影像パラメータ

負荷と入力インピーダンスの関係について

　基本行列で与えられている伝送回路

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} V_{1} \\ I_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) (\begin{matrix} V_{2} \\ - I_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

を考え，入出力端子に負荷

Z_{1}

，

Z_{2}

を接続する．まず，入力端子から伝送回路を見た入力インピーダンス

Z_{i n, 1}

は，

V_{2} = Z_{2} (- I_{2})

より，

\begin{array}{rcl} Z_{i n, 1} & = & \frac{V_{1}}{I_{1}} \\ = & \frac{A V_{2} + B (- I_{2})}{C V_{2} + D (- I_{2})} \\ (2) & = & \frac{A Z_{2} + B}{C Z_{2} + D} \end{array}

一方，出力端子から伝送回路を見た入力インピーダンス

Z_{i n, 2}

を求めるため，

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} V_{2} \\ - I_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} D & - B \\ - C & A \end{matrix}) (\begin{matrix} V_{1} \\ I_{1} \end{matrix}) \end{matrix}

と変形し，

V_{1} = Z_{1} (- I_{1})

より，

\begin{array}{rcl} Z_{i n, 2} & = & \frac{V_{2}}{I_{2}} \\ = & \frac{D V_{1} - B I_{1}}{C V_{1} - A I_{1}} \\ (4) & = & \frac{D Z_{1} + B}{C Z_{1} + A} \end{array}

このような伝送回路に整合負荷

Z_{1}

，

Z_{2}

を接続する．整合条件

\begin{matrix} (5) & Z_{1} = Z_{i n, 1} \\ (6) & Z_{2} = Z_{i n, 2} \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (7) & (C Z_{2} + D) Z_{1} = A Z_{2} + B \\ (8) & (C Z_{1} + A) Z_{2} = D Z_{1} + B \end{matrix}

辺々，差をとれば，

D Z_{1} = A Z_{2}

．これを解くと，

Z_{1}

，

Z_{2}

は，

\begin{matrix} (9) & Z_{1} = \sqrt{\frac{A B}{C D}} \\ (10) & Z_{2} = \sqrt{\frac{B D}{A C}} \end{matrix}

回路が対称なら，

A = D

ゆえ，

\begin{matrix} (11) & Z_{1} = Z_{2} = \sqrt{\frac{B}{C}} \end{matrix}

影像パラメータの定義

　出力端子に負荷

Z_{02}

を接続したとき，入力端子から右に見た入力インピーダンスが

Z_{01}

，入力端子に負荷

Z_{01}

を接続したとき，出力から左に見た入力インピーダンスが

Z_{02}

となるようにできたとすれば，各々の端子においてはちょうど鏡の影像のような関係になるので，

Z_{01}

，

Z_{02}

を影像インピーダンス（image impedance）と呼ぶ．このときの

Z_{01}

，

Z_{02}

は，すでに式

(10)

で求めたとおりで，再記すると，

\begin{matrix} (12) & Z_{01} = \sqrt{\frac{A B}{C D}} \\ (13) & Z_{02} = \sqrt{\frac{B D}{A C}} \end{matrix}

また，入出力のルート電力比より，

\begin{matrix} (14) & e^{θ_{γ}} \equiv \sqrt{\frac{V_{1} I_{1}}{V_{2} (- I_{2})}} \end{matrix}

とおいて定義される

θ_{γ}

（複素数）を影像伝送量（image propagation constant）という．そして，

\begin{array}{rcl} (15) & V_{1} & = & Z_{01} I_{1} \\ (16) & V_{2} & = & Z_{02} (- I_{2}) d \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} θ_{γ} & = & \frac{1}{2} \log_{e} (\frac{V_{1} I_{1}}{V_{2} (- I_{2})}) \\ = & \frac{1}{2} \log_{e} (\frac{I_{1}^{2} Z_{01}}{(- I_{2})^{2} Z_{02}}) \\ = & \log_{e} (\frac{I_{1}}{- I_{2}} \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}}) \\ = & \frac{1}{2} \log_{e} (\frac{V_{1}^{2} Z_{02}}{V_{2}^{2} Z_{01}}) \\ (17) & = & \log_{e} (\frac{V_{1}}{V_{2}} \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}}) \end{array}

