動作パラメータの性質
伝達関数とSパラメータの関係
伝達関数\(H(s)\)は，基本行列の要素\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)より，
\begin{gather}
H(s) = \frac{A(s) R_2 + B(s) + C(s) R_1 R_2 + D(s) R_1}{2 \sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
一方，散乱行列要素\(S_{21}\)，\(S_{12}\)は，
\begin{eqnarray}
S_{21} &=& S_{12}
\nonumber \\
&=& \frac{2\sqrt{R_1 R_2}}{AR_1 +D R_2 + B + C R_1 R_2}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
H(s) = \frac{1}{S_{21}} = \frac{1}{S_{12}}
\end{gather}
無損失回路
無損失回路のとき，\(A\)，\(D\)は実数，\(B\)，\(C\)は純虚数ゆえ，\(H(s)\)の複素共役\(H^*(s)\)は，
\begin{gather}
H^*(s) = \frac{A(s) R_2 - B(s) - C(s) R_1 R_2 + D(s) R_1}{2 \sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
また，\(A\)，\(D\)は偶関数，\(B\)，\(C\)は奇関数より，
\begin{eqnarray}
H^*(s) &=& \frac{A(-s) R_2 + B(-s) + C(-s) R_1 R_2 + D(-s) R_1}{2 \sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& H(-s)
\end{eqnarray}
特性関数
まず，伝達関数\(H\)より，
\begin{eqnarray}
|H|^2 &=& H H^*
= \frac{(A+D)R +(B+CR^2)}{2R} \cdot \frac{(A+D)R - (B+CR^2)}{2R}
\nonumber \\
&=& \frac{(A+D)^2R^2 -(B+CR^2)^2}{4R^2}
\nonumber \\
&=& 1 + \frac{-4R^2 + (A+D)^2R^2 -(B+CR^2)^2}{4R^2}
\nonumber \\
&=& 1 + \frac{-4R^2 + (A-D)^2R^2 - 4ADR^2 -(B-CR^2)^2 + 4BCR^2}{4R^2}
\nonumber
\end{eqnarray}
ここで，\(AD-BC=1\)より，
\begin{eqnarray}
|H|^2 &=& 1 + \frac{(A-D)^2R^2 -(B-CR^2)^2}{4R^2}
\nonumber \\
&=& 1 + \frac{1}{4R^2} \Big\{ R^2 \big( A-D \big)^2 - \big( B-CR^2 \big) ^2 \Big\}
\end{eqnarray}
\(B\)，\(C\)は純虚数ゆえ，上式の第2項は正である．そこで，特性関数\(K\)を次のように定義する．
\begin{gather}
|H|^2 \equiv 1 + |K |^2
\end{gather}
\(|K|^2\)を複素共役\(K^*\)を用いて表すと，
\begin{eqnarray}
|K|^2 &=& K K^*
\nonumber \\
&=& \frac{R^2(A-D)^2 -(B-CR^2)^2}{4R^2}
\nonumber \\
&=& \frac{R(A-D) +(B-CR^2)}{2R} \cdot \frac{R(A-D) -(B-CR^2)}{2R}
\nonumber
\end{eqnarray}
これより，特性関数\(K\)は次のようになる．
\begin{gather}
K(s) \equiv \frac{1}{2R} \Big\{ R \big( A(s)-D(s) \big) + (B(s)-C(s)R^2) \Big\}
\end{gather}
複素共役\(K^*(s)\)については，
\begin{eqnarray}
K^*(s) &=& \frac{1}{2R} \Big\{ R \big( A(s)-D(s) \big) - (B(s)-C(s)R^2) \Big\}
\nonumber \\
&=&\frac{1}{2R} \Big\{ R \big( A(-s)-D(-s) \big) + (B(-s)-C(-s)R^2) \Big\}
\nonumber \\
&=& K(-s)
\end{eqnarray}
基本行列と伝達関数，特性関数の関係
伝達関数\(H\)，特性関数\(K\)の実部は\((s=j \omega)\)，
\begin{eqnarray}
\Re (H (s))
&=& \frac{A(s)R_2+D(s)R_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{A(-s)R_2+D(-s)R_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \Re (H (-s))
\nonumber \\
&\equiv& H_e (s) \label{eq:Se}
\\
\Re (K (s))
&=& \frac{A(s)R_2-D(s)R_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{A(-s)R_2-D(-s)R_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \Re (K (-s))
\nonumber \\
&\equiv& K_e (s) \label{eq:Pe}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:Se}および式\eqref{eq:Pe}より，
\begin{gather}
H_e \pm K_e =\frac{AR_2+DR_1}{2\sqrt{R_1 R_2}} \pm \frac{AR_2-DR_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
上側，下側符号を各々，別々に求めて，
\begin{gather}
H_e + K_e = \frac{AR_2}{\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
A &=& \frac{\sqrt{R_1 R_2}}{R_2} (H_e + K_e)
\nonumber \\
&=& \frac{R_1}{\sqrt{R_1 R_2}} (H_e + K_e) \label{eq:ASe}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
H_e - K_e = \frac{DR_1}{\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
D &=& \frac{\sqrt{R_1 R_2}}{R_1} (H_e - K_e)
\nonumber \\
&=& \frac{R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} (H_e - K_e) \label{eq:DSe}
\end{eqnarray}
