インピーダンス行列
定電圧源を接続した線型受動回路
定電流源を接続した回路を考える．
定電流源を接続した回路
上の左図より\(V_1'\)，\(V_2'\)を求め，右図より\(V_1''\)，\(V_2''\)を求め，重ねの理より次の回路が得られる．
重ね合わせた回路
これより，次式が得られる．
\begin{gather}
V_1 = V_1' + V_1''
\equiv Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2
\\
V_2 = V_2' + V_2''
\equiv Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2
\end{gather}
行列表示では，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
あるいは，もっと簡略に
\begin{gather}
\boldsymbol{V} = [Z] \boldsymbol{I}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
[Z] =
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
上式の\([Z]\)をインピーダンス行列（impedance matrix），またはZ行列（Z-matrix）という．
開放駆動点インピーダンス
インピーダンス行列の要素の物理的意味は，
\begin{eqnarray}
\left. \frac{V_1}{I_1} \right| _{I_2=0}
&=& \left. \frac{Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2}{I_1} \right| _{I_2=0}
\nonumber \\
&=& Z_{11}
\\
\left. \frac{V_2}{I_2} \right| _{I_1=0}
&=& \left. \frac{Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2}{I_2} \right| _{I_1=0}
\nonumber \\
&=& Z_{22}
\end{eqnarray}
ここで，\(Z_{11}\)，\(Z_{22}\)を開放駆動点インピーダンス（open-circuit driving point impedance）という．
駆動点インピーダンス（driving point impedance）は単にインピーダンスと言ってもよく，一つのポートにおける\(Z = I/V\)によって定義される．
開放伝達インピーダンス
また，
\begin{eqnarray}
\left. \frac{V_1}{I_2} \right| _{I_1=0}
&=& \left. \frac{Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2}{I_2} \right| _{I_1=0}
\nonumber \\
&=& Z_{12}
\\
\left. \frac{V_2}{I_1} \right| _{I_2=0}
&=& \left. \frac{Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2}{I_1} \right| _{I_2=0}
\nonumber \\
&=& Z_{21}
\end{eqnarray}
ここで，\(Z_{12}\)，\(Z_{21}\)を開放伝達インピーダンス（open-circuit transfer impedance）という．
インピーダンス行列の対称性
相反定理（reciprocity theorem）（可逆定理）が成立する場合，
\begin{gather}
Z_{12} = Z_{21}
\end{gather}
行列\([Z]\)の転置行列（transposed matrix）を\([Z]^T\)とすると，
\begin{gather}
[Z] = [Z]^T
\end{gather}
多端子対回路のインピーダンス行列
同様にして，多端子対回路に拡張すると，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_N
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} & \cdots & Z_{1N} \\
Z_{21} & Z_{22} & \cdots & Z_{2N} \\
\vdots & \vdots & & \\
Z_{N1} & Z_{N2} & \cdots & Z_{NN} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_N
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\boldsymbol{v} = [Z] \boldsymbol{i}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
[Z] =
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} & \cdots & Z_{1N} \\
Z_{21} & Z_{22} & \cdots & Z_{2N} \\
\vdots & \vdots & & \\
Z_{N1} & Z_{N2} & \cdots & Z_{NN} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
Y行列とZ行列の関係
また，
\begin{gather}
\boldsymbol{V} = [Y]^{-1} \boldsymbol{I} = [Z] \boldsymbol{I}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
[Z] = [Y]^{-1}
\end{gather}
インピーダンス行列はアドミタンス行列の逆行列であるから，インピーダンス行列要素はアドミタンス行列要素から次のようにして求めることができる．
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \\
\end{pmatrix}^{-1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\det Y}
\begin{pmatrix}
Y_{22} & -Y_{12} \\ -Y_{21} & Y_{11} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{gather}
Z_{11} = \frac{Y_{22}}{\det Y}
\\
Z_{12} = \frac{-Y_{12}}{\det Y}
\\
Z_{21} = \frac{-Y_{21}}{\det Y}
\\
Z_{22} = \frac{Y_{11}}{\det Y}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\det Y &=&
\begin{vmatrix}
Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \\
\end{vmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{Y_{22}}{Z_{11}}
\nonumber \\
&=& \frac{Y_{11}}{Z_{22}}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\frac{Y_{11}}{Y_{22}} = \frac{Z_{22}}{Z_{11}}
\end{gather}
逆に，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \\
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}^{-1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\det Z}
\begin{pmatrix}
Z_{22} & -Z_{12} \\ -Z_{21} & Z_{11} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
より，
\begin{gather}
Y_{11} = \frac{Z_{22}}{\det Z}
\\
Y_{12} = \frac{-Z_{12}}{\det Z}
\\
Y_{21} = \frac{-Z_{21}}{\det Z}
\\
Y_{22} = \frac{Z_{11}}{\det Z}
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\det Z &=&
\begin{vmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\
\end{vmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\det Y}
\end{eqnarray}