circuit_theory

格子形回路

　次のような格子形回路の基本行列を求めよう．\(I_2 = 0\)となるよう右側の終端を開放すると， \(Z_a\)と\(Z_c\)が直列接続され，\(Z_b\)と\(Z_d\)が直列接続され，さらに両者を並列接続した回路となるので，

\begin{eqnarray} V_1 \Big|_{I_2=0} &=& \frac{I_1}{\frac{1}{Z_a + Z_c} + \frac{1}{Z_b+Z_d}} \nonumber \\ &=& \frac{(Z_a+Z_c)(Z_b+Z_d)}{Z_a+Z_b+Z_c+Z_d} I_1 \end{eqnarray} 分流の法則より，\(Z_a\)と\(Z_c\)が直列接続されたブランチに流れる電流\(I_1'\)，および\(Z_b\)と\(Z_d\)が直列接続されたブランチに流れる電流\(I_1''\)は， \begin{gather} I_1' = \frac{Z_b+Z_d}{(Z_a+Z_c)+ (Z_b+Z_d)} I_1 \\ I_1'' = \frac{Z_a+Z_c}{(Z_a+Z_c)+ (Z_b+Z_d)} I_1 \end{gather} これより，\(V_2\)は， \begin{eqnarray} V_2 &=& Z_a I_1' - Z_b I_1'' \nonumber \\ &=& \frac{Z_a(Z_b+Z_d)-Z_b(Z_a+Z_c)}{Z_a + Z_b + Z_c + Z_d} I_1 \nonumber \\ &=& \frac{Z_a Z_d - Z_b Z_c}{Z_a + Z_b + Z_c + Z_d} I_1 \end{eqnarray} よって，四端子定数の\(C\)は， \begin{eqnarray} C &=& \left. \frac{I_1}{V_2} \right|_{I_2=0} \nonumber \\ &=& \frac{Z_a + Z_b + Z_c + Z_d}{Z_a Z_d - Z_b Z_c} \end{eqnarray} また， \begin{eqnarray} V_2 &=& \frac{Z_a Z_d - Z_b Z_c}{Z_a + Z_b + Z_c + Z_d} \cdot \frac{Z_a+Z_b+Z_c+Z_d}{(Z_a+Z_c)(Z_b+Z_d)} V_1 \nonumber \\ &=& \frac{Z_a Z_d - Z_b Z_c}{(Z_a+Z_c)(Z_b+Z_d)} V_1 \end{eqnarray} よって，四端子定数の\(A_1\)は， \begin{eqnarray} A_1 &=& \left. \frac{V_1}{V_2} \right|_{I_2=0} \nonumber \\ &=& \frac{(Z_a+Z_c)(Z_b+Z_d)}{Z_a Z_d - Z_b Z_c} \end{eqnarray}

　次に，\(V_2 = 0\)となるよう右側の終端を短絡すると， \(Z_a\)と\(Z_c\)が直列接続され，\(Z_b\)と\(Z_)が直列接続され，さらに両者を並列接続して中心線を短絡した回路となる．よって， \begin{eqnarray} V_1 &=& \left( \frac{1}{\frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b}} + \frac{1}{\frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d}} \right) I_1 \nonumber \\ &=& \frac{\frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} + \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d}}{ \left( \frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} \right) \left( \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d}\right)} I_1 \nonumber \\ &=& \left( \frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} + \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d} \right) \frac{Z_a Z_b Z_c Z_d}{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)} I_1 \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} I_2 &=& -\frac{Z_b}{Z_a+Z_b} I_1+ \frac{Z_d}{Z_c+Z_d} I_1 \nonumber \\ &=& \frac{Z_b(Z_c+Z_d) + Z_d(Z_a+Z_b)}{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)} I_1 \nonumber \\ &=& \frac{-Z_b Z_c + Z_z Z_d}{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)} I_1 \end{eqnarray} よって， \begin{gather} I_1 = \frac{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)}{-Z_b Z_c + Z_z Z_d} I_2 \end{gather} したがって， \begin{eqnarray} A_2 &=& \left. \frac{I_1}{-I_2} \right|_{V_2=0} \nonumber \\ &=& \frac{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)}{Z_b Z_c - Z_z Z_d} \end{eqnarray} さらに， \begin{eqnarray} V_1 &=& \left( \frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} + \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d} \right) \frac{Z_a Z_b Z_c Z_d}{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)} \cdot \frac{(Z_a+Z_b)(Z_c+Z_d)}{-Z_b Z_c + Z_z Z_d} I_2 \nonumber \\ &=& \left( \frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} + \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d} \right) \frac{Z_a Z_b Z_c Z_d}{-Z_b Z_c + Z_z Z_d} I_2 \end{eqnarray} したがって， \begin{eqnarray} B &=& \left. \frac{V_1}{-I_2} \right|_{V_2=0} \nonumber \\ &=& \left( \frac{1}{Z_a} + \frac{1}{Z_b} + \frac{1}{Z_c} + \frac{1}{Z_d} \right) \frac{Z_a Z_b Z_c Z_d}{Z_b Z_c - Z_z Z_d} \end{eqnarray}