6.3 ラゲルの多項式による電磁界の展開
電磁界の展開
円筒波スペクトラム$f_m^{(\pm )} (\gamma ) $を，次のラゲルの多項式$L_{n,l} (x)$を用いて展開する．まず，すでに求めた$E_{\rho m} ^{(\pm )}$，$E_{\phi m} ^{(\pm )}$の式
\begin{gather}
E_{\rho m} ^{(\pm )} = \pm E_{\phi m} ^{(\pm )}
= k e^{-jkz} \int _0^{\infty } f_m^{(\pm )} (\gamma )
J_{m \pm 1}(\gamma \rho ) e^{j \frac{\gamma ^2}{2k} z} \gamma d \gamma
\end{gather}
における円筒波スペクトラム$f_m^{(\pm )} (\gamma ) $を，正規直交化したラゲルの多項式
\begin{gather}
e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2} \right)}
\left( \frac{\gamma }{\gamma _0} \right) ^{m \pm 1}
L_{n, m \pm 1} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
\end{gather}
により次のように展開する.
\begin{gather}
f_m^{(\pm )} (\gamma )
%= \sum _{n=0}^{\infty } \alpha _{n,m}^{(\pm )} f_{m,n}^{(\pm )} (\gamma )
= \sum _{n=0}^{\infty } g_{n,m}^{(\pm )}
\left( \frac{\gamma }{\gamma _0 } \right) ^{m \pm 1}
L_{n,m \pm 1} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2} \right) }
\label{eq:fml}
\end{gather}
係数$\alpha _{n,m}^{(\pm )}$を求めるため，
上に示した$f_m^{(\pm )} (\gamma ) $の両辺に
\begin{gather}
\left( \frac{\gamma }{\gamma _0 } \right) ^{m \pm 1+1}
L_{n',m \pm 1} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2} \right) }
\end{gather}
を乗じ，
$( \gamma /\gamma _0 )$について積分すると，直交性を用いて次式が得られる．
\begin{eqnarray}
\alpha _{n,m}^{(\pm )} &=& \frac{2 \cdot n !}{(n+m \pm 1) !}
\nonumber \\
&&\cdot \int _{0}^{\infty} f_m^{(\pm )} (\gamma )
\left( \frac{\gamma }{\gamma _0} \right) ^{m \pm 1+1}
L_{n,m \pm 1} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
e^{- \frac{1}{2} \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2}}
d \left( \frac{\gamma }{\gamma _0 } \right)
\end{eqnarray}
なお，$n'$は$n$に置き換えている．
ラゲルの多項式で展開した式\eqref{eq:fml}の
$f_m^{(\pm )} (\gamma ) $
を$E_{\rho m} ^{(\pm )}$に代入すると，
\begin{eqnarray}
E_{\rho m} ^{(\pm )}
&=& k e^{-jkz} \sum _{n=0}^{\infty } g_{n,m}^{(\pm )}
\nonumber \\
&&\cdot \int _0^{\infty }
\left( \frac{\gamma }{\gamma _0 } \right) ^{m \pm 1}
L_{n,m \pm 1} \left( \frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2 } \right)
J_{m \pm 1}(\gamma \rho )
e^{-\frac{1}{2} \left( 1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k} \right)
\frac{\gamma ^2}{\gamma _0^2} } \gamma d \gamma
\end{eqnarray}
いま，
\begin{align}
&\bar{m} \equiv m \pm 1
\\
&X \equiv \gamma / \gamma _0
\end{align}
とおき，上式の積分項を，
\begin{gather}
I = \int _0^{\infty } X^{\bar{m}} L_{n,\bar{m}} (X^2)
J_{\bar{m}}(\gamma _0 \rho X )
e^{-\frac{1}{2} (1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k}) X^2 }
(\gamma _0 X) \gamma _0 dX
\label{eq:int_I}
\end{gather}
とすると，$E_{\rho m} ^{(\pm )}$は次のようになる．
\begin{gather}
E_{\rho m} ^{(\pm )}
= k e^{-jkz} \sum _{n=0}^{\infty } g_{n,m}^{(\pm )} I
\end{gather}
この積分を実行すると次のようになる（問題参照）．
\begin{gather}
I = (-1)^n \frac{\gamma _0^{\bar{m}+2}}{(1-jv)^{\bar{m}+1}}
e^{j2n \tan ^{-1} v} \rho ^{\bar{m}}
