ラゲルの多項式による電磁界の展開

6.3　ラゲルの多項式による電磁界の展開

電磁界の展開

　円筒波スペクトラム

f_{m}^{(\pm)} (γ)

を，次のラゲルの多項式

L_{n, l} (x)

を用いて展開する．まず，すでに求めた

E_{ρ m}^{(\pm)}

，

E_{ϕ m}^{(\pm)}

の式

\begin{matrix} (1) & E_{ρ m}^{(\pm)} = \pm E_{ϕ m}^{(\pm)} = k e^{- j k z} \int_{0}^{\infty} f_{m}^{(\pm)} (γ) J_{m \pm 1} (γ ρ) e^{j \frac{γ^{2}}{2 k} z} γ d γ \end{matrix}

における円筒波スペクトラム

f_{m}^{(\pm)} (γ)

を，正規直交化したラゲルの多項式

\begin{matrix} (2) & e^{- \frac{1}{2} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}})} {(\frac{γ}{γ_{0}})}^{m \pm 1} L_{n, m \pm 1} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}) \end{matrix}

により次のように展開する.

\begin{matrix} (3) & f_{m}^{(\pm)} (γ) = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} {(\frac{γ}{γ_{0}})}^{m \pm 1} L_{n, m \pm 1} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}) e^{- \frac{1}{2} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}})} \end{matrix}

係数

α_{n, m}^{(\pm)}

を求めるため，上に示した

f_{m}^{(\pm)} (γ)

の両辺に

\begin{matrix} (4) & {(\frac{γ}{γ_{0}})}^{m \pm 1 + 1} L_{n^{'}, m \pm 1} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}) e^{- \frac{1}{2} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}})} \end{matrix}

を乗じ，

(γ / γ_{0})

について積分すると，直交性を用いて次式が得られる．

\begin{array}{rcl} α_{n, m}^{(\pm)} & = & \frac{2 \cdot n!}{(n + m \pm 1)!} \\ (5) & \cdot \int_{0}^{\infty} f_{m}^{(\pm)} (γ) {(\frac{γ}{γ_{0}})}^{m \pm 1 + 1} L_{n, m \pm 1} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}) e^{- \frac{1}{2} \frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}} d (\frac{γ}{γ_{0}}) \end{array}

なお，

n^{'}

は

n

に置き換えている．ラゲルの多項式で展開した式

(3)

の

f_{m}^{(\pm)} (γ)

を

E_{ρ m}^{(\pm)}

に代入すると，

\begin{array}{rcl} E_{ρ m}^{(\pm)} & = & k e^{- j k z} \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} \\ (6) & \cdot \int_{0}^{\infty} {(\frac{γ}{γ_{0}})}^{m \pm 1} L_{n, m \pm 1} (\frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}) J_{m \pm 1} (γ ρ) e^{- \frac{1}{2} (1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k}) \frac{γ^{2}}{γ_{0}^{2}}} γ d γ \end{array}

いま，

\begin{aligned} (7) & \bar{m} \equiv m \pm 1 \\ (8) & X \equiv γ / γ_{0} \end{aligned}

とおき，上式の積分項を，

\begin{matrix} (9) & I = \int_{0}^{\infty} X^{\bar{m}} L_{n, \bar{m}} (X^{2}) J_{\bar{m}} (γ_{0} ρ X) e^{- \frac{1}{2} (1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k}) X^{2}} (γ_{0} X) γ_{0} d X \end{matrix}

とすると，

E_{ρ m}^{(\pm)}

は次のようになる．

\begin{matrix} (10) & E_{ρ m}^{(\pm)} = k e^{- j k z} \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} I \end{matrix}

この積分を実行すると次のようになる（問題参照）．

\begin{matrix} (11) & I = (- 1)^{n} \frac{γ_{0}^{\bar{m} + 2}}{(1 - j v)^{\bar{m} + 1}} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} ρ^{\bar{m}} L_{n, \bar{m}} (\frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}}) e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j v}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (12) & v = \frac{γ_{0}^{2} z}{k} \end{matrix}