電圧，電流の比として表せば，

\begin{matrix} (18) & \frac{V_{2}}{V_{1}} = \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} e^{- θ_{γ}} \\ (19) & \frac{I_{2}}{I_{1}} = \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} e^{- θ_{γ}} \end{matrix}

ここで，

θ_{γ} = \bar{α} + j \bar{ϕ}

とすると，

\bar{α}

[neper]は減衰を表し影像減衰量といい，

\bar{ϕ}

[rad]は位相を表し影像位相量という．また，

Z_{01}

，

Z_{02}

，

θ_{γ}

をまとめて影像パラメータ（image parameter）という．

影像パラメータを用いた基本行列表示

　基本行列を用いて電圧，電流の比を求めると，

\begin{matrix} (20) & V_{2} = Z_{02} (- I_{2}) \end{matrix}

より，

\begin{array}{rcl} \frac{V_{1}}{V_{2}} & = & \frac{A V_{2} + B \frac{V_{2}}{Z_{02}}}{V_{2}} \\ = & A + \frac{B}{Z_{02}} \\ = & A + B \sqrt{\frac{A C}{B D}} \\ (21) & = & \sqrt{\frac{A}{D}} (\sqrt{A D} + \sqrt{B C}) \\ \frac{I_{1}}{- I_{2}} & = & \frac{C Z_{02} (- I_{2}) + D (- I_{2})}{- I_{2}} \\ = & C Z_{02} + D \\ = & C \sqrt{\frac{B D}{A C}} + D \\ (22) & = & \sqrt{\frac{D}{A}} (\sqrt{B C} + \sqrt{A D}) \end{array}

これより，

\begin{array}{rcl} e^{θ_{γ}} & = & \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}} \sqrt{\frac{I_{1}}{- I_{2}}} \\ (23) & = & \sqrt{A D} + \sqrt{B C} \end{array}

これを逆数で表すと，

\begin{array}{rcl} e^{- θ_{γ}} & = & \frac{1}{\sqrt{A D} + \sqrt{B C}} \\ = & \frac{\sqrt{A D} - \sqrt{B C}}{A D - B C} \\ (24) & = & \sqrt{A D} - \sqrt{B C} \end{array}

さらに，

\begin{array}{rcl} \cosh θ_{γ} & = & \frac{e^{θ_{γ}} + e^{- θ_{γ}}}{2} \\ (25) & = & \sqrt{A D} \\ \sinh θ_{γ} & = & \frac{e^{θ_{γ}} - e^{- θ_{γ}}}{2} \\ (26) & = & \sqrt{B C} \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} (27) & \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} & = & \sqrt{\frac{A}{D}} \\ (28) & \sqrt{Z_{01} Z_{02}} & = & \sqrt{\frac{B}{C}} \end{array}

より，基本行列要素は，影像パラメータを用いて次のように表される．

\begin{array}{rcl} (29) & A & = & \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} \cosh θ_{γ} \\ B & = & \sqrt{Z_{01} Z_{02}} \sinh θ_{γ} \\ (30) & C & = & \sqrt{\frac{1}{Z_{01} Z_{02}}} \sinh θ_{γ} \\ (31) & D & = & \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} \cosh θ_{γ} \end{array}

つまり，

\begin{matrix} (32) & (\begin{matrix} V_{1} \\ I_{1} \end{matrix}) = [F] (\begin{matrix} V_{2} \\ - I_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (33) & [F] = (\begin{matrix} \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}} \cosh θ_{γ} & \sqrt{Z_{01} Z_{02}} \sinh θ_{γ} \\ \sqrt{\frac{1}{Z_{01} Z_{02}}} \sinh θ_{γ} & \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} \cosh θ_{γ} \end{matrix}) \end{matrix}