L_{n,\bar{m}} \left( \frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{1+v^2} \right)
e^{-\frac{1}{2} \frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-jv}}
\label{eq:Iint}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
v = \frac{\gamma _0^2 z}{k}
\end{gather}
したがって，$E_{\rho m}^{(\pm )} $は次のようになる．
\begin{eqnarray}
E_{\rho m}^{(\pm )}
&=& k e^{-jkz } \sum _{n=0}^{\infty } g_{n,m}^{(\pm )}
(-1)^n \frac{\gamma _0^{\bar{m}+2}}{(1-jv)^{\bar{m}+1}}
e^{j2n \tan ^{-1} v} \rho ^{\bar{m}}
\nonumber \\
&&\cdot L_{n,\bar{m}} \left( \frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{1+v^2} \right)
e^{-\frac{1}{2} \frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-jv}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&v = \frac{\gamma _0^2 z}{k}
\\
&\bar{m} = m \pm 1
\end{align}
より，式は複雑になるが次の形にもかける．
\begin{eqnarray}
E_{\rho m}^{(\pm )}
&=& k e^{-jkz } \sum _{n=0}^{\infty } \alpha _{n,m}^{(\pm )}
(-1)^n \frac{\gamma _0^{m \pm 1+2}}{
\left( 1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k} \right) ^{m \pm 1+1}}
\cdot e^{ j2n \tan ^{-1} \frac{\gamma _0^2 z}{k} } \rho ^{m \pm 1}
\nonumber \\
&&\cdot L_{n,m \pm 1}
\left[ \frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{
1+ \left( \frac{\gamma _0^2 z}{k} \right) ^2} \right]
e^{ -\frac{1}{2}
\frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k}}}
\end{eqnarray}
いま，$ E_{\rho m}^{(\pm )}$ を次のようにおく．
\begin{gather}
E_{\rho m}^{(\pm )} = \sum _{n=0}^{\infty }
g_{n,m}^{(\pm )} E_{\rho m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
の形で表すと，
$ E_{\rho m,n}^{(\pm )}$ （elementary beams）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
E_{\rho m,n}^{(\pm )}
&=& k e^{-jkz } (-1)^n \frac{\gamma _0^{m \pm 1+2}}{
\left( 1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k} \right) ^{m \pm 1+1}}
\cdot e^{ j2n \tan ^{-1} \frac{\gamma _0^2 z}{k} } \rho ^{m \pm 1}
\nonumber \\
&&\cdot L_{n,m \pm 1}
\left[ \frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{
1+ \left( \frac{\gamma _0^2 z}{k} \right) ^2} \right]
e^{ -\frac{1}{2}
\frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k}}}
\end{eqnarray}
あるいは，
\begin{eqnarray}
E_{\rho m,n}^{(\pm )}
&=& e^{-jkz } (-1)^n \gamma _0^2 k \frac{u^{m \pm 1}}{(1-jv)^{m \pm 1+1}}
e^{ j2n \tan ^{-1} v }
\nonumber \\
&&\cdot L_{n,m \pm 1} \left( \frac{u^2}{1+v^2} \right)
e^{ -\frac{1}{2} \frac{u^2 }{1-jv} }
\end{eqnarray}
これを，ビームモード（beam-mode）という．
ここで，
\begin{align}
&u \equiv \gamma _0 \rho = \left( \frac{\gamma _0 }{k} \right) k \rho
\\
&v = \frac{\gamma _0^2 }{k}z = \left( \frac{\gamma _0}{k} \right)^2 kz
\end{align}
さらに，
\begin{align}
&1-jv = \left( 1+v^2 \right) ^{\frac{1}{2}} e^{-j \tan ^{-1} v }
\\
&\frac{u^2}{1-jv} = \frac{u^2(1+jv)}{1+v^2}
= \frac{u^2}{1+v^2} +j \frac{u^2 v}{1+v^2}
\end{align}
より，
\begin{eqnarray}
E_{\rho m,n}^{(\pm )}
&=& e^{-jkz } (-1)^n \gamma _0^2 k
\frac{u^{m \pm 1}}{(1+v^2)^{\frac{1}{2}(m \pm 1+1)}