同様にして，伝達関数\(H\)，特性関数\(K\)の虚数部は，
\begin{eqnarray}
\Im (H (s))
&=& \frac{B(s)+C(s)R_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{-B(-s)-C(-s)R_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& -\Im (H (-s))
\nonumber \\
&\equiv& H_o (s) \label{eq:So}
\\
\Im (K (s))
&=& \frac{B(s)-C(s)R_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{-B(-s)+C(-s)R_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
&=& -\Im (K (-s))
\nonumber \\
&\equiv& K_o (s) \label{eq:Po}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:So}および式\eqref{eq:Po}より，
\begin{gather}
H_o \pm K_o =\frac{B+CR_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}} \pm \frac{B-CR_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
上側，下側符号を各々，別々に求めて，
\begin{gather}
H_o + K_o = \frac{B}{\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
B &=& \sqrt{R_1 R_2} (H_o + K_o)
\nonumber \\
&=& \frac{R_1 R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} (H_o + K_o) \label{eq:BRSo}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
H_o - K_o = \frac{CR_1R_2}{\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
C = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2}} (H_o - K_o) \label{eq:CRSo}
\end{gather}
基本行列と伝達関数，特性関数の関係をまとめると\(^\dagger\)，
\begin{gather}
H_e =\frac{AR_2+DR_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\\
H_o =\frac{B+CR_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\\
K_e =\frac{AR_2-DR_1}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\\
K_o =\frac{B-CR_1 R_2}{2\sqrt{R_1 R_2}}
\end{gather}
逆は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2}}
\begin{pmatrix}
R_1(H_e+K_e) & R_1 R_2 (H_o+K_o) \\
H_o-K_o & R_2(H_e-K_e) \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
\(\dagger\) R. S. Elliott, “An Introduction to Guided Waves and Microwave Circuits,” Prentice Hall (1992).
入力インピーダンスと特性関数の関係
端子1-1'から回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,1}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{in,1} &=& \frac{V_1}{I_1}
\nonumber \\
&=& \frac{AV_2+B(-I_2)}{CV_2+D(-I_2)}
\nonumber \\
&=& \frac{AV_2+B\frac{V_2}{R_2}}{CV_2+D\frac{V_2}{R_2}}
\nonumber \\
&=& \frac{AR_2+B}{CR_2 +D}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:ASe}，\eqref{eq:DSe}，\eqref{eq:BRSo}，\eqref{eq:CRSo}を代入すると，
\begin{eqnarray}
z_{in,1} &=& \frac{Z_{in,1}}{R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_1} \cdot \frac{R_1(H_e+K_e) \cdot R_2+ R_1R_2(H_o+K_o)}{(H_o-K_o) \cdot R_2+ R_2(H_e-K_e)}
\nonumber \\
&=& \frac{(H_e +H_o) + (K_e + K_o)}{(H_e +H_o) - (K_e + K_o)}
\nonumber \\
&=& \frac{(\Re(H) +\Im(H)) + (\Re(K) + \Im(K))}{(\Re(H) +\Im(H)) - (\Re(K) + \Im(K))}
\nonumber \\
&=& \frac{H(s)+K(s)}{H(s)-K(s)}
\end{eqnarray}
同様にして，端子2-2'から回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,2}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{in,2} &=& \frac{V_2}{I_2}
\nonumber \\
&=& \frac{DV_1+B(-I_1)}{CV_1+A(-I_1)}
\nonumber \\
&=& \frac{DV_1+B\frac{V_1}{R_1}}{CV_1+A\frac{V_1}{R_1}}
\nonumber \\
&=& \frac{DR_1+B}{CR_1 +A}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:ASe}，\eqref{eq:DSe}，\eqref{eq:BRSo}，\eqref{eq:CRSo}を代入すると，
\begin{eqnarray}
z_{in,2} &=& \frac{Z_{in,2}}{R_2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_2} \cdot \frac{R_2(H_e-K_e) \cdot R_1+ R_1R_2(H_o+K_o)}{(H_o-K_o) \cdot R_1+ R_1(H_e+K_e)}
\nonumber \\
&=& \frac{(H_e +H_o) - (K_e - K_o)}{(H_e +H_o) + (K_e - K_o)}