対称回路

Z_{01} = Z_{02} \equiv Z_{0}

ならば，

\begin{matrix} (34) & [F] = (\begin{matrix} \cosh θ_{γ} & Z_{0} \sinh θ_{γ} \\ \frac{1}{Z_{0}} \sinh θ_{γ} & \cosh θ_{γ} \end{matrix}) \end{matrix}

これは，特性インピーダンス

Z_{0}

，伝搬定数

γ

，線路長

l

の伝送線路で

θ_{γ} = γ l

とおいたときと等価である．

整合回路の縦続接続

　いま，回路が全て整合され，縦続接続すると，

\begin{array}{rcl} \frac{V_{N + 1}}{V_{1}} & = & \frac{V_{2}}{V_{1}} \frac{V_{3}}{V_{2}} \dots \frac{V_{N + 1}}{V_{N}} \\ = & \sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}} e^{- θ_{γ 1}} \sqrt{\frac{Z_{03}}{Z_{02}}} e^{- θ_{γ 2}} \dots \sqrt{\frac{Z_{0, N + 1}}{Z_{0, N}}} e^{- θ_{γ_{N}}} \\ (35) & = & \sqrt{\frac{Z_{0, N + 1}}{Z_{01}}} e^{- Θ_{γ}} \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} Θ_{γ} & \equiv & θ_{γ 1} + θ_{γ 2} + \dots + θ_{γ_{N}} \\ (36) & = & \sum_{n = 1}^{N} θ_{γ n} \end{array}

同様にして，

\begin{matrix} (37) & \frac{- I_{N + 1}}{I_{1}} = \sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{0, N + 1}}} e^{- Θ_{γ}} \end{matrix}

つまり，複数の回路を縦続接続した場合，接続端子での左右の影像インピーダンスが等しければ，入出力端子での影像インピーダンス

Z_{01}

，

Z_{0, N + 1}

は不変であるといえる．また，影像伝送量は単純な和をとるだけで求められる．なお，縦続接続した回路の入出力のルート電力比は，

\begin{array}{rcl} \sqrt{\frac{V_{N + 1} (- I_{N + 1})}{V_{1} I_{1}}} & = & \sqrt{\frac{V_{N + 1}}{V_{1}}} \sqrt{\frac{- I_{N + 1}}{I_{1}}} \\ (38) & = & e^{- Θ_{γ}} \end{array}

軸対称回路

　構造が対称な回路を考え，影像インピーダンスを

Z_{0}

，影像伝送量を

θ_{γ}

とし，これを2等分する．このとき，中心の接続端子側の影像インピーダンスを

Z_{0}^{'}

とする．先に示したように，このように分割された回路の入出力側の影像インピーダンスは

Z_{0}

で不変，影像伝送量は半分の

θ_{γ} / 2

となる．これより，左側の回路について基本行列を示すと次のようになる．

\begin{matrix} (39) & [F_{\frac{1}{2}}] = (\begin{matrix} \sqrt{\frac{Z_{0}}{Z_{0}^{'}}} \cosh \frac{θ_{γ}}{2} & \sqrt{Z_{0} Z_{0}^{'}} \sinh \frac{θ_{γ}}{2} \\ \sqrt{\frac{1}{Z_{0} Z_{0}^{'}}} \sinh \frac{θ_{γ}}{2} & \sqrt{\frac{Z_{0}^{'}}{Z_{0}}} \cosh \frac{θ_{γ}}{2} \end{matrix}) \end{matrix}

この回路の終端を短絡，あるいは開放したときの入力インピーダンス

Z_{s c, \frac{1}{2}}

，

Z_{o c, \frac{1}{2}}

を求めると，

\begin{array}{rcl} Z_{s c, \frac{1}{2}} & = & \frac{\sqrt{Z_{0} Z_{0}^{'}} \sinh \frac{θ_{γ}}{2}}{\sqrt{\frac{Z_{0}^{'}}{Z_{0}}} \cosh \frac{θ_{γ}}{2}} \\ (40) & = & Z_{0} \tanh \frac{θ_{γ}}{2} \\ Z_{o c, \frac{1}{2}} & = & \frac{\sqrt{\frac{Z_{0}}{Z_{0}^{'}}} \cosh \frac{θ_{γ}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{Z_{0} Z_{0}^{'}}} \sinh \frac{θ_{γ}}{2}} \\ (41) & = & Z_{0} \coth \frac{θ_{γ}}{2} \end{array}