したがって，

E_{ρ m}^{(\pm)}

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} E_{ρ m}^{(\pm)} & = & k e^{- j k z} \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} (- 1)^{n} \frac{γ_{0}^{\bar{m} + 2}}{(1 - j v)^{\bar{m} + 1}} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} ρ^{\bar{m}} \\ (13) & \cdot L_{n, \bar{m}} (\frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}}) e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j v}} \end{array}

ここで，

\begin{aligned} (14) & v = \frac{γ_{0}^{2} z}{k} \\ (15) & \bar{m} = m \pm 1 \end{aligned}

より，式は複雑になるが次の形にもかける．

\begin{array}{rcl} E_{ρ m}^{(\pm)} & = & k e^{- j k z} \sum_{n = 0}^{\infty} α_{n, m}^{(\pm)} (- 1)^{n} \frac{γ_{0}^{m \pm 1 + 2}}{{(1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k})}^{m \pm 1 + 1}} \cdot e^{j 2 n \tan^{- 1} \frac{γ_{0}^{2} z}{k}} ρ^{m \pm 1} \\ (16) & \cdot L_{n, m \pm 1} [\frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + {(\frac{γ_{0}^{2} z}{k})}^{2}}] e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k}}} \end{array}

　いま，

E_{ρ m}^{(\pm)}

を次のようにおく．

\begin{matrix} (17) & E_{ρ m}^{(\pm)} = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} E_{ρ m, n}^{(\pm)} \end{matrix}

の形で表すと，

E_{ρ m, n}^{(\pm)}

（elementary beams）は次のようになる．

\begin{array}{rcl} E_{ρ m, n}^{(\pm)} & = & k e^{- j k z} (- 1)^{n} \frac{γ_{0}^{m \pm 1 + 2}}{{(1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k})}^{m \pm 1 + 1}} \cdot e^{j 2 n \tan^{- 1} \frac{γ_{0}^{2} z}{k}} ρ^{m \pm 1} \\ (18) & \cdot L_{n, m \pm 1} [\frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + {(\frac{γ_{0}^{2} z}{k})}^{2}}] e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k}}} \end{array}

あるいは，

\begin{array}{rcl} E_{ρ m, n}^{(\pm)} & = & e^{- j k z} (- 1)^{n} γ_{0}^{2} k \frac{u^{m \pm 1}}{(1 - j v)^{m \pm 1 + 1}} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} \\ (19) & \cdot L_{n, m \pm 1} (\frac{u^{2}}{1 + v^{2}}) e^{- \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{1 - j v}} \end{array}

これを，ビームモード（beam-mode）という．ここで，

\begin{aligned} (20) & u \equiv γ_{0} ρ = (\frac{γ_{0}}{k}) k ρ \\ (21) & v = \frac{γ_{0}^{2}}{k} z = {(\frac{γ_{0}}{k})}^{2} k z \end{aligned}

さらに，

\begin{aligned} (22) & 1 - j v = {(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}} e^{- j \tan^{- 1} v} \\ (23) & \frac{u^{2}}{1 - j v} = \frac{u^{2} (1 + j v)}{1 + v^{2}} = \frac{u^{2}}{1 + v^{2}} + j \frac{u^{2} v}{1 + v^{2}} \end{aligned}

より，

\begin{array}{rcl} E_{ρ m, n}^{(\pm)} & = & e^{- j k z} (- 1)^{n} γ_{0}^{2} k \frac{u^{m \pm 1}}{(1 + v^{2})^{\frac{1}{2} (m \pm 1 + 1)} e^{- j (m \pm 1 + 1) \tan^{- 1} v}} \\ (24) & \cdot e^{j 2 n \tan^{- 1} v} L_{n, m \pm 1} (\frac{u^{2}}{1 + v^{2}}) e^{- \frac{1}{2} (\frac{u^{2}}{1 + v^{2}} + j \frac{u^{2} v}{1 + v^{2}})} \end{array}

