影像パラメータ
負荷と入力インピーダンスの関係について
基本行列で与えられている伝送回路
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
を考え，入出力端子に負荷\(Z_1\)，\(Z_2\)を接続する．まず，入力端子から伝送回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,1}\)は，
\(V_2 = Z_2 (-I_2)\)より，
\begin{eqnarray}
Z_{in,1} &=& \frac{V_1}{I_1}
\nonumber \\
&=& \frac{AV_2 + B(-I_2)}{CV_2+D(-I_2)}
\nonumber \\
&=& \frac{AZ_2 + B}{CZ_2 +D}
\end{eqnarray}
一方，出力端子から伝送回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,2}\)を求めるため，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
D & -B \\
-C & A \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
\end{gather}
と変形し，\(V_1 = Z_1 (-I_1)\)より，
\begin{eqnarray}
Z_{in,2} &=& \frac{V_2}{I_2}
\nonumber \\
&=& \frac{DV_1 - BI_1}{CV_1-AI_1}
\nonumber \\
&=& \frac{DZ_1 + B}{CZ_1 + A}
\end{eqnarray}
このような伝送回路に整合負荷\(Z_1\)，\(Z_2\)を接続する．整合条件
\begin{gather}
Z_1 = Z_{in,1}
\\
Z_2 = Z_{in,2}
\end{gather}
より，
\begin{gather}
(CZ_2 + D ) Z_1 = AZ_2 + B \\
(CZ_1 + A ) Z_2 = DZ_1 + B
\end{gather}
辺々，差をとれば，\(D Z_1 = A Z_2\)．これを解くと，\(Z_1\)，\(Z_2\)は，
\begin{gather}
Z_1 = \sqrt{\frac{AB}{CD}}
\\
Z_2 = \sqrt{\frac{BD}{AC}} \label{eq:z01z02}
\end{gather}
回路が対称なら，\(A=D\) ゆえ，
\begin{gather}
Z_1 = Z_2 = \sqrt{\frac{B}{C}}
\end{gather}
影像パラメータの定義
出力端子に負荷\(Z_{02}\)を接続したとき，入力端子から右に見た入力インピーダンスが\(Z_{01}\)，
入力端子に負荷\(Z_{01}\)を接続したとき，出力から左に見た入力インピーダンスが\(Z_{02}\)となるようにできたとすれば，
各々の端子においてはちょうど鏡の影像のような関係になるので，\(Z_{01}\)，\(Z_{02}\)を影像インピーダンス（image impedance）と呼ぶ．
このときの\(Z_{01}\)，\(Z_{02}\)は，すでに式\eqref{eq:z01z02}で求めたとおりで，再記すると，
\begin{gather}
Z_{01} = \sqrt{\frac{AB}{CD}}
\\
Z_{02} = \sqrt{\frac{BD}{AC}}
\end{gather}
また，入出力のルート電力比より，
\begin{gather}
e^{\theta_\gamma} \equiv \sqrt{\frac{V_1 I_1}{V_2(-I_2)}}
\end{gather}
とおいて定義される\(\theta _\gamma\)（複素数）を影像伝送量（image propagation constant）という．
そして，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& Z_{01} I_1
\\
V_2 &=& Z_{02} (-I_2)d
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
\theta _\gamma
&=& \frac{1}{2} \log _e \left( \frac{V_1 I_1}{V_2 (-I_2)} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \log _e \left( \frac{I_1^2 Z_{01}}{(-I_2)^2 Z_{02}} \right)
\nonumber \\
&=& \log _e \left( \frac{I_1}{-I_2} \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}}\right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \log _e \left( \frac{V_1^2 Z_{02}}{V_2^2 Z_{01}} \right)
\nonumber \\
&=& \log _e \left( \frac{V_1}{V_2} \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}}\right)
\end{eqnarray}
電圧，電流の比として表せば，
\begin{gather}
\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} e^{-\theta _\gamma}
\\
\frac{I_2}{I_1} = \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} e^{-\theta _\gamma}
\end{gather}
ここで，
\(\theta _\gamma = \bar{\alpha} + j\bar{\phi}\)とすると，\(\bar{\alpha}\) [neper]は減衰を表し影像減衰量といい，\(\bar{\phi}\) [rad]は位相を表し影像位相量という．また，\(Z_{01}\)，\(Z_{02}\)，\(\theta _\gamma\)をまとめて影像パラメータ（image parameter）という．
影像パラメータを用いた基本行列表示
基本行列を用いて電圧，電流の比を求めると，
\begin{gather}
V_2 = Z_{02} (-I_2)
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\frac{V_1}{V_2}
&=& \frac{A V_2 + B \frac{V_2}{Z_{02}}}{V_2}
\nonumber \\
&=& A + \frac{B}{Z_{02}}
\nonumber \\
&=& A + B \sqrt{\frac{AC}{BD}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{A}{D}} \left( \sqrt{AD} + \sqrt{BC} \right) \label{eq:v1v2i}
\\
\frac{I_1}{-I_2}
&=& \frac{C Z_{02} (-I_2) + D (-I_2)}{-I_2}
\nonumber \\
&=& C Z_{02} + D
\nonumber \\
&=& C \sqrt{\frac{BD}{AC}} + D
