6.9 ビームモードのホーンアンテナへの応用
1次ホーンおよび鏡面上のビームモードのパラメータ
反射鏡アンテナの一次放射器として用いるホーンアンテナ（開口径$D_h$，長さ$L=R_h$）
の設計に対して，近傍界が考慮できるビームモードは非常に有用である．
ホーンの開口面分布をビームモード展開すればビーム半径
$\omega_h$
および波面の曲率半径
$R_h$
が求められ，開口面からビームウエストまでの距離
$z_h$
およびビームウエストにおけるビーム半径
$\omega _0$
が決まる．
ホーンに対するビームモード・パラメータ
基本ビームモード
基本ビームモード $m=-1$，$n=0$ のビームモード関数 $\bar{e}_{-1,0}$ は，
\begin{eqnarray}
\bar{e}_{-1,0}
&=& \frac{2}{\omega} L_{0,0} \left( 2 \frac{\rho^2}{\omega^2} \right)
e^{j(\tan ^{-1} v - \frac{k}{\bar{R}} \rho^2)}
\nonumber \\
&=& \frac{2}{\omega} e^{-\left( \frac{\rho}{\omega} \right)^2}
e^{j(\tan ^{-1} v - \frac{k}{\bar{R}} \rho^2)}
\end{eqnarray}
ビームウエスト位置は $z=0$ であり，
$\omega \big|_{z=0} = \omega_0$，
$\bar{R} \big|_{z=0} \to \infty$，
$v \big|_{z=0} = 0$ より，ビームウエストでのビームモード関数
\begin{gather}
\bar{e}_{-1,0} \Big|_{z=0}
= \frac{2}{\omega_0} e^{-\left( \frac{\rho}{\omega_0} \right)^2}
\end{gather}
ピーク値で規格化すると，
\begin{gather}
\frac{\bar{e}_{-1,0}}{\bar{e}_{-1,0} \big|_{z=0, \rho=0}}
= \frac{\omega_0}{\omega} e^{-\left( \frac{\rho}{\omega} \right)^2}
e^{j(\tan ^{-1} v - \frac{k}{\bar{R}} \rho^2)} \equiv \tilde{e}_{-1,0}
\\
\big| \tilde{e}_{-1,0} \big|^2
= \left( \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2 e^{-2\left( \frac{\rho}{\omega} \right)^2}
= \frac{1}{1+v^2} e^{-2\left( \frac{\rho}{\omega} \right)^2}
\end{gather}
鏡面上のビーム半径
基本ビームモードを開口径 $D$ の反射鏡に照射したときのエッジレベルを $-L_e$ [dB]，
このときのビーム半径を $\omega$ とすると，
\begin{align}
&10^{\frac{-L_e}{20}} = e^{-(\frac{D}{2\omega})^2}
\\
&\log_{10} 10^{\frac{-L_e}{20}} = \log_{10} e^{-(\frac{D}{2\omega})^2}
\\
&\frac{-L_e}{20} = -\left( \frac{D}{2\omega} \right)^2 \log_{10} e
\\
&\omega^2 = \left( \frac{D}{2} \right)^2 \frac{20 \log_{10} e}{L_e}
\simeq \left( \frac{D}{2} \right)^2 \frac{8.69}{L_e}
\end{align}
よって，ビーム半径 $\omega$ は，
\begin{gather}
\omega = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{8.69}{L_e}}
\end{gather}
ホーンアンテナ
ホーンの開口径 $D_h$，ホーン開口面での波面の曲率半径 $R_h$は，ホーン開口面でのビーム半径を $\omega_