いま，ビームモードの正規化係数を

\begin{matrix} (25) & A_{m, n}^{(\pm)} \equiv (- 1)^{n} γ_{0}^{2} k \end{matrix}

とおき，若干変形すると，

E_{ρ m, n}^{(\pm)}

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} E_{ρ m, n}^{(\pm)} & = & e^{- j k z} A_{m, n}^{(\pm)} \frac{u^{m \pm 1}}{(1 + v^{2})^{\frac{1}{2} (m \pm 1 + 1)}} \\ (26) & \cdot L_{n, m \pm 1} (\frac{u^{2}}{1 + v^{2}}) \cdot e^{- \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{1 + v^{2}} + j {(2 n + m \pm 1 + 1) \tan^{- 1} v - \frac{1}{2} \frac{u^{2} v}{1 + v^{2}}}} \end{array}

同様に

E_{ϕ m}^{(\pm)}

についても展開すると，

\begin{matrix} (27) & E_{ϕ m}^{(\pm)} = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n, m}^{(\pm)} E_{ϕ m, n}^{(\pm)} \end{matrix}

このようにして定義した

E_{ϕ m, n}^{(\pm)}

は，

\begin{matrix} (28) & E_{ϕ m, n}^{(\pm)} = \pm E_{ρ m, n}^{(\pm)} \end{matrix}

磁界についても，

H_{ρ m, n}^{(\pm)}

，

H_{ϕ m, n}^{(\pm)}

を同様に定義すると，次のようになる．

\begin{matrix} (29) & H_{ρ m, n}^{(\pm)} = \mp \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} E_{ρ m, n}^{(\pm)} = - \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} E_{ϕ m, n}^{(\pm)} = \mp H_{ϕ m, n}^{(\pm)} \end{matrix}

そこで，

\begin{matrix} (30) & E_{m, n}^{(\pm)} \equiv E_{ρ m, n}^{(\pm)} \end{matrix}

とおくと，

\begin{array}{rcl} (31) & E_{ϕ m, n}^{(\pm)} & = & \pm E_{m, n}^{(\pm)} \\ (32) & H_{ρ m, n}^{(\pm)} & = & \mp \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} E_{m, n}^{(\pm)} = \mp H_{ϕ m, n}^{(\pm)} \end{array}

これより，次数

m

，

n

のビームモードをベクトル表示した

E_{m, n}^{(\pm)}

，

H_{m, n}^{(\pm)}

は，次のようになる．

\begin{array}{rcl} E_{m, n}^{(\pm)} & = & E_{ρ m, n}^{(\pm)} \cos (m ϕ + α_{m}) a_{ρ} + E_{ϕ m, n}^{(\pm)} \sin (m ϕ + α_{m}) a_{ϕ} \\ (33) & = & E_{m, n}^{(\pm)} [\cos (m ϕ + α_{m}) a_{ρ} \pm \sin (m ϕ + α_{m}) a_{ϕ}] \\ H_{m, n}^{(\pm)} & = & H_{ρ m, n}^{(\pm)} \sin (m ϕ + α_{m}) a_{ρ} + H_{ϕ m, n}^{(\pm)} \cos (m ϕ + α_{m}) a_{ϕ} \\ (34) & = & \mp \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} E_{m, n}^{(\pm)} [\sin (m ϕ + α_{m}) a_{ρ} \mp \cos (m ϕ + α_{m}) a_{ϕ}] \end{array}

このとき，異なるビームモードのスカラー積は，

\begin{matrix} (35) & E_{m, n}^{(\pm)} \cdot E_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *} = E_{m, n}^{(\pm)} E_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *} \cos {(m - m^{'}) ϕ + (α_{m} - α_{m^{'}})} \\ (36) & E_{m, n}^{(\pm)} \cdot E_{m^{'}, n^{'}}^{(\mp) *} = E_{m, n}^{(\pm)} E_{m^{'}, n^{'}}^{(\mp) *} \cos {(m + m^{'}) ϕ + (α_{m} + α_{m^{'}})} \end{matrix}