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{D}{A}} \left( \sqrt{BC} + \sqrt{AD} \right) \label{eq:i1i2i}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
e^{\theta_\gamma}
&=& \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} \sqrt{\frac{I_1}{-I_2}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{AD} + \sqrt{BC}
\end{eqnarray}
これを逆数で表すと，
\begin{eqnarray}
e^{-\theta_\gamma}
&=& \frac{1}{\sqrt{AD} + \sqrt{BC}}
\nonumber \\
&=& \frac{\sqrt{AD} - \sqrt{BC}}{AD-BC}
\nonumber \\
&=& \sqrt{AD} - \sqrt{BC}
\end{eqnarray}
さらに，
\begin{eqnarray}
\cosh \theta_\gamma
&=& \frac{e^{\theta_\gamma} + e^{-\theta_\gamma}}{2}
\nonumber \\
&=& \sqrt{AD}
\\
\sinh \theta_\gamma
&=& \frac{e^{\theta_\gamma} - e^{-\theta_\gamma}}{2}
\nonumber \\
&=& \sqrt{BC}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} &=& \sqrt{\frac{A}{D}}
\\
\sqrt{Z_{01} Z_{02}} &=& \sqrt{\frac{B}{C}}
\end{eqnarray}
より，基本行列要素は，影像パラメータを用いて次のように表される．
\begin{eqnarray}
A &=& \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} \cosh \theta_\gamma
\\
B &=& \sqrt{Z_{01} Z_{02}} \sinh \theta_\gamma \nonumber
\\
C &=& \sqrt{\frac{1}{Z_{01} Z_{02}}} \sinh \theta_\gamma
\\
D &=& \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} \cosh \theta_\gamma
\end{eqnarray}
つまり，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
= [\boldsymbol{F}]
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
[\boldsymbol{F}] =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} \cosh \theta_\gamma} &
\sqrt{Z_{01} Z_{02}} \sinh \theta_\gamma \\
\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{Z_{01} Z_{02}}} \sinh \theta_\gamma} &
\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} \cosh \theta_\gamma} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
対称回路\(Z_{01} = Z_{02} \equiv Z_0\)ならば，
\begin{gather}
[\boldsymbol{F}] =
\begin{pmatrix}
\textcolor{mycolor}{\cosh \theta_\gamma} & \textcolor{mycolor}{Z_0 \sinh \theta_\gamma} \\
\textcolor{mycolor}{\displaystyle{\frac{1}{Z_0}} \sinh \theta_\gamma} & \textcolor{mycolor}{\cosh \theta_\gamma} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
これは，特性インピーダンス\(Z_0\)，伝搬定数\(\gamma\)，
線路長\(l\)の伝送線路で\(\theta_\gamma = \gamma l\)とおいたときと等価である．
整合回路の縦続接続
いま，回路が全て整合され，縦続接続すると，
\begin{eqnarray}
\frac{V_{N+1}}{V_1}
&=& \frac{V_2}{V_1} \frac{V_3}{V_2} \cdots \ \frac{V_{N+1}}{V_N}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} \ e^{-\theta_{\gamma 1}} \sqrt{\frac{Z_{03}}{Z_{02}}} \ e^{-\theta_{\gamma 2}} \cdots \
\sqrt{\frac{Z_{0,N+1}}{Z_{0,N}}} \ e^{-\theta_{\gamma_N}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{Z_{0,N+1}}{Z_{01}}} \ e^{-\Theta _\gamma}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\Theta _\gamma
&\equiv& \theta _{\gamma 1} + \theta _{\gamma 2} + \cdots \ \ \ + \theta _{\gamma_N}
\nonumber \\
&=& \sum _{n=1}^N \theta _{\gamma n}
\end{eqnarray}
同様にして，
\begin{gather}
\frac{-I_{N+1}}{I_1} = \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{0,N+1}}} \ e^{-\Theta_\gamma}
\end{gather}
つまり，複数の回路を縦続接続した場合，接続端子での左右の影像インピーダンスが等しければ，入出力端子での影像インピーダンス\(Z_{01}\)，\(Z_{0,N+1}\)は不変であるといえる．また，影像伝送量は単純な和をとるだけで求められる．なお，縦続接続した回路の入出力のルート電力比は，
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{V_{N+1} (-I_{N+1})}{V_1 I_1 }}
&=& \sqrt{\frac{V_{N+1}}{V_1}} \sqrt{\frac{-I_{N+1}}{I_1}}
\nonumber \\
&=& e^{-\Theta_\gamma}
\end{eqnarray}
軸対称回路
