6.6 ビームモード展開
ビームモード関数$e_{m,n}^{(\pm )}$を新たに次のように定義する．
\begin{gather}
E_{m,n}^{(\pm )} \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e_{m,n}^{(\pm )} e^{-jkz}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
e_{m,n}^{(\pm )}
\equiv \frac{2}{\omega } \cdot F_{m \pm 1,n}(t)
\cdot e^{j\{ (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1} v - \frac{k}{2 \bar{R}} \rho ^2 \} }
\end{gather}
これに伴い，ビームモード係数$f _{m,n}^{(\pm)}$も新たに次のように定義する．
\begin{gather}
g_{m,n}^{(\pm)} \equiv \sqrt{2\pi} f_{m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
このとき，ビームモード展開された横断面内電界 $\VEC{E}_T$ は，次のように表される．
\begin{align}
&\VEC{E}_T
= \VEC{E}_t e^{-jkz}
= ( E_{\rho } \VEC{a}_{\rho } + E_{\phi } \VEC{a}_{\phi } ) e^{-jkz}
\\
&E_{\rho } = \sum _{m=1}^{\infty } E_m^{(-)} \cos (m\phi + \alpha _m^{(-)})
+ \sum _{m=0}^{\infty } E_m^{(+)} \cos (m\phi + \alpha _m^{(+)})
\\
&E_{\phi } = \sum _{m=1}^{\infty } -E_m^{(-)} \sin (m\phi + \alpha _m^{(-)})
+ \sum _{m=0}^{\infty } E_m^{(+)} \sin (m\phi + \alpha _m^{(+)})
\\
&E_m^{(\pm )} = \sum _{n=0}^{\infty } f_{m,n}^{(\pm )} e_{m,n}^{(\pm )}
\end{align}
\begin{eqnarray}
e_{m,n}^{(\pm )}
&=& \sqrt{ \frac{n!}{ (n+m \pm 1)!} }
\left( \frac{2}{\omega } \right)
\left( 2 \frac{\rho ^2}{\omega ^2} \right) ^{\frac{m \pm 1}{2}}
L_{n,m \pm 1} \left( 2 \frac{\rho ^2}{\omega ^2} \right)
\nonumber \\
&&\cdot e^{ - \frac{\rho ^2}{\omega ^2}
+ j\{ (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1} v - \frac{k}{2 \bar{R}} \rho ^2 \} }
\end{eqnarray}
上式において，$m$について$0$から$\infty$までの和のところを，
$-\infty$から$\infty$までの和の形になるよう変形する．
\begin{eqnarray}
E_{\rho } &=& \sum _{m=-\infty}^{-1} E_{|m|}^{(-)} \cos (-m\phi + \alpha _{|m|}^{(-)})
+ \sum _{m=0}^{\infty } E_m^{(+)} \cos (m\phi + \alpha _m^{(+)})
\\
E_{\phi } &=& \sum _{m=-\infty}^{-1} -E_{|m|}^{(-)} \sin (-m\phi + \alpha _{|m|}^{(-)})
+ \sum _{m=0}^{\infty } E_m^{(+)} \sin (m\phi + \alpha _m^{(+)})
\end{eqnarray}
さらに，
\begin{gather}
E_m \equiv \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{ E_{m}^{(+)} } \\
\displaystyle{ E_{|m|}^{(-)} } \\
\end{array} \right. , \hspace{5mm}
\alpha_{m} \equiv \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle{ \alpha_{m}^{(+)} } & (m = 0, 1, 2, \cdots ) \\
\displaystyle{ -\alpha_{|m|}^{(-)} } & (m = -1, -2, \cdots ) \\
\end{array} \right.
