【例題1】鏡面上の曲率半径$\bar{R}$，鏡面の開口径$D$，エッジレベル$L_e$[dB]， 1次ホーンの軸長$L$が与えられた場合，鏡面上のビーム半径 $\omega$， ホーンの開口面におけるビーム半径 $\omega_h$， ホーン開口径 $D_h$， ホーン開口面からビームウエストまでの長さ $z_h$， ホーン開口面から位相中心までの長さ $L_c$， ホーン開口面から鏡面までの距離 $d$を求めよ．
略解 鏡面上のビーム半径 $\omega$，ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$ は， \begin{align} &\omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}} \\ &v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}} \\ &\omega_0 = \frac{\omega}{\sqrt{1+v^2}} \end{align} ホーン開口径 $D_h$，ホーンの開口面におけるビーム半径 $\omega_h$ は， \begin{align} &D_h = 2 \omega_h \Omega_0 \\ &\omega_h = \omega_0 \sqrt{1+v_h^2} \\ &v_h = \frac{k \omega_h^2}{2 R_h} \\ &R_h = L \end{align} これより，$v_h$を消去すると， \begin{eqnarray} \omega_h^2 &=& \omega_0^2 (1+v_h^2) \nonumber \\ &=& \omega_0^2 \left\{ 1+ \left( \frac{k \omega_h^2}{2 R_h} \right)^2 \right\} \end{eqnarray} これを解けば， \begin{align} &\omega_h^4 -2 \frac{2 R_h^2}{k^2 \omega_0^2} \omega_h^2 + \frac{4R_h^2}{k^2} = 0 \\ &\therefore \omega_h^2 = \frac{2 R_h^2}{k^2 \omega_0^2} \left( 1 \pm \sqrt{1-\frac{k^2 \omega_0^4}{R_h^2}} \right) \label{eq:omegah2pm} \end{align} ここで，$\omega_h^2$は実数ゆえ，$R_h = L$より， \begin{gather} 1-\frac{k^2 \omega_0^4}{L^2} \ge 0 \end{gather} 軸長$L$は正ゆえ， \begin{gather} L \ge k \omega_0^2 \end{gather} 軸長の最小値$L_{min}$は， \begin{gather} L_{min} = k \omega_0^2 \end{gather} これは最適1次ホーンの軸長と一致する． これより軸長が長い場合には，同じ軸長の解が2つ存在し， 式\eqref{eq:omegah2pm}のプラス符号のときホーン開口径が小さく， 逆にマイナス符号のときホーン開口径が大きくなる．
【例題2】ホーンアンテナの開口径 $D_h$，軸長 $L$，鏡面の開口径 $D$ が与えられている場合，鏡面上の波面の曲率半径 $\bar{R}$，ホーン開口面から鏡面までの距離 $d$，ホーン開口面から位相中心までの距離 $L_c$，鏡面の焦点距離 $f_r$を求めよ．
略解 ホーン開口面での波面の曲率半径 $R_h$ およびビーム半径 $\omega_h$ は， \begin{align} &R_h = L \\ &\omega_h = \frac{D_h}{2 \Omega_0} \end{align} ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$，ホーン開口面からビームウエストまでの距離 $z_h$は， \begin{eqnarray} \omega_0 &=& \frac{\omega_h}{\sqrt{1+v_h^2}} \\ z_h &=& \frac{k \omega_0^2}{2} v_h \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} v_h = \frac{k \omega_h^2}{2 R_h} \end{gather} 鏡面上のビーム半径 $\omega$ は， \begin{gather} \omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}} \end{gather} ここで， \begin{align} &\omega_0 = \frac{\omega}{\sqrt{1+v^2}} \\ &\therefore v = \sqrt{\left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)^2-1} \end{align} ホーン開口面から鏡面までの距離 $d$ は， \begin{align} &v = \frac{2}{k \omega_0^2} (z_h+d) \\ &\therefore d = \frac{k \omega_0^2}{2} v - z_h \end{align} また，鏡面上の波面の曲率半径 $\bar{R}$，鏡面の焦点距離 $f_r$は， \begin{align} &v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}} \\ &\therefore \bar{R} = \frac{k \omega^2}{2v} = f_r \end{align} ホーン開口面から位相中心までの距離 $L_c$ は， \begin{gather} L_c = \bar{R} - d \end{gather}