e^{-j(m \pm 1+1) \tan ^{-1}v}}
\nonumber \\
&&\cdot e^{ j2n \tan ^{-1} v } L_{n,m \pm 1} \left( \frac{u^2}{1+v^2} \right)
e^{ -\frac{1}{2} \left( \frac{u^2}{1+v^2} +j \frac{u^2 v}{1+v^2} \right) }
\end{eqnarray}
いま，ビームモードの正規化係数を
\begin{gather}
A_{m,n}^{(\pm )} \equiv (-1)^n \gamma _0^2 k
\end{gather}
とおき，若干変形すると，$E_{\rho m,n}^{(\pm )}$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
E_{\rho m,n}^{(\pm )}
&=& e^{-jkz } A_{m,n}^{(\pm )}
\frac{u^{m \pm 1}}{(1+v^2)^{\frac{1}{2}(m \pm 1+1)}}
\nonumber \\
&&\cdot L_{n,m \pm 1} \left( \frac{u^2}{1+v^2} \right)
\cdot e^{ -\frac{1}{2} \frac{u^2}{1+v^2}
+ j\{ (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1} v - \frac{1}{2} \frac{u^2 v}{1+v^2} \} }
\end{eqnarray}
同様に$E_{\phi m}^{(\pm )}$についても展開すると，
\begin{gather}
E_{\phi m}^{(\pm )} = \sum _{n=0}^{\infty } g_{n,m}^{(\pm )} E_{\phi m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
このようにして定義した$E_{\phi m,n}^{(\pm )}$は，
\begin{gather}
E_{\phi m,n}^{(\pm )} = \pm E_{\rho m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
磁界についても，
$H_{\rho m,n}^{(\pm )}$，$H_{\phi m,n}^{(\pm )}$を同様に定義すると，
次のようになる．
\begin{gather}
H_{\rho m,n}^{(\pm )}
= \mp \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} E_{\rho m,n}^{(\pm )}
= - \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} E_{\phi m,n}^{(\pm )}
= \mp H_{\phi m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
そこで，
\begin{gather}
E_{m,n}^{(\pm )} \equiv E_{\rho m,n}^{(\pm )}
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
E_{\phi m,n}^{(\pm )}
&=& \pm E_{m,n}^{(\pm )}
\\
H_{\rho m,n}^{(\pm )}
&=& \mp \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} E_{m,n}^{(\pm )}
= \mp H_{\phi m,n}^{(\pm )}
\end{eqnarray}
これより，次数$m$，$n$のビームモードをベクトル表示した
$\VEC{E}_{m,n}^{(\pm )}$，$\VEC{H}_{m,n}^{(\pm )}$は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_{m,n}^{(\pm )}
&=& E_{\rho m,n}^{(\pm )} \cos ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\rho
+ E_{\phi m,n}^{(\pm )} \sin ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi
\nonumber \\
&=& E_{m,n}^{(\pm )} \left[ \cos ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\rho
\pm \sin ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi \right] \\
\VEC{H}_{m,n}^{(\pm )}
&=& H_{\rho m,n}^{(\pm )} \sin ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\rho
+ H_{\phi m,n}^{(\pm )} \cos ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi
\nonumber \\
&=& \mp \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} E_{m,n}^{(\pm )}
\left[ \sin ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\rho
\mp \cos ( m\phi + \alpha _m ) \VEC{a}_\phi \right]
\end{eqnarray}
このとき，異なるビームモードのスカラー積は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{m,n}^{(\pm )} \cdot \VEC{E}_{m',n'}^{(\pm ) *}
= E_{m,n}^{(\pm )} E_{m',n'}^{(\pm ) *}
\cos \{ (m-m')\phi +(\alpha _m - \alpha _{m'}) \} \\