\nonumber \\
&=& \frac{(\Re(H) +\Im(H)) - (\Re(K) - \Im(K))}{(\Re(H) +\Im(H)) + (\Re(K) - \Im(K))}
\nonumber \\
&=& \frac{H(s)-K^*(s)}{H(s)+K^*(s)}
= \frac{H(s)-K(-s)}{H(s)+K(-s)}
\end{eqnarray}
インピーダンス行列と特性関数の関係
基本行列要素\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)を用いてインピーダンス行列\([Z]\)を表すと（\(AD-BC =1\)），
\begin{eqnarray}
[Z] &=&
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{C}
\begin{pmatrix}
A & 1 \\
1 & D \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
Z_{11} &=& \frac{A}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e + K_e}{H_o -K_o} R_1 \label{eq:z11}
\nonumber \\
Z_{12} &=& Z_{21}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{H_o - K_o} \sqrt{R_1 R_2}
\nonumber \\
Z_{22} &=& \frac{D}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e - K_e}{H_o - K_o} R_2
\end{eqnarray}
アドミタンス行列と特性関数の関係
同様にして，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)を用いてアドミタンス行列\([Y]\)を表すと，
\begin{eqnarray}
[Y] &=&
\begin{pmatrix}
Y_{11} & Y_{12} \\
Y_{21} & Y_{22} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{B}
\begin{pmatrix}
D & -1 \\
-1 & A \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
Y_{11} &=& \frac{D}{B}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e - K_e}{H_o + K_o} \cdot \frac{1}{R_1} \label{eq:y11}
\nonumber \\
Y_{12} &=& Y_{21}
\nonumber \\
&=& \frac{-1}{B}
\nonumber \\
&=& \frac{-1}{H_o + K_o} \cdot \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2}}
\nonumber \\
Y_{22} &=& \frac{A}{B}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e + K_e}{H_o + K_o} \cdot \frac{1}{R_2}
\end{eqnarray}
終端開放，終端短絡
端子1-1'から回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,1}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{in,1} &=& \frac{V_1}{I_1}
\nonumber \\
&=& \frac{AV_2+B(-I_2)}{CV_2+D(-I_2)}
\end{eqnarray}
端子2-2'の終端を開放，あるいは短絡したとき，端子1-1'から回路を見た入力インピーダン\(Z_{o,1}\)，\(Z_{s,1}\)は，
\begin{eqnarray}
\frac{Z_{o,1}}{R_1}
&=& \frac{1}{R_1} \cdot \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{I_2=0}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_1} \cdot \frac{A}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{11}}{R_1}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e + K_e}{H_o -K_o}
\\
\frac{Z_{s,1}}{R_1}
&=& \frac{1}{R_1} \cdot \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{V_2=0}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_1} \cdot \frac{B}{D}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_1 Y_{11}}
\nonumber \\
&=& \frac{H_o + K_o}{H_e -K_e}
\end{eqnarray}
逆に，端子2-2'から回路を見た入力インピーダンス\(Z_{in,2}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{in,2} &=& \frac{V_2}{I_2}
\nonumber \\
&=& \frac{DV_1+B(-I_1)}{CV_1+A(-I_1)}
\end{eqnarray}
端子1-1'の終端を開放，あるいは短絡したとき，端子2-2'から回路を見た入力インピーダンス\(Z_{o,2}\)，\(Z_{s,2}\)は，
\begin{eqnarray}
\frac{Z_{o,2}}{R_2}
&=& \frac{1}{R_2} \cdot \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{I_1=0}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_2} \cdot \frac{D}{C}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{22}}{R_2}
\nonumber \\
&=& \frac{H_e - K_e}{H_o -K_o}
\\
\frac{Z_{s,2}}{R_2}
&=& \frac{1}{R_2} \cdot \left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{V_1=0}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_2} \cdot \frac{B}{A}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{R_2 Y_{22}}
\nonumber \\
&=& \frac{H_o + K_o}{H_e +K_e}
\end{eqnarray}