【例題3】鏡面上の波面の曲率半径 $\bar{R}$，鏡面の開口径 $D$，エッジレベル $L_e$[dB]， ホーン開口面から鏡面までの距離 $d$ が与えられた場合，鏡面上のビーム半径 $\omega$， ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$， ホーン開口面から位相中心までの長さ $L_c$ およびビームウエストまでの長さ $z_h$， ホーン開口面におけるビーム半径 $\omega_h$， ホーンの開口径 $D_h$ および軸長 $L$ を求めよ．
略解 鏡面上およびビームウエストでのビーム半径 $\omega$，$\omega_0$，位相中心までの長さ $L_c$ は， \begin{align} &\omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}} \\ &v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}} \\ &\omega_0 = \frac{\omega}{\sqrt{1+v^2}} \\ &L_c = \bar{R}-d \end{align} ホーン開口面からビームウエストまでの長さ $z_h$ は， \begin{align} &v = \frac{2}{k \omega_0^2} (z_h +d) \nonumber \\ &\therefore z_h = \frac{k \omega_0^2}{2} v -d \end{align} ホーンの開口面におけるビーム半径 $\omega_h$，ホーン開口径 $D_h$ および軸長 $R_h$ は， \begin{eqnarray} \omega_h &=& \omega_0 \sqrt{1+v_h^2} \\ D_h &=& 2 \omega_h \Omega_0 \\ v_h &=& \frac{2}{k \omega_0^2} z_h \\ R_h &=& \frac{k \omega_h^2}{2 v_h} = L \end{eqnarray}
【例題4】ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$，開き角半値を $\theta$として， $\alpha = \tan \theta = \frac{D_h}{2L}$が与えられた場合， ホーンの開口径 $D_h$， ホーンの開口面におけるビーム半径 $\omega_h$， ホーンの軸長 $L(= R_h)$を求めよ．
略解 ホーンの開口面におけるビーム半径$\omega_h$は， \begin{gather} \omega_h = \frac{D_h}{2 \Omega_0} = \frac{2 \alpha L}{2 \Omega_0} = \frac{\alpha L}{\Omega_0} \end{gather} 一方，ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$ より， \begin{gather} \omega_h^2 = \omega_0^2 (1+v_h^2) \end{gather} \begin{eqnarray} \left( \frac{\alpha L}{\Omega_0} \right) ^2 &=& \omega_0^2 \left\{ 1+\left( \frac{k \omega_h^2}{2L} \right)^2 \right\} \nonumber \\ &=& \omega_0^2 + \omega_0^2 \left( \frac{k}{2L} \frac{\alpha^2 L^2}{\Omega_0^2} \right)^2 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \left\{ \left( \frac{\alpha}{\Omega_0} \right)^2 - \omega_0^2 \left( \frac{k \alpha^2}{2 \Omega_0^2} \right)^2 \right\} L^2 &=& \left( \frac{\alpha}{\Omega_0} \right)^2 \left\{ 1- \left( \frac{\omega_0 k \alpha}{2 \Omega_0} \right)^2 \right\} L^2 \nonumber \\ &=& \omega_0^2 \end{eqnarray} これより， \begin{gather} L^2 = \left( \frac{\Omega_0 \omega_0}{\alpha} \right)^2 \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{\omega_0 k \alpha}{2 \Omega_0} \right)^2} \end{gather} よって，ホーンの軸長 $L(= R_h)$ は， \begin{gather} L = \frac{\Omega_0 \omega_0}{\alpha \sqrt{1-\left( \frac{\omega_0 k \alpha}{2 \Omega_0} \right)^2}} \end{gather} したがって，ホーン開口径 $D_h$，ビーム半径 $\omega_h$ は， \begin{eqnarray} D_h &=& 2 \omega_h \Omega_0 \\ \omega_h &=& \frac{\alpha