\VEC{E}_{m,n}^{(\pm )} \cdot \VEC{E}_{m',n'}^{(\mp ) *}
= E_{m,n}^{(\pm )} E_{m',n'}^{(\mp ) *}
\cos \{ (m+m')\phi +(\alpha _m + \alpha _{m'}) \}
\end{gather}
ビームモードの正規化
伝送電力に関わる積分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\iint \{ \VEC{E}_{m,n}^{(\pm )} \times \VEC{H}_{m',n'}^{(\pm ) *} \}
\cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\iint \VEC{E}_{m,n}^{(\pm )} \cdot \VEC{E}_{m',n'}^{(\pm ) *} dS
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\int _0^{2 \pi } \cos \{ (m-m')\phi +(\alpha _m - \alpha _{m'}) \} d \phi
\int _0^{\infty } E_{m,n}^{(\pm )} E_{m',n'}^{(\pm ) *} \rho d \rho
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }} 2 \pi \delta _{m,m'}
\int _0^{\infty } E_{m,n}^{(\pm )} E_{m,n'}^{(\pm ) *} \rho d \rho
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
A_{m,n}^{(\pm )} A_{m',n'}^{(\pm ) *} \frac{\pi }{\gamma _0^2 }
\frac{(n+m \pm 1)!}{n!} \delta _{n,n'} \delta _{m,m'}
\end{eqnarray}
ここで，上式の積分項は，
\begin{gather}
\int _0^{\infty } E_{m,n}^{(\pm )} E_{m,n'}^{(\pm ) *} \rho d \rho
= \frac{1}{2 \gamma _0^2 } A_{m,n}^{(\pm )} A_{m,n'}^{(\pm ) *}
\delta _{n,n'} \frac{(n+m \pm 1)!}{n!}
\end{gather}
これより，異なるビームモードの間には直交性があることがわかる．
ビームモードの電力
ビームモードの電力 $P_{n,m}^{(\pm )}$ は，
\begin{gather}
P_{n,m}^{(\pm )}
= \frac{1}{2}
\iint \{ \VEC{E}_{m,n}^{(\pm )} \times \VEC{H}_{m,n}^{(\pm ) *} \}
\cdot \VEC{a}_z dS
\end{gather}
によって求められるから，
$m \neq 0$ のとき，
\begin{gather}
P_{n,m}^{(\pm )}
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
A_{m,n}^{(\pm )} A_{m,n}^{(\pm ) *} \frac{\pi }{\gamma _0^2 }
\frac{(n+m \pm 1)!}{n!}
\end{gather}
$m = 0$ のとき,
\begin{gather}
P_{n,0}^{(+)}
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
A_{0,n}^{(+)} A_{0,n}^{(+) *} \frac{\pi }{\gamma _0^2 }
\frac{(n \pm 1)!}{n!}
\end{gather}
伝送電力は，このようにして得られた各々のビームモードの電力の和により求めることができる．ビームモードの正規化条件を次のようにする．
\begin{gather}
P_{n,m}^{(\pm )} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}
\end{gather}
正規化条件より，
\begin{gather}
1 = \left| A_{m,n}^{(\pm )} \right| ^2 \frac{\pi }{\gamma _0^2 }
\frac{(n+m \pm 1)!}{n!}
\end{gather}
これより，正規化係数 $A_{m,n}^{(\pm )}$ は次のように決まる．
\begin{gather}
A_{m,n}^{(\pm )}
= \gamma _0 \sqrt{ \frac{n!}{\pi (n+m \pm 1)!} }
\end{gather}
したがって，$E_{\rho m,n}^{(\pm )} $ , $E_{\phi m,n}^{(\pm )} $ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
E_{m,n}^{(\pm )}
&=& \gamma _0 \sqrt{ \frac{n!}{\pi (n+m \pm 1)!} }
\frac{u^{m \pm 1}}{(1+v^2)^{\frac{1}{2}(m \pm 1+1)}}
L_{n,m \pm 1} \left( \frac{u^2}{1+v^2} \right)
\nonumber \\
&&\cdot e^{ -\frac{1}{2} \frac{u^2}{1+v^2}
+ j\{ (2n+m \pm 1+1) \tan ^{-1} v - \frac{1}{2} \frac{u^2 v}{1+v^2} \} }
e^{-jkz}
\label{eq:normalized_beammode}
\end{eqnarray}
【問題】 式\eqref{eq:Iint}を導出せよ．
略解
まず，$b \equiv \gamma _0 \rho $，
$a^2 \equiv \frac{1}{2} (1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k})$
とおくと, 積分項$I$は次のようになる.