ビームモードの正規化

　伝送電力に関わる積分は次のようになる．

\begin{array}{rcl} \iint {E_{m, n}^{(\pm)} \times H_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *}} \cdot a_{z} d S \\ = & \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} \iint E_{m, n}^{(\pm)} \cdot E_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *} d S \\ = & \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} \int_{0}^{2 π} \cos {(m - m^{'}) ϕ + (α_{m} - α_{m^{'}})} d ϕ \int_{0}^{\infty} E_{m, n}^{(\pm)} E_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *} ρ d ρ \\ = & \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} 2 π δ_{m, m^{'}} \int_{0}^{\infty} E_{m, n}^{(\pm)} E_{m, n^{'}}^{(\pm) *} ρ d ρ \\ (37) & = & \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} A_{m, n}^{(\pm)} A_{m^{'}, n^{'}}^{(\pm) *} \frac{π}{γ_{0}^{2}} \frac{(n + m \pm 1)!}{n!} δ_{n, n^{'}} δ_{m, m^{'}} \end{array}

ここで，上式の積分項は，

\begin{matrix} (38) & \int_{0}^{\infty} E_{m, n}^{(\pm)} E_{m, n^{'}}^{(\pm) *} ρ d ρ = \frac{1}{2 γ_{0}^{2}} A_{m, n}^{(\pm)} A_{m, n^{'}}^{(\pm) *} δ_{n, n^{'}} \frac{(n + m \pm 1)!}{n!} \end{matrix}

これより，異なるビームモードの間には直交性があることがわかる．

ビームモードの電力

P_{n, m}^{(\pm)}

は，

\begin{matrix} (39) & P_{n, m}^{(\pm)} = \frac{1}{2} \iint {E_{m, n}^{(\pm)} \times H_{m, n}^{(\pm) *}} \cdot a_{z} d S \end{matrix}

によって求められるから，

m \neq 0

のとき，

\begin{matrix} (40) & P_{n, m}^{(\pm)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} A_{m, n}^{(\pm)} A_{m, n}^{(\pm) *} \frac{π}{γ_{0}^{2}} \frac{(n + m \pm 1)!}{n!} \end{matrix}

m = 0

のとき,

\begin{matrix} (41) & P_{n, 0}^{(+)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} A_{0, n}^{(+)} A_{0, n}^{(+) *} \frac{π}{γ_{0}^{2}} \frac{(n \pm 1)!}{n!} \end{matrix}

伝送電力は，このようにして得られた各々のビームモードの電力の和により求めることができる．ビームモードの正規化条件を次のようにする．

\begin{matrix} (42) & P_{n, m}^{(\pm)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{ϵ}{μ}} \end{matrix}

正規化条件より，

\begin{matrix} (43) & 1 = {| A_{m, n}^{(\pm)} |}^{2} \frac{π}{γ_{0}^{2}} \frac{(n + m \pm 1)!}{n!} \end{matrix}

これより，正規化係数

A_{m, n}^{(\pm)}

は次のように決まる．

\begin{matrix} (44) & A_{m, n}^{(\pm)} = γ_{0} \sqrt{\frac{n!}{π (n + m \pm 1)!}} \end{matrix}

したがって，

E_{ρ m, n}^{(\pm)}

E_{ϕ m, n}^{(\pm)}

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} E_{m, n}^{(\pm)} & = & γ_{0} \sqrt{\frac{n!}{π (n + m \pm 1)!}} \frac{u^{m \pm 1}}{(1 + v^{2})^{\frac{1}{2} (m \pm 1 + 1)}} L_{n, m \pm 1} (\frac{u^{2}}{1 + v^{2}}) \\ (45) & \cdot e^{- \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{1 + v^{2}} + j {(2 n + m \pm 1 + 1) \tan^{- 1} v - \frac{1}{2} \frac{u^{2} v}{1 + v^{2}}}} e^{- j k z} \end{array}