L}{\Omega_0} \end{eqnarray} このとき， \begin{gather} 1-\left( \frac{\omega_0 k \alpha}{2 \Omega_0} \right)^2 \gt 0 \end{gather} よって，開き角の上限は次式によって決まる． \begin{gather} \alpha \lt \frac{2 \Omega_0}{\omega_0 k} \end{gather} 開き角半値 $\theta$ は任意に与えることはできない（物理的にこれ以上開き角が大きくなることはない）． また，ホーンの軸長を最小にする条件 \begin{gather} \frac{dL}{d\alpha} =0 \end{gather} より次式が得られる． \begin{gather} 1-2c \alpha^2 = 0 \end{gather} ここで， \begin{gather} c = \left( \frac{\omega_0 k}{2 \Omega_0} \right)^2 \end{gather} よって， \begin{gather} \alpha = \sqrt{\frac{1}{2c}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{2 \Omega_0}{\omega_0 k} = \frac{\sqrt{2} \Omega_0}{\omega_0 k} \end{gather} このとき，最小となる軸長$L_{min}$は， \begin{gather} L_{min} = \frac{\sqrt{2} \Omega_0 \omega_0}{\alpha} = \omega_0^2 k = \frac{2\pi \omega_0^2}{\lambda} \end{gather} これは，最適ホーンであり，$v_h=1$ ゆえ， \begin{gather} \omega_0 = \frac{\omega_h}{\sqrt{1+v_h^2}} = \frac{\omega_h}{\sqrt{2}} \end{gather} よって， \begin{gather} L_{min} = \frac{\pi \omega_h^2}{\lambda} \end{gather} これは先に求めた結果と一致する．【例題5】鏡面上の波面の曲率半径 $\bar{R}$，鏡面の開口径 $D$，エッジレベル $L_e$[dB]， 開口面の位相遅れおよびフレネル領域で生じる位相項によって定義した $t$ パラメータ \begin{gather} t_d = \frac{D_h^2}{8 \lambda} \left( \frac{1}{R_h} + \frac{1}{d} \right) \label{eq:t_para} \end{gather} を与えて1次ホーンの形状，鏡面からの距離を設計せよ．
略解 まず，鏡面上のビーム半径 $\omega$，ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$ は， \begin{align} &\omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}} \\ &v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}} \\ &\omega_0 = \frac{\omega}{\sqrt{1+v^2}} \end{align} 式\eqref{eq:t_para}を変形すると $d$ は， \begin{align} &\frac{8 \lambda}{D_h^2} t_d = \frac{1}{R_h} + \frac{1}{d} \nonumber \\ &\frac{1}{d} = \frac{8 \lambda}{D_h^2} t_d - \frac{1}{R_h} = \frac{8 \lambda t_d R_h - D_h^2}{D_h^2 R_h} \nonumber \\ &d = \frac{D_h^2 R_h}{8 \lambda t_d R_h - D_h^2} \end{align} ここで， \begin{gather} D_h = 2\Omega_0 \omega_h, \ \ \ \ \ R_h = \frac{\pi \omega_h^2}{v_h \lambda} \end{gather} これより，$D_h$，$R_h$ を消去すると， \begin{eqnarray} d &=& \frac{(2\Omega_0 \omega_h)^2 \frac{\pi \omega_h^2}{v_h \lambda}}{ 8 \lambda t_d \frac{\pi \omega_h^2}{v_h \lambda} - (2\Omega_0 \omega_h)^2} \nonumber \\ &=& \frac{(\Omega_0 \omega_h)^2 \frac{\pi}{v_h \lambda}}{ 2 t_d \frac{\pi}{v_h} - \Omega_0^2} \nonumber \\ &=& \frac{\pi \omega_h^2}{(\frac{2\pi t_d}{\Omega_0^2} - v_h) \lambda} \end{eqnarray} また， \begin{eqnarray} \omega_h^2 &=& \omega_0^2 (1+v_h^2) \nonumber \\ &=& \frac{\omega^2}{1+v^2} (1+v_h^2) \end{eqnarray} より，$\omega_h$ を消去して， \begin{eqnarray} d &=& \frac{\pi \omega^2}{(\frac{2\pi