6.7 ビームモード係数
横断面内電界$\VEC{E}_T$のビームモード展開は，
\begin{align}
&\VEC{E}_T = \VEC{E}_t e^{-jkz}
\\
&\VEC{E}_t = \sum _{m=-\infty}^{\infty} E_m \VEC{a}_m
\\
&E_m = \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n}
\end{align}
ここで，
$\bar{f}_{m,n}$はビームモード係数，
$\bar{e}_{m,n}$はビームモード関数を示し，
\begin{eqnarray}
\bar{e}_{m,n}
&=& \sqrt{ \frac{n!}{ (n+|m+1|)!} }
\left( \frac{2}{\omega } \right)
\left( 2 \frac{\rho ^2}{\omega ^2} \right) ^{\frac{|m+1|}{2}}
L_{n,|m+1|} \left( 2 \frac{\rho ^2}{\omega ^2} \right)
\nonumber \\
&&\cdot e^{ - \frac{\rho ^2}{\omega ^2}
+ j\{ (2n+|m+1|+1) \tan ^{-1} v - \frac{k}{2 \bar{R}} \rho ^2 \} }
\end{eqnarray}
また，
$\VEC{a}_m$は単位ベクトルを示し，
\begin{gather}
\VEC{a}_m \equiv \cos (m\phi + \alpha_m ) \VEC{a}_\rho
+ \sin (m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi
\end{gather}
横断面内電界分布$\VEC{E}_t$が与えられれば，次式によりビームモード展開してビームモード係数$\bar{f}_{m,n}$を求めることができる．
\begin{gather}
\bar{f}_{m,n} = \int _0 ^\infty E_m \bar{e}_{m,n}^* \rho d\rho
\\
E_m = \frac{1}{2\pi} \int _0 ^{2\pi} \VEC{E}_t \cdot \VEC{a}_m d\phi
\end{gather}
ただし，
$\bar{e}_{m,n}^*$はビームモード関数$\bar{e}_{m,n}$
の複素共役を示す．
このとき，ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$，
ビームウエストからの距離 $z$は，
\begin{eqnarray}
\omega _0 &=& \frac{\omega }{\sqrt{1+v^2}}
\\
z &=& \frac{\bar{R}}{\displaystyle{1+\frac{1}{v^2}}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
v = \frac{k \omega ^2}{2 \bar{R}}
\end{gather}
さて，
\begin{gather}
f_{m,n}^{(c)} \equiv \bar{f}_{m,n} \cos \alpha _m
\\
f_{m,n}^{(s)} \equiv \bar{f}_{m,n} \sin \alpha _m
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
E_{\rho }
= \sum _{m=-\infty}^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty }
E_{m,n} \left( f_{m,n}^{(c)} \cos m\phi - f_{m,n}^{(s)} \sin m\phi \right)
\\
E_{\phi }
= \sum _{m=-\infty}^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty }
E_{m,n} \left( f_{m,n}^{(c)} \sin m\phi + f_{m,n}^{(s)} \cos m\phi \right)
\end{gather}
さらに，
\begin{gather}
E_{m}^{(c)} \equiv \sum _{n=0}^{\infty } f_{m,n}^{(c)} \bar{e}_{m,n}
\\
E_{m}^{(s)} \equiv \sum _{n=0}^{\infty } f_{m,n}^{(s)} \bar{e}_{m,n}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
E_{\rho }
= \sum _{m=-\infty}^{\infty} \left(
E_{m}^{(c)} \cos m\phi - E_{m}^{(s)} \sin m\phi \right)
\\
E_{\phi }
= \sum _{m=-\infty}^{\infty} \left(
E_{m}^{(c)} \sin m\phi + E_{m}^{(s)} \cos m\phi \right)
\end{gather}
これより，$\VEC{E}_t$は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_t = \sum _{m=-\infty}^{\infty}
\left\{ E_{m}^{(c)} \VEC{a}_{m}^{(c)} + E_{m}^{(s)} \VEC{a}_{m}^{(s)} \right\}
\end{gather}
ここで，
$\VEC{a}_{m}^{(c)}$，$\VEC{a}_{m}^{(s)}$は直交単位ベクトルであり，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_{m}^{(c)}
&\equiv& \cos m\phi \VEC{a}_\rho + \sin m\phi \VEC{a}_\phi
\\
\VEC{a}_{m}^{(s)}
&\equiv& -\sin m\phi \VEC{a}_\rho + \cos m\phi \VEC{a}_\phi
\end{eqnarray}
横断面内電界分布 $\VEC{E}_t$，ビーム半径 $\omega$，波面の曲率半径 $\bar{R}$ が与えられれば，
ビームモード係数$f_{m,n}^{{c \choose s}}$は次式により求められる．
\begin{gather}
f_{m,n}^{{c \choose s}}
= \int _0 ^\infty E_{m}^{{c \choose s}} \bar{e}_{m,n}^* \rho d\rho
\\
E_{m}^{{c \choose s}}
= \frac{1}{2\pi} \int _0 ^{2\pi} \VEC{E}_t \cdot \VEC{a}_{m}^{{c \choose s}} d\phi
\end{gather}