【問題】 式 $(11)$ を導出せよ．

略解　まず，

b \equiv γ_{0} ρ

，

a^{2} \equiv \frac{1}{2} (1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k})

とおくと, 積分項

I

は次のようになる.

\begin{matrix} (46) & I = γ_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} X^{\bar{m} + 1} L_{n, \bar{m}} (X^{2}) J_{\bar{m}} (b X) e^{- a^{2} X^{2}} d X \end{matrix}

ここで,

\begin{matrix} (47) & L_{n, \bar{m}} (X^{2}) = \sum_{i = 0}^{n} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - i \end{array}) \frac{(- 1)^{i}}{i!} X^{2 i} \end{matrix}

これより,

\begin{matrix} (48) & I = γ_{0}^{2} \sum_{i = 0}^{n} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - i \end{array}) \frac{(- 1)^{i}}{i!} \int_{0}^{\infty} X^{\bar{m} + 1 + 2 i} J_{\bar{m}} (b X) e^{- a^{2} X^{2}} d X \end{matrix}

いま，積分項

I^{'}

を

\begin{matrix} (49) & I^{'} = \int_{0}^{\infty} X^{\bar{m} + 1 + 2 i} J_{\bar{m}} (b X) e^{- a^{2} X^{2}} d X \end{matrix}

とおき，次の積分公式を適用する．

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{- a^{2} x^{2}} J_{ν} (b x) x^{μ - 1} d x \\ (50) & = \frac{Γ (\frac{μ + ν}{2}) b^{ν}}{2^{ν + 1} a^{μ + ν} Γ (ν + 1)}_{1} F_{1} (\frac{μ + ν}{2}, ν + 1, - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) \end{aligned}

ここで，

\begin{matrix} (51) & _{1} F_{1} (α, β, z) = \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{Γ (α + r)}{Γ (α)} \frac{Γ (β)}{Γ (β + r)} \frac{z^{r}}{r!} \end{matrix}

よって

\begin{array}{rcl} (52) & μ & = & \bar{m} + 1 + 2 i + 1 \\ (53) & ν & = & \bar{m} \end{array}

とすれば,

\begin{array}{rcl} (54) & α & = & \frac{μ + ν}{2} = \bar{m} + i + 1 \\ (55) & β & = & ν + 1 = \bar{m} + 1 \end{array}

これより, 積分項

I^{'}

は次のようになる.

\begin{array}{rcl} I^{'} & = & \int_{0}^{\infty} X^{\bar{m} + 1 + 2 i} J_{\bar{m}} (b X) e^{- a^{2} X^{2}} d X \\ = & \frac{Γ (\bar{m} + i + 1) b^{\bar{m}}}{2^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{\bar{m} + i + 1} Γ (\bar{m} + 1)} \\ \cdot \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{Γ (\bar{m} + i + 1 + r)}{Γ (\bar{m} + i + 1)} \frac{Γ (\bar{m} + 1)}{Γ (\bar{m} + 1 + r)} \frac{1}{r!} {(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})}^{r} \\ = & \frac{(\bar{m} + i)! b^{\bar{m}}}{2^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{\bar{m} + i + 1} \bar{m}!} \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(\bar{m} + i + r)!}{(\bar{m} + i)!} \frac{\bar{m}!}{(\bar{m} + r)!} \frac{1}{r!} {(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})}^{r} \\ (56) & = & \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{i}} \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(\bar{m} + i + r)!}{(\bar{m} + r)!} \frac{1}{r!} {(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})}^{r} \end{array}

さて, ラゲルの多項式

L_{n, α} (x)

はロドリゲス表示より，次のようになる.

