アドミタンス行列

定電圧源を接続した線型受動回路

　線形受動回路において，ループ

i

のループ電流を

I_{i}

，定電圧源を

V_{i}

とすると（

i = 1, 2, \dots, N

），キルヒホッフの電流則より，

\begin{array}{rcl} Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2} + \dots + Z_{1 N} I_{N} & = & V_{1} \\ Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2} + \dots + Z_{2 N} I_{N} & = & V_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ (1) & Z_{N 1} I_{1} + Z_{N 2} I_{2} + \dots + Z_{N N} I_{N} & = & V_{N} \end{array}

ここで，

Z_{i i}

はループ

i

のインピーダンス（self-impedance），

Z_{i j}

はループ

i

と

j

の共通のインピーダンスである． クラメルの公式（Cramer's rule）より電流について解き，分子の行列式

Δ_{i}

を第

i

列（

i = 1, 2, \dots

）で展開すると，

\begin{array}{rcl} I_{1} & = & \frac{Δ_{1}}{Δ} \\ (2) & = & \frac{1}{Δ} (Δ_{11} V_{1} + Δ_{21} V_{2} + \dots + Δ_{N 1} V_{N}) \\ I_{2} & = & \frac{Δ_{2}}{Δ} \\ (3) & = & \frac{1}{Δ} (Δ_{12} V_{1} + Δ_{22} V_{2} + \dots + Δ_{N 2} V_{N}) \\ \dots \dots \dots \dots \dots \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (4) & Δ = | \begin{matrix} Z_{11} & Z_{12} & \dots & Z_{1 N} \\ Z_{21} & Z_{22} & \dots & Z_{2 N} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ Z_{N 1} & Z_{N 2} & \dots & Z_{N N} \end{matrix} | \end{matrix}

また，

\begin{matrix} (5) & Δ_{1} = | \begin{matrix} V_{1} & Z_{12} & \dots & Z_{1 N} \\ V_{2} & Z_{22} & \dots & Z_{2 N} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ V_{N} & Z_{N 2} & \dots & Z_{N N} \end{matrix} | \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & Δ_{2} = | \begin{matrix} Z_{11} & V_{1} & \dots & Z_{1 N} \\ Z_{21} & V_{2} & \dots & Z_{2 N} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ Z_{N 1} & V_{N} & \dots & Z_{N N} \end{matrix} | \end{matrix}

ただし，

Δ_{j i}

は行列式

Δ

における

Z_{j i}

の余因子を示す．いま，次の左図のようにループ1にのみ定電圧源を接続（

V_{2} = V_{3} = \dots = V_{N} = 0

）すると電流

I_{1}^{'}

，

I_{2}^{'}

は，

\begin{matrix} (7) & I_{1}^{'} = \frac{Δ_{11}}{Δ} V_{1} \\ (8) & I_{2}^{'} = \frac{Δ_{12}}{Δ} V_{1} \end{matrix}

また，右図のようにループ2にのみ定電圧源を接続（

V_{1} = V_{3} = \dots = V_{N} = 0

）すると

I_{1}^{″}

，

I_{2}^{″}

は，

\begin{matrix} (9) & I_{1}^{″} = \frac{Δ_{21}}{Δ} V_{2} \\ (10) & I_{2}^{″} = \frac{Δ_{22}}{Δ} V_{2} \end{matrix}

これより，上の二つを重ね合わせると，

\begin{array}{rcl} I_{1} & = & I_{1}^{'} + I_{1}^{″} \\ = & \frac{Δ_{11}}{Δ} V_{1} + \frac{Δ_{21}}{Δ} V_{2} \\ (11) & \equiv & Y_{11} V_{1} + Y_{12} V_{2} \\ I_{2} & = & I_{2}^{'} + I_{2}^{″} \\ = & \frac{Δ_{12}}{Δ} V_{1} + \frac{Δ_{22}}{Δ} V_{2} \\ (12) & \equiv & Y_{21} V_{1} + Y_{22} V_{2} \end{array}

