnarray}
[F]
&=& \frac{1}{-Y_{21}}
\begin{pmatrix}
Y_{22} & 1 \\ \det Y & Y_{11} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{Z_{21}}
\begin{pmatrix}
Z_{11} & \det Z \\ 1 & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ここで，次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
\det F &=& AD -BC
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{12}}{Z_{21}}
\nonumber \\
&=& \frac{Y_{12}}{Y_{21}}
\end{eqnarray}
可逆回路では，\(\det F = AD -BC = 1\)ゆえ，独立な変数は3個となる．
回路が対称なら，
\begin{align}
&Y_{11} = Y_{22}
\\
&Z_{11} = Z_{22}
\\
&A = D
\end{align}
となり，独立な変数は2個となる．
逆に，インピーダンス行列を基本行列で表すと，
\begin{eqnarray}
[Z] &=&
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{C}
\begin{pmatrix}
A & \det F \\ 1 & D \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\det Z &=& Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}
\nonumber \\
&=& \frac{B}{C}
\end{eqnarray}
さらに，アドミタンス行列を基本行列で表すと，
\begin{eqnarray}
[Y] &=& \frac{1}{\det Z}
\begin{pmatrix}
Z_{22} & -Z_{12} \\ -Z_{21} & Z_{11} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{B}
\begin{pmatrix}
D & -\det F \\ -1 & A \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}