伝送特性

挿入損失，反射損失

　挿入損失（insertion loss）は，挿入伝送係数 $S_{I}$ より， $20 \log_{10} | S_{I} |$ [dB]．ネットワークアナライザによる測定では，挿入損失は $S_{21}$ より， $L_{A} = - 20 \log_{10} | S_{21} |$ [dB]， 反射損失（return loss）は $S_{11}$ より， $L_{R} = - 20 \log_{10} | S_{11} |$ [dB]として求めることが多い．

　また，フィルタの設計においては，伝達関数 $H$ より，損失（transducer loss） $α$ [dB]は $\begin{array}{rcl} α & = & 10 \log_{10} | \frac{P_{m a x}}{P_{2}} | \\ = & 10 \log_{10} | H |^{2} \\ (1) & = & 20 \log_{10} | H | \end{array}$ より評価される．

　伝達関数

H (s)

の偶関数

H_{e} (s)

，奇関数

H_{o} (s)

は，

\begin{array}{rcl} H_{e} (s) & = & H_{e} (- s) \\ = & ℜ (H (s)) \\ (2) & = & \frac{H (s) + H (- s)}{2} \\ H_{o} (s) & = & - H_{o} (- s) \\ = & ℑ (H (s)) \\ (3) & = & \frac{H (s) - H (- s)}{2} \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} | H (s) |^{2} & = & H (s) H^{*} (s) \\ = & H (s) H (- s) \\ = & {H_{e} (s) + H_{o} (s)} {H_{e} (- s) + H_{o} (- s)} \\ = & {H_{e} (s) + H_{o} (s)} {H_{e} (s) - H_{o} (s)} \\ (4) & = & H_{e}^{2} (s) - H_{o}^{2} (s) \end{array}

位相特性

　伝達関数 $H (s)$ の位相 $θ_{H}$ は， $\begin{array}{rcl} θ_{H} & = & \tan^{- 1} \frac{ℑ (H (s)) / j}{ℜ (H (s))} \\ = & \tan^{- 1} \frac{H_{o} (s) / j}{H_{e} (s)} \\ (5) & = & \frac{1}{j} \tanh^{- 1} \frac{H_{o} (s)}{H_{e} (s)} \end{array}$

群遅延特性

　群遅延（group delay）

T_{g}

は，

s = j ω

より，

\begin{array}{rcl} T_{g} & = & \frac{d θ_{H}}{d ω} \\ = & \frac{d s}{d ω} \frac{d θ_{H}}{d s} \\ (6) & = & j \frac{d}{d s} (\frac{1}{j} \tanh^{- 1} \frac{H_{o} (s)}{H_{e} (s)}) \end{array}

逆双曲線関数

y = \tanh^{- 1} x

の微分は，

x = \tanh y

より，

\begin{array}{rcl} \frac{d x}{d y} & = & \frac{1}{\cosh^{2} y} \\ = & \frac{\cosh^{2} y - \sinh^{2} y}{\cosh^{2} y} \\ = & 1 - \tanh^{2} y \\ (7) & = & 1 - x^{2} \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d x} \tanh^{- 1} x & = & \frac{d y}{d x} \\ = & \frac{1}{\frac{d x}{d y}} \\ (8) & = & \frac{1}{1 - x^{2}} \end{array}

これより，

\begin{array}{rcl} T_{g} & = & \frac{d}{d s} (\tanh^{- 1} \frac{H_{o} (s)}{H_{e} (s)}) \\ = & \frac{1}{1 - {(\frac{H_{o}}{H_{e}})}^{2}} \cdot \frac{H_{o}^{'} H_{e} - H_{o} H_{e}^{'}}{H_{e}^{2}} \\ (9) & = & \frac{H_{o}^{'} H_{e} - H_{o} H_{e}^{'}}{H_{e}^{2} - H_{o}^{2}} \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} 4 (H_{o}^{'} H_{e} - H_{o} H_{e}^{'}) & = & {H (s) - H (- s)}^{'} {H (s) + H (- s)} \\ - {H (s) - H (- s)} {(H (s) + H (- s)}^{'} \\ (10) & = & H^{'} (s) H (s) - (- 1) H^{'} (- s) H (s) \end{array}

ただし，

H^{'} (s) = \frac{d H (s)}{d s}

．また，

\begin{array}{rcl} 4 (H_{e}^{2} - H_{o}^{2}) & = & {H (s) - H (- s)}^{2} - {H (s) + H (- s)}^{2} \\ (11) & = & 2 H (s) H (- s) \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} T_{g} & = & \frac{H_{o}^{'} H_{e} - H_{o} H_{e}^{'}}{H_{e}^{2} - H_{o}^{2}} \\ = & \frac{H^{'} (s) H (s) + H^{'} (- s) H (s)}{2 H (s) H (- s)} \\ = & \frac{1}{2} {\frac{H^{'} (s)}{H (s)} + \frac{H^{'} (- s)}{H (- s)}} \\ (12) & = & Ev (\frac{H^{'} (s)}{H (s)}) \end{array}