辺々，乗じると，

\begin{matrix} (42) & Z_{s c, \frac{1}{2}} Z_{o c, \frac{1}{2}} = Z_{0}^{2} \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (43) & Z_{0} = \sqrt{Z_{s c, \frac{1}{2}} Z_{o c, \frac{1}{2}}} \end{matrix}

無損失の場合，

θ_{γ} = j \bar{ϕ}

とおいて，

\begin{array}{rcl} \tanh \frac{j \bar{ϕ}}{2} & = & j \tan \frac{\bar{ϕ}}{2} \\ = & \frac{Z_{s c, \frac{1}{2}}}{Z_{0}} \\ (44) & = & \sqrt{\frac{Z_{s c, \frac{1}{2}}}{Z_{o c, \frac{1}{2}}}} \end{array}

よって，

\begin{matrix} (45) & \tan \frac{\bar{ϕ}}{2} = \sqrt{- \frac{Z_{s c, \frac{1}{2}}}{Z_{o c, \frac{1}{2}}}} \end{matrix}

影像パラメータを表す別の公式

　基本行列が与えられた回路において，終端を短絡，あるいは開放したとき，各々の入力インピーダンスは，

\begin{matrix} (46) & Z_{1, s c} = \frac{B}{D} \\ (47) & Z_{1, o c} = \frac{A}{C} \\ (48) & Z_{2, s c} = \frac{B}{A} \\ (49) & Z_{2, o c} = \frac{D}{C} \end{matrix}

で求めることができ，これを用いれば，

\begin{array}{rcl} Z_{01} & = & \sqrt{\frac{A}{C} \cdot \frac{B}{D}} \\ (50) & = & \sqrt{Z_{1, s c} Z_{1, o c}} \\ Z_{02} & = & \sqrt{\frac{B}{A} \cdot \frac{D}{C}} \\ (51) & = & \sqrt{Z_{2, s c} Z_{2, o c}} \end{array}

また，

A D - B C = 1

（可逆回路）を用いて，

\begin{array}{rcl} Z_{1, o c} - Z_{1, s c} & = & \frac{A}{C} - \frac{B}{D} \\ = & \frac{A D - B C}{D C} \\ = & \frac{1}{D C} \\ \frac{Z_{1, o c}}{Z_{1, o c} - Z_{1, s c}} & = & \frac{A}{C} \cdot D C \\ (52) & = & A D \\ \frac{Z_{1, s c}}{Z_{1, o c} - Z_{1, s c}} & = & \frac{B}{D} \cdot D C \\ (53) & = & B C \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} e^{θ} & = & \sqrt{A D} + \sqrt{B C} \\ (54) & = & \frac{\sqrt{Z_{1, o c}} + \sqrt{Z_{1, s c}}}{\sqrt{Z_{1, o c} - Z_{1, s c}}} \end{array}

【例題】

　インピーダンス行列要素

Z_{11}

，

Z_{12} (= Z_{21})

，

Z_{22}

を用いて影像インピーダンス

Z_{01}

，

Z_{02}

，および影像伝送量

θ

を表せ．

略解

\begin{array}{rcl} (55) & Z_{01} & = & \sqrt{\frac{Z_{11}}{Z_{22}}} Z_{00} \\ (56) & Z_{02} & = & \sqrt{\frac{Z_{22}}{Z_{11}}} Z_{00} \\ (57) & \tanh θ & = & \frac{Z_{00}}{\sqrt{Z_{11} Z_{22}}} \end{array}

なお，

\begin{array}{rcl} Z_{00} & = & \sqrt{Z_{01} Z_{02}} \\ (58) & = & \sqrt{Z_{11} Z_{22} - Z_{12}^{2}} \end{array}

ただし，

Z_{00}

は平均影像インピーダンスと呼ばれる．