行列表示すると，

\begin{matrix} (13) & (\begin{matrix} I_{1} \\ I_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

あるいは，もっと簡略に

\begin{matrix} (14) & I = [Y] V \end{matrix}

ここで，

\begin{aligned} (15) & I = (\begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \end{array}) \\ (16) & [Y] = (\begin{array}{c} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{array}) \\ (17) & V = (\begin{array}{c} V_{1} \\ V_{2} \end{array}) \end{aligned}

上式の

[Y]

をアドミタンス行列（admittance matrix），またはY行列（Y-matrix）という．

短絡駆動点アドミタンス

　アドミタンス行列要素の物理的意味について考えよう．まず，

\begin{array}{rcl} {\frac{I_{1}}{V_{1}} |}_{V_{2} = 0} & = & {\frac{Y_{11} V_{1} + Y_{12} V_{2}}{V_{1}} |}_{V_{2} = 0} \\ (18) & = & Y_{11} \\ {\frac{I_{2}}{V_{2}} |}_{V_{1} = 0} & = & {\frac{Y_{21} V_{1} + Y_{22} V_{2}}{V_{2}} |}_{V_{1} = 0} \\ (19) & = & Y_{22} \end{array}

ここで，

Y_{11}

，

Y_{22}

を短絡駆動点アドミタンス（short-circuit driving point admittance）という． 駆動点アドミタンス（driving point admittance）は単にアドミタンスと言ってもよく，一つのポートにおける

Y = V / I

によって定義される．

短絡駆動点アドミタンス

　また，

\begin{array}{rcl} {\frac{I_{1}}{V_{2}} |}_{V_{1} = 0} & = & {\frac{Y_{11} V_{1} + Y_{12} V_{2}}{V_{2}} |}_{V_{1} = 0} \\ (20) & = & Y_{12} \\ {\frac{I_{2}}{V_{1}} |}_{V_{2} = 0} & = & {\frac{Y_{21} V_{1} + Y_{22} V_{2}}{V_{1}} |}_{V_{2} = 0} \\ (21) & = & Y_{21} \end{array}

ここで，

Y_{12}

，

Y_{21}

を短絡伝達アドミタンス（short-circuit transfer admittance）という．四端子回路網におけるこのような異なる2つのポート間の電圧，電流の関係を表す係数の総称が伝達関数（transfer function）である．

アドミタンス行列の対称性

　線形受動回路（passive linear network）では，相反定理（reciprocity theorem）（可逆定理）が成立するから，

\begin{matrix} (22) & Y_{12} = Y_{21} \end{matrix}

すなわち

[Y]

は対称行列で，転置行列（transposed matrix）を

[Y]^{T}

とすると，

\begin{matrix} (23) & [Y] = [Y]^{T} \end{matrix}

2端子対回路

　次の図のような2端子対回路（two-terminal pair network, two-port network）を考え，各端子対の電圧，電流を与えたときにも同様にアドミタンス行列を用いて表すことができる（

V_{1}

，

V_{2}

は各端子対の電圧）．

\begin{matrix} (24) & (\begin{matrix} I_{1} \\ I_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{12} & Y_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

多端子対回路

　多端子対回路に拡張すると，

\begin{matrix} (25) & (\begin{matrix} I_{1} \\ I_{2} \\ ⋮ \\ I_{N} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Y_{11} & Y_{12} & \dots & Y_{1 N} \\ Y_{21} & Y_{22} & \dots & Y_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ \\ Y_{N 1} & Y_{N 2} & \dots & Y_{N N} \end{matrix}) (\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \\ ⋮ \\ V_{N} \end{matrix}) \end{matrix}

これより，

\begin{matrix} (26) & i = [Y] v \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} [Y] = (\begin{matrix} Y_{11} & Y_{12} & \dots & Y_{1 N} \\ Y_{21} & Y_{22} & \dots & Y_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ \\ Y_{N 1} & Y_{N 2} & \dots & Y_{N N} \end{matrix}) \end{matrix}