\begin{gather}
I = \gamma _0^2 \int _0^{\infty } X^{\bar{m}+1} L_{n,\bar{m}} (X^2)
J_{\bar{m}}(bX) e^{-a^2 X^2} dX
\end{gather}
ここで,
\begin{gather}
L_{n,\bar{m}} (X^2) = \sum _{i=0}^n
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ n+\bar{m} } \\ \displaystyle{ n-i }
\end{array} \right )
\frac{(-1)^i}{i!} X^{2i}
\end{gather}
これより,
\begin{gather}
I = \gamma _0^2 \sum _{i=0}^n
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ n+\bar{m} } \\ \displaystyle{ n-i }
\end{array} \right )
\frac{(-1)^i}{i!}
\int _0^{\infty } X^{\bar{m}+1+2i}
J_{\bar{m}}(bX) e^{-a^2 X^2} dX
\end{gather}
いま，積分項 $I'$を
\begin{gather}
I' = \int _0^{\infty } X^{\bar{m}+1+2i} J_{\bar{m}}(bX) e^{-a^2 X^2} dX
\end{gather}
とおき，次の積分公式を適用する．
\begin{align}
&\int _0^{\infty } e^{-a^2 x^2} J_{\nu }(bx) x^{\mu -1} dx
\nonumber \\
&= \frac{\Gamma (\frac{\mu + \nu }{2}) b^{\nu }}{
2^{\nu +1} a^{\mu +\nu} \Gamma (\nu +1) }
{ }_1 F_1 \left( \frac{\mu +\nu}{2} , \nu +1, -\frac{b^2}{4a^2} \right)
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
_1 F_1 (\alpha , \beta , z) = \sum _{r=0}^{\infty }
\frac{\Gamma (\alpha + r)}{\Gamma (\alpha )}
\frac{\Gamma (\beta )}{\Gamma (\beta + r)} \frac{z^r}{r !}
\end{gather}
よって
\begin{eqnarray}
\mu &=& \bar{m} +1+2i+1
\\
\nu &=& \bar{m}
\end{eqnarray}
とすれば,
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac{\mu + \nu }{2} = \bar{m} +i+1
\\
\beta &=& \nu +1 = \bar{m} +1
\end{eqnarray}
これより, 積分項$I'$は次のようになる.
\begin{eqnarray}
I' &=& \int _0^{\infty } X^{\bar{m}+1+2i}
J_{\bar{m}}(bX) e^{-a^2 X^2} dX
\nonumber \\
&=& \frac{\Gamma (\bar{m}+i+1) b^{\bar{m}}}{
2^{\bar{m}+1} (a^2)^{\bar{m}+i+1} \Gamma (\bar{m}+1)}
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{r=0}^{\infty }
\frac{\Gamma (\bar{m}+i+1+r)}{\Gamma (\bar{m}+i+1)}
\frac{\Gamma (\bar{m}+1)}{\Gamma (\bar{m}+1+r)}
\frac{1}{r!} \left( -\frac{b^2}{4a^2} \right)^r
\nonumber \\
&=& \frac{(\bar{m}+i)! b^{\bar{m}}}{
2^{\bar{m}+1} (a^2)^{\bar{m}+i+1} \bar{m}!}
\sum _{r=0}^{\infty }
\frac{(\bar{m}+i+r)!}{(\bar{m}+i)!}
\frac{\bar{m}!}{(\bar{m}+r)!}
\frac{1}{r!} \left(-\frac{b^2}{4a^2} \right)^r
\nonumber \\
&=& \frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1} (a^2)^i}
\sum _{r=0}^{\infty }
\frac{(\bar{m}+i+r)!}{(\bar{m}+r)!}
\frac{1}{r!} \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)^r
\end{eqnarray}
さて, ラゲルの多項式$L_{n,\alpha } (x)$はロドリゲス表示より，次のようになる.