\begin{array}{rcl} L_{n, α} (x) & = & \frac{e^{x} x^{- α}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x} x^{n + α}) \\ = & \frac{e^{x} x^{- α}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} [{\sum_{p = 0}^{\infty} \frac{(- x)^{p}}{p!}} x^{n + α}] \\ = & \frac{e^{x} x^{- α}}{n!} \sum_{p = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{p}}{p!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n + α + p}) \\ = & \frac{e^{x} x^{- α}}{n!} \sum_{p = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{p}}{p!} \frac{(n + α + p)!}{(α + p)!} x^{α + p} \\ (57) & = & \frac{e^{x}}{n!} \sum_{p = 0}^{\infty} \frac{(n + α + p)!}{p! (α + p)!} (- x)^{p} \end{array}

ここで,

\begin{array}{rcl} (58) & x & \equiv & \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\ (59) & p & \equiv & r \\ (60) & α & \equiv & \bar{m} \\ (61) & n & \equiv & i \end{array}

これより，

L_{i, \bar{m}} (\frac{b^{2}}{4 a^{2}})

は次のようになる.

\begin{matrix} (62) & L_{i, \bar{m}} (\frac{b^{2}}{4 a^{2}}) = \frac{e^{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{i!} \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(i + \bar{m} + r)!}{r! (\bar{m} + r)!} {(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})}^{r} \end{matrix}

積分項

I^{'}

は次のようになる.

\begin{array}{rcl} I^{'} & = & \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{i}} L_{i, \bar{m}} (\frac{b^{2}}{4 a^{2}}) \frac{i!}{e^{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} \\ (63) & = & \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{i}} i! e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \sum_{r = 0}^{i} (\begin{array}{ll} i + \bar{m} \\ i - r \end{array}) \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \end{array}

よって，与式の積分

I

は次のようになる.

\begin{array}{rcl} I & = & γ_{0}^{2} \sum_{i = 0}^{n} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - i \end{array}) \frac{(- 1)^{i}}{i!} I^{'} \\ = & γ_{0}^{2} \sum_{i = 0}^{n} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - i \end{array}) \frac{(- 1)^{i}}{i!} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1} (a^{2})^{i}} i! e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \\ \cdot \sum_{r = 0}^{i} (\begin{array}{ll} i + \bar{m} \\ i - r \end{array}) \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \\ = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1}} \sum_{i = 0}^{n} \sum_{r = 0}^{i} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - i \end{array}) (\begin{array}{ll} i + \bar{m} \\ i - r \end{array}) \frac{(- 1)^{i}}{(a^{2})^{i}} \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \\ = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1}} \\ \cdot \sum_{i = 0}^{n} \sum_{r = 0}^{i} \frac{(n + \bar{m})!}{(n - i)! (\bar{m} + i)!} \frac{(i + \bar{m})!}{(i - r)! (\bar{m} + r)!} \frac{(- 1)^{i}}{(a^{2})^{i}} \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \\ = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1}} \sum_{r = 0}^{n} \frac{(n + \bar{m})!}{(\bar{m} + r)!} \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \\ (64) & \cdot \sum_{i = r}^{n} \frac{1}{(n - i)! (i - r)!} \frac{(- 1)^{i}}{(a^{2})^{i}} \end{array}

いま，

\begin{matrix} (65) & j \equiv i - r \end{matrix}

とおくと,

\begin{array}{rcl} \sum_{i = r}^{n} \frac{1}{(n - i)! (i - r)!} \frac{(- 1)^{i}}{(a^{2})^{i}} & = & \sum_{j = 0}^{n - r} \frac{1}{(n - r - j)! j!} {(- \frac{1}{a^{2}})}^{j + r} \\ = & \frac{(- \frac{1}{a^{2}})^{r}}{(n - r)!} \sum_{j = 0}^{n - r} \frac{(n - r)!}{(n - r - j)! j!} {(- \frac{1}{a^{2}})}^{j} \\ = & \frac{(- \frac{1}{a^{2}})^{r}}{(n - r)!} \sum_{j = 0}^{n - r} (\begin{array}{cc} n - r \\ j \end{array}) {(- \frac{1}{a^{2}})}^{j} \\ (66) & = & \frac{(- \frac{1}{a^{2}})^{r}}{(n - r)!} {(1 - \frac{1}{a^{2}})}^{n - r} \end{array}