\end{gather}
とおくと，次のようになる．
\begin{eqnarray}
E_{\rho } &=& \sum _{m=-\infty}^{\infty} E_m \cos (m\phi + \alpha _m )
\\
E_{\phi } &=& \sum _{m=-\infty}^{\infty} E_m \sin (m\phi + \alpha _m )
\end{eqnarray}
同様に，
\begin{gather}
\bar{f}_{m,n} \equiv \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{ f_{m,n}^{(+)} } \\
\displaystyle{ f_{|m|,n}^{(-)} } \\
\end{array} \right. , \hspace{5mm}
\bar{e}_{m,n} \equiv \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle{ e_{m,n}^{(+)} } & (m = 0, 1, 2, \cdots ) \\
\displaystyle{ e_{|m|,n}^{(-)} } & (m = -1, -2, \cdots ) \\
\end{array} \right.
\end{gather}
とおけば，
\begin{gather}
E_m = \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n} \hspace{10mm}
(m = \cdots -2, -1, 0, 1, 2, \cdots )
\end{gather}
となり，これより，
\begin{gather}
E_{\rho } = \sum _{m=-\infty}^{\infty}
\left( \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n} \right) \cos (m\phi + \alpha _m ) \\
E_{\phi } = \sum _{m=-\infty}^{\infty}
\left( \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n} \right) \sin (m\phi + \alpha _m )
\end{gather}
ビームモードの伝送電力
電力$P$は，ビームモード展開された電界$\VEC{E}$より，
\begin{eqnarray}
P &=& \frac{1}{2} \iint \{ \VEC{E} \times \VEC{H}^* \} \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} \iint \VEC{E} \cdot \VEC{E}^* dS
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\int _0^{2\pi} \int _0^\infty \left( |E_\rho |^2 + |E_\phi |^2 \right) \rho d\rho d\phi
\end{eqnarray}
すでに示した直交性より，
\begin{eqnarray}
P
&=& \pi \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\sum _{m=-\infty }^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty }
\left( |f_{m,n}^{(c)}|^2 + |f_{m,n}^{(s)}|^2 \right)
\nonumber \\
&=& \pi \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\sum _{m=-\infty }^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty } |\bar{f}_{m,n}|^2
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
f_{m,n}^{(c)} = \bar{f}_{m,n} \cos \alpha _m
\\
f_{m,n}^{(s)} = \bar{f}_{m,n} \sin \alpha _m
\end{gather}
つまり，ビームモード係数$\bar{f}_{m,n}$がわかれば，伝送電力$P$が得られることになる．
電界の直角座標成分
電界$\VEC{E}_t$を直角座標系の成分で表すと，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t
&=& \sum _{m=-\infty}^{\infty} E_m \VEC{a}_m
\nonumber \\
&=& \sum _{m=-\infty}^{\infty}
\left( \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n} \right)
\Big\{ (\VEC{a}_m \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_x
+ (\VEC{a}_m \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_y \Big\}
\nonumber \\
&=& \sum _{m=-\infty}^{\infty}
\left( \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n} \right)
\nonumber \\
&&\cdot \Big[ \cos \big\{ (m+1) \phi + \alpha_m \big\} \VEC{a}_x
+ \sin \big\{ (m+1) \phi + \alpha _m \big\} \VEC{a}_y \Big]
\nonumber \\
&\equiv& \sum _{m=-\infty}^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n}
\Big( e_{xm,n} \VEC{a}_x + e_{ym,n} \VEC{a}_y \Big)
\nonumber \\
&\equiv& \sum _{m=-\infty}^{\infty} \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n}
\VEC{e}^{(R)}_{m,n}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&E_m = \sum _{n=0}^{\infty } \bar{f}_{m,n} \bar{e}_{m,n}
\\
&\VEC{a}_m \equiv \cos (m\phi + \alpha_m ) \VEC{a}_\rho
+ \sin (m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi
\end{align}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_{\rho} &=& \cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y
\\
\VEC{a}_{\phi} &=& -\sin \phi \VEC{a}_x + \cos \phi \VEC{a}_y
\end{eqnarray}