\begin{eqnarray}
L_{n,\alpha } (x)
&=& \frac{e^x x^{-\alpha }}{n !} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x} x^{n+\alpha })
\nonumber \\
&=& \frac{e^x x^{-\alpha }}{n !} \frac{d^n}{dx^n}
\left[ \left\{ \sum _{p=0}^{\infty } \frac{(-x)^p}{p!}
\right\} x^{n+\alpha } \right]
\nonumber \\
&=& \frac{e^x x^{-\alpha }}{n !}
\sum _{p=0}^{\infty } \frac{(-1)^p}{p!} \frac{d^n}{dx^n}
( x^{n+\alpha +p} )
\nonumber \\
&=& \frac{e^x x^{-\alpha }}{n !}
\sum _{p=0}^{\infty } \frac{(-1)^p}{p!}
\frac{(n+\alpha +p)!}{(\alpha +p)!} x^{\alpha +p}
\nonumber \\
&=& \frac{e^x}{n !} \sum _{p=0}^{\infty }
\frac{(n+\alpha +p)!}{p! (\alpha +p)!} (-x)^p
\end{eqnarray}
ここで,
\begin{eqnarray}
x &\equiv& \frac{b^2}{4a^2}
\\
p &\equiv& r
\\
\alpha &\equiv& \bar{m}
\\
n &\equiv& i
\end{eqnarray}
これより，$L_{i,\bar{m} } (\frac{b^2}{4a^2} ) $は次のようになる.
\begin{gather}
L_{i,\bar{m} } \left( \frac{b^2}{4a^2} \right)
= \frac{e^{\frac{b^2}{4a^2} }}{i !}
\sum _{r=0}^{\infty } \frac{(i+\bar{m} +r)!}{r! (\bar{m} +r)!}
\left( - \frac{b^2}{4a^2} \right)^r
\end{gather}
積分項$I'$は次のようになる.
\begin{eqnarray}
I' &=& \frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1} (a^2)^i}
L_{i,\bar{m} } (\frac{b^2}{4a^2} )
\frac{i !}{e^{\frac{b^2}{4a^2} }}
\nonumber \\
&=& \frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1} (a^2)^i}
i! e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\sum _{r=0}^i
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ i+\bar{m} } \\ \displaystyle{ i-r }
\end{array} \right )
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\end{eqnarray}
よって，与式の積分$I$は次のようになる.
\begin{eqnarray}
I &=& \gamma _0^2 \sum _{i=0}^n
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ n+\bar{m} } \\ \displaystyle{ n-i }
\end{array} \right )
\frac{(-1)^i}{i!} I'
\nonumber \\
&=& \gamma _0^2 \sum _{i=0}^n
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ n+\bar{m} } \\ \displaystyle{ n-i }
\end{array} \right )
\frac{(-1)^i}{i!}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1} (a^2)^i}
i! e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{r=0}^i
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ i+\bar{m} } \\ \displaystyle{ i-r }
\end{array} \right )
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\nonumber \\
&=& \gamma _0^2 e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1}}
\sum _{i=0}^n \sum _{r=0}^i
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ n+\bar{m} } \\ \displaystyle{ n-i }
\end{array} \right )
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{ i+\bar{m} } \\ \displaystyle{ i-r }
\end{array} \right )
\frac{(-1)^i}{(a^2)^i}
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\nonumber \\
&=& \gamma _0^2 e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1}}
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{i=0}^n \sum _{r=0}^i
\frac{(n+\bar{m})!}{(n-i)!(\bar{m}+i)!}
\frac{(i+\bar{m})!}{(i-r)!(\bar{m}+r)!}
\frac{(-1)^i}{(a^2)^i}
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\nonumber \\
&=& \gamma _0^2 e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1}}
\sum _{r=0}^n
\frac{(n+\bar{m})!}{(\bar{m}+r)!}
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{i=r}^n