となり,

I

は，

\begin{array}{rcl} I & = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1}} \sum_{r = 0}^{n} \frac{(n + \bar{m})!}{(\bar{m} + r)!} \frac{(- \frac{b^{2}}{4 a^{2}})^{r}}{r!} \frac{(- \frac{1}{a^{2}})^{r}}{(n - r)!} {(1 - \frac{1}{a^{2}})}^{n - r} \\ = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} \frac{b^{\bar{m}}}{(2 a^{2})^{\bar{m} + 1}} {(1 - \frac{1}{a^{2}})}^{n} \\ (67) & \cdot \sum_{r = 0}^{n} \frac{(n + \bar{m})!}{(\bar{m} + r)! r! (n - r)!} {(\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \frac{1}{a^{2}} \frac{1}{1 - \frac{1}{a^{2}}})}^{r} \end{array}

ここで,

\begin{matrix} (68) & \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \frac{1}{a^{2}} \frac{1}{1 - \frac{1}{a^{2}}} = \frac{b^{2}}{4 a^{2} (a^{2} - 1)} \end{matrix}

さらに，

\begin{matrix} (69) & v \equiv \frac{γ_{0}^{2} z}{k} \end{matrix}

とおくと，

\begin{aligned} (70) & a^{2} = \frac{1}{2} (1 - j \frac{γ_{0}^{2} z}{k}) = \frac{1}{2} (1 - j v) \\ (71) & a^{2} - 1 = - \frac{1}{2} (1 + j v) \\ (72) & 4 a^{2} (a^{2} - 1) = - (1 + v^{2}) \\ (73) & \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{(1 - j v)} \\ (74) & \frac{b^{2}}{4 a^{2} (a^{2} - 1)} = - \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}} \end{aligned}

また，

\begin{array}{rcl} {(1 - \frac{1}{a^{2}})}^{n} & = & {\frac{- \frac{1}{2} (1 + j v)}{\frac{1}{2} (1 - j v)}}^{n} \\ = & (- 1)^{n} {(\frac{1 + j v}{1 - j v})}^{n} \\ = & (- 1)^{n} {(\frac{e^{j \tan^{- 1} v}}{e^{- j \tan^{- 1} v}})}^{n} \\ (75) & = & (- 1)^{n} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} \end{array}

よって，

I

は次のようになる.

\begin{array}{rcl} I & = & γ_{0}^{2} e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j v}} \frac{(γ_{0} ρ)^{\bar{m}}}{(1 - j v)^{\bar{m} + 1}} (- 1)^{n} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} \\ \cdot \sum_{r = 0}^{n} \frac{(n + \bar{m})!}{(\bar{m} + r)! (n - r)!} \frac{1}{r!} {(- \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}})}^{r} \\ = & e^{- \frac{1}{2} \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 - j v}} \frac{γ_{0}^{\bar{m} + 2} ρ^{\bar{m}}}{(1 - j v)^{\bar{m} + 1}} (- 1)^{n} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} \sum_{r = 0}^{n} (\begin{array}{ll} n + \bar{m} \\ n - r \end{array}) \frac{(- \frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}})^{r}}{r!} \\ (76) & = & (- 1)^{n} \frac{γ_{0}^{\bar{m} + 2}}{(1 - j v)^{\bar{m} + 1}} e^{j 2 n \tan^{- 1} v} ρ^{\bar{m}} L_{n, \bar{m}} (\frac{γ_{0}^{2} ρ^{2}}{1 + v^{2}}) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (77) & v = \frac{γ_{0}^{2} z}{k} \end{matrix}

6.3 ラゲルの多項式による電磁界の展開

電磁界の展開

ビームモードの正規化

ビームモードの電力

6.3　ラゲルの多項式による電磁界の展開