6.4 ビームモードのパラメータ
波面の曲率半径
ビームモードの位相項について見ると，
\begin{align}
&\exp \left[ j \left\{ (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1} v
- \frac{1}{2} \frac{u^2 v}{1+v^2} \right\} \right]
\nonumber \\
&\equiv \exp \left[ j \left\{ \bar{\psi }_{m,n}^{(\pm)}(z)
+ \widehat{\psi } (\rho , z) \right\} \right]
\end{align}
ここで，
\begin{align}
&\bar{\psi }_{m,n}^{(\pm)}(z) = (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1}
\left( \frac{\gamma _0^2 }{k}z \right)
\\
&\widehat{\psi } (\rho ,z)
= - \frac{1}{2} \frac{u^2 v}{1+v^2}
= - \frac{\rho ^2}{2} \frac{v \gamma _0^2}{1+v^2}
\end{align}
上式より，$z=0$では位相分布は一様となり，この位置をビームウエストという．
また，$\widehat{\psi } (\rho ,z)$は波面を表し，モードの次数$m$ , $n$ には依存しないことがわかる.
いま，波面の曲率半径 $\bar{R}$ の球面波を考えたとき，
$\theta $ が十分小さい場合，
\begin{eqnarray}
k \left( \bar{R} - \sqrt{\bar{R}^2 +\rho ^2} \right)
&=& k \left\{ \bar{R} - \bar{R} \sqrt{1 + \left( \frac{\rho}{\bar{R}} \right) ^2 } \right\}
\nonumber \\
&\simeq& k \left[ \bar{R} - \bar{R} \left\{ 1+\frac{1}{2} \left( \frac{\rho}{\bar{R}} \right) ^2 \right\}
\right]
\nonumber \\
&=& -\frac{\rho ^2}{2} \frac{k}{\bar{R}}
\end{eqnarray}
で近似でき，両者を比較すると，
\begin{gather}
\frac{k}{\bar{R}} = \frac{v \gamma _0^2}{1+v^2}
\end{gather}
これより，波面の曲率半径$\bar{R}$が定まり，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\bar{R}
&=& \frac{1+v^2}{v \gamma _0^2} k = \frac{1+v^2}{v^2} z
\nonumber \\
&=& z \left( 1+\frac{1}{v^2} \right)
\end{eqnarray}
ビーム半径
基本ビームモードは $\bar{m}=0, n=0$ によって与えられ，この基本ビームモードにおいて
$\rho = 0$ のピーク値から
$1/e$ となる半径をビーム半径
$\omega $と定めることにする．これより，
$\bar{m}=m \pm 1 =0$
のときは肩添字$(\pm)$の下側$(-)$のときの $m=1$ より，
\begin{gather}
\frac{E_{\rho ,1,0}^{(-)}| _{\rho = \omega}}{E_{\rho ,1,0}^{(-)}|_{\rho =0}} = \frac{1}{e}
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
L_{0,0} \left( \frac{u^2}{1+v^2} \right) e^{ -\frac{1}{2} \frac{u^2}{1+v^2} }
= e^{ -\frac{1}{2} \frac{u^2}{1+v^2} } = e^{-1}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\frac{1}{2} \frac{(\gamma _0 \omega )^2}{1+v^2} = 1
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\omega ^2 = 2 \frac{1+v^2}{\gamma _0^2}
\end{gather}
また，ビームモードの波面が平面となる$z=0$ （ビームウエスト）におけるビーム半径を
$\omega _0$ とすると，
$v=0$ より，
\begin{gather}
\omega _0^2 = \frac{2}{\gamma _0^2 }
\end{gather}
これにより, ビーム半径 $\omega $ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\omega ^2
&=& \frac{2}{\gamma_0^2} (1+v^2)
\nonumber \\
&=& \omega _0^2 (1+v^2 )
\end{eqnarray}
一方，
$v$ は$\omega _0$ を用いて次のように表される．
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{\gamma _0^2 }{k} z
\nonumber \\
&=& \frac{2}{k \omega _0^2 } z
\end{eqnarray}
異なる位置でのビームモードの関係
ビーム半径$\omega $ および波面の曲率半径
$\bar{R}$ は，$z$の関数であり，ある位置$z=z_1$における値
$\omega _1 = \omega (z_1)$，
$\bar{R} _1 = \bar{R} (z_1)$
が与えられれば，ビームウエストの位置 $z=z_0$ およびそのビームウエストでのビーム半径
$\omega _0$ が次式によって求められる．
\begin{eqnarray}
z_0 &=& z_1 - \frac{\bar{R}_1}{\displaystyle{1+ \frac{1}{v_1^2}}}
\\
\omega _0 &=& \frac{\omega _1}{\sqrt{1+v_1^2}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
v_1 = \frac{\pi \omega _1 ^2}{\lambda \bar{R}_1 }
\end{gather}
ただし，$\lambda $は自由空間波長を示す．このようにビームウエストが決まれば，さらに任意の位置
$z = z_2$における値
$\omega _2 = \omega (z_2)$，
$\bar{R} _2 = \bar{R} (z_2)$
も求めることができる．
\begin{eqnarray}
\omega _2 &=& \omega _0 \sqrt{1+v_2^2 }
\\
\bar{R}_2 &=& (z_2 -z_0) \left( 1+\frac{1}{v_2^2} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
v_2 = \frac{\lambda (z_2 - z_0 )}{\pi \omega _0^2}
\end{gather}