\frac{1}{(n-i)!(i-r)!}
\frac{(-1)^i}{(a^2)^i}
\end{eqnarray}
いま，
\begin{gather}
j \equiv i-r
\end{gather}
とおくと,
\begin{eqnarray}
\sum _{i=r}^n \frac{1}{(n-i)!(i-r)!} \frac{(-1)^i}{(a^2)^i}
&=& \sum _{j=0}^{n-r} \frac{1}{(n-r-j)!j!} \left(-\frac{1}{a^2}\right)^{j+r}
\nonumber \\
&=& \frac{(-\frac{1}{a^2})^r}{(n-r)!}
\sum _{j=0}^{n-r} \frac{(n-r)!}{(n-r-j)!j!} \left(-\frac{1}{a^2}\right)^j
\nonumber \\
&=& \frac{(-\frac{1}{a^2})^r}{(n-r)!}
\sum _{j=0}^{n-r}
\left ( \begin{array}{cc}
\displaystyle{n-r} \\ \displaystyle{j}
\end{array} \right )
\left(-\frac{1}{a^2}\right)^j
\nonumber \\
&=& \frac{(-\frac{1}{a^2})^r}{(n-r)!}
\left(1-\frac{1}{a^2}\right)^{n-r}
\end{eqnarray}
となり, $I$は，
\begin{eqnarray}
I &=& \gamma _0^2 e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1}}
\sum _{r=0}^n
\frac{(n+\bar{m})!}{(\bar{m}+r)!}
\frac{(-\frac{b^2}{4a^2})^r}{r!}
\frac{(-\frac{1}{a^2})^r}{(n-r)!} \left(1-\frac{1}{a^2}\right)^{n-r}
\nonumber \\
&=& \gamma _0^2 e^{-\frac{b^2}{4a^2}}
\frac{b^{\bar{m}}}{(2a^2)^{\bar{m}+1}}
\left(1-\frac{1}{a^2}\right)^n
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{r=0}^n
\frac{(n+\bar{m})!}{(\bar{m}+r)!r!(n-r)!}
\left(\frac{b^2}{4a^2} \frac{1}{a^2} \frac{1}{1-\frac{1}{a^2}}\right)^r
\end{eqnarray}
ここで,
\begin{gather}
\frac{b^2}{4a^2} \frac{1}{a^2} \frac{1}{1-\frac{1}{a^2}}
= \frac{b^2}{4a^2 (a^2 -1)}
\end{gather}
さらに，
\begin{gather}
v \equiv \frac{\gamma _0^2 z}{k}
\end{gather}
とおくと，
\begin{align}
&a^2 = \frac{1}{2} \left(1-j\frac{\gamma _0^2 z}{k}\right)
= \frac{1}{2} (1-jv)
\\
&a^2 -1 = -\frac{1}{2} (1+jv)
\\
&4a^2 (a^2 -1) = -(1+v^2)
\\
&\frac{b^2}{4a^2 } = \frac{1}{2} \frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{(1-jv)}
\\
&\frac{b^2}{4a^2 (a^2 -1)} = -\frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1+v^2}
\end{align}
また，
\begin{eqnarray}
\left(1-\frac{1}{a^2}\right)^n
&=& \left\{ \frac{-\frac{1}{2} (1+jv)}{\frac{1}{2} (1-jv)} \right\}^n
\nonumber \\
&=& (-1)^n \left( \frac{1+jv}{1-jv} \right)^n
\nonumber \\
&=& (-1)^n \left( \frac{e^{j \tan ^{-1} v}}{e^{-j \tan ^{-1} v}} \right)^n
\nonumber \\
&=& (-1)^n e^{j2n \tan ^{-1} v}
\end{eqnarray}
よって，$I$は次のようになる.
\begin{eqnarray}
I &=& \gamma _0^2 e^{-\frac{1}{2} \frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-jv}}
\frac{(\gamma _0 \rho )^{\bar{m}}}{(1-jv)^{\bar{m}+1}}
(-1)^n e^{j2n \tan ^{-1} v}
\nonumber \\
&&\cdot \sum _{r=0}^n
\frac{(n+\bar{m})!}{(\bar{m}+r)!(n-r)!} \frac{1}{r!}
\left( -\frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1+v^2} \right)^r
\nonumber \\
&=& e^{-\frac{1}{2} \frac{\gamma _0^2 \rho ^2 }{1-jv}}
\frac{\gamma _0^{\bar{m}+2} \rho ^{\bar{m}} }{(1-jv)^{\bar{m}+1}}
(-1)^n e^{j2n \tan ^{-1} v}
\sum _{r=0}^n
\left ( \begin{array}{ll}
\displaystyle{n+\bar{m}} \\ \displaystyle{n-r}
\end{array} \right )
\frac{( -\frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{1+v^2} )^r}{r!}
\nonumber \\
&=& (-1)^n \frac{\gamma _0^{\bar{m}+2}}{(1-jv)^{\bar{m}+1}}
e^{j2n \tan ^{-1} v} \rho ^{\bar{m}}
L_{n,\bar{m}} \left( \frac{\gamma _0^2 \rho ^2}{1+v^2} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
v = \frac{\gamma _0^2 z}{k}
\end{gather}