構造が対称な回路を考え，影像インピーダンスを\(Z_0\)，影像伝送量を\(\theta_\gamma\)とし，これを2等分する．このとき，中心の接続端子側の影像インピーダンスを\(Z_0'\)とする．先に示したように，このように分割された回路の入出力側の影像インピーダンスは\(Z_0\)で不変，影像伝送量は半分の\(\theta_\gamma /2\)となる．これより，左側の回路について基本行列を示すと次のようになる．
\begin{gather}
[\boldsymbol{F}_{\frac{1}{2}}] =
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_0}{Z_0'}} \cosh \frac{\theta_\gamma}{2}} &
\displaystyle{\sqrt{Z_0 Z_0'} \sinh \frac{\theta_\gamma}{2}} \\
\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{Z_0 Z_0'}} \sinh \frac{\theta_\gamma}{2}} &
\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_0'}{Z_0}} \cosh \frac{\theta_\gamma}{2}} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
この回路の終端を短絡，あるいは開放したときの入力インピーダンス
\(Z_{sc,\frac{1}{2}}\)，\(Z_{oc,\frac{1}{2}}\)を求めると，
\begin{eqnarray}
Z_{sc,\frac{1}{2}}
&=& \frac{\displaystyle{\sqrt{Z_0 Z_0'} \sinh \frac{\theta_\gamma}{2}}}{
\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_0'}{Z_0}} \cosh \frac{\theta_\gamma}{2}}}
\nonumber \\
&=& Z_0 \tanh \frac{\theta_\gamma}{2}
\\
Z_{oc,\frac{1}{2}}
&=& \frac{\displaystyle{\sqrt{\frac{Z_0}{Z_0'}} \cosh \frac{\theta_\gamma}{2}}}{
\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{Z_0 Z_0'}} \sinh \frac{\theta_\gamma}{2}}}
\nonumber \\
&=& Z_0 \coth \frac{\theta_\gamma}{2}
\end{eqnarray}
辺々，乗じると，
\begin{gather}
Z_{sc,\frac{1}{2}} Z_{oc,\frac{1}{2}} = Z_0^2
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
Z_0 = \sqrt{Z_{sc,\frac{1}{2}} Z_{oc,\frac{1}{2}}} \label{eq:zscoc2}
\end{gather}
無損失の場合，\(\theta_\gamma = j\bar{\phi}\)とおいて，
\begin{eqnarray}
\tanh \frac{j\bar{\phi}}{2}
&=& j \tan \frac{\bar{\phi}}{2}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{sc,\frac{1}{2}}}{Z_0}
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{Z_{sc,\frac{1}{2}}}{Z_{oc,\frac{1}{2}}}}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\tan \frac{\bar{\phi}}{2} = \sqrt{-\frac{Z_{sc,\frac{1}{2}}}{Z_{oc,\frac{1}{2}}}} \label{eq:zscoc3}
\end{gather}
影像パラメータを表す別の公式
基本行列が与えられた回路において，終端を短絡，あるいは開放したとき，各々の入力インピーダンスは，
\begin{gather}
Z_{1,sc} = \frac{B}{D}
\\
Z_{1,oc} = \frac{A}{C}
\\
Z_{2,sc} = \frac{B}{A}
\\
Z_{2,oc} = \frac{D}{C}
\end{gather}
で求めることができ，これを用いれば，
\begin{eqnarray}
Z_{01}
&=& \sqrt{\frac{A}{C} \cdot \frac{B}{D}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z_{1,sc} Z_{1,oc}}
\\
Z_{02}
&=& \sqrt{\frac{B}{A} \cdot \frac{D}{C}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z_{2,sc} Z_{2,oc}}
\end{eqnarray}
また，\(AD-BC=1\)（可逆回路）を用いて，
\begin{eqnarray}
Z_{1,oc} - Z_{1,sc}
&=& \frac{A}{C} - \frac{B}{D}
\nonumber \\
&=& \frac{AD-BC}{DC}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{DC}
\nonumber \\
\frac{Z_{1,oc}}{Z_{1,oc} - Z_{1,sc}}
&=& \frac{A}{C} \cdot DC
\nonumber \\
&=& AD
\\
\frac{Z_{1,sc}}{Z_{1,oc} - Z_{1,sc}}
&=& \frac{B}{D} \cdot DC
\nonumber \\
&=& BC
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
e^{\theta} &=& \sqrt{AD} + \sqrt{BC}
\nonumber \\
&=& \frac{\sqrt{Z_{1,oc}} + \sqrt{Z_{1,sc}}}{\sqrt{Z_{1,oc} - Z_{1,sc}}}
\end{eqnarray}
【例題】
インピーダンス行列要素\(Z_{11}\)，\(Z_{12}(=Z_{21})\)，\(Z_{22}\)を用いて影像インピーダンス\(Z_{01}\)，\(Z_{02}\)，および影像伝送量\(\theta\)を表せ．
略解
\begin{eqnarray}
Z_{01} &=& \sqrt{\frac{Z_{11}}{Z_{22}}} Z_{00}
\\
Z_{02} &=& \sqrt{\frac{Z_{22}}{Z_{11}}} Z_{00}
\\
\tanh \theta &=& \frac{Z_{00}}{\sqrt{Z_{11} Z_{22}}}
\end{eqnarray}
なお，
\begin{eqnarray}
Z_{00} &=& \sqrt{Z_{01} Z_{02}}
\nonumber \\
&=& \sqrt{Z_{11} Z_{22} - Z_{12}^2}
\end{eqnarray}
ただし，\(Z_{00}\)は平均影像インピーダンスと呼ばれる．