t_d}{\Omega_0^2} - v_h) \lambda} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R}}{\frac{2\pi t_d}{\Omega_0^2} - v_h} \cdot \frac{\pi \omega^2}{\lambda \bar{R}} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R} v}{\frac{2\pi t_d}{\Omega_0^2} - v_h} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} \end{eqnarray} いま，$v_{h}' \equiv \frac{2\pi t_d}{\Omega_0^2}$とおくと， \begin{gather} d = \frac{\bar{R} v}{v_{h}' - v_h} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} \label{eq:dRv} \end{gather} また， \begin{eqnarray} v_h &=& v - \frac{d}{\bar{R}} \left( v+\frac{1}{v} \right) \\ d &=& \frac{\bar{R}}{v+\frac{1}{v}}(v-v_h) \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R}v}{v^2+1}(v-v_h) \end{eqnarray} これより，$d$ を消去すると， \begin{align} &\frac{\bar{R} v}{v_{h}' - v_h} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} = \frac{\bar{R}v}{v^2+1}(v-v_h) \nonumber \\ &1 + v_h^2 = (v-v_h)(v_h'-v_h) = v v_h' - v v_h - v_h v_h' + v_h^2 \nonumber \\ &1 = v v_h' - v v_h - v_h v_h' \nonumber \\ &v_h (v+v_h') = v v_h' -1 \nonumber \\ &v_h = \frac{v v_h'-1}{v+v_h'} \end{align} ここで， \begin{eqnarray} \frac{1+v_h^2}{1+v^2} &=& \frac{1+\left( \frac{v v_h'-1}{v+v_h'} \right)^2}{1+v^2} \nonumber \\ &=& \frac{(v+v_h')^2+(vv_h'-1)^2}{(v+v_h')^2(1+v^2)} \nonumber \\ &=& \frac{(1+v^2)(1+(v_h')^2)}{(v+v_h')^2(1+v^2)} \nonumber \\ &=& \frac{1+(v_h')^2}{(v+v_h')^2} \end{eqnarray} より， \begin{gather} \omega_h = \omega_0 \sqrt{1+v_h^2} = \omega \sqrt{\frac{1+v_h^2}{1+v^2}} = \omega \frac{\sqrt{1+(v_h')^2}}{v+v_h'} \end{gather} また，式(\ref{eq:dRv})の $v_h$ を消去して，$d$ は次のようになる． \begin{eqnarray} d &=& \frac{\bar{R} v}{v_{h}' - v_h} \cdot \frac{1+v_h^2}{1+v^2} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R} v}{v_{h}' - \frac{v v_h'-1}{v+v_h'}} \cdot \frac{1+\left( \frac{v v_h'-1}{v+v_h'} \right)^2}{1+v^2} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R} v}{(v_h')^2+1} \cdot \frac{(1+v^2)(1+(v_h')^2)}{(v+v_h')(1+v^2)} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R} v}{v+v_h'} \end{eqnarray} さらに，$R_h$ は， \begin{eqnarray} R_h &=& \frac{\pi \omega_h^2}{v_h \lambda} \nonumber \\ &=& \frac{v+v_h'}{v v_h'-1} \cdot \frac{\pi \omega^2}{\lambda} \cdot \frac{1+(v_h')^2}{(v+v_h')^2} \nonumber \\ &=& \frac{\bar{R} v}{v v_h'-1} \cdot \frac{1+(v_h')^2}{v+v_h'} \end{eqnarray} ここで， \begin{align} &\omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}} \\ &v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}} \\ &L_c = \bar{R}-d \end{align} ただし，$D$ は鏡面の開口径，$\bar{R}$ は波面の曲率半径（焦点距離$f$），$L_e$ [dB]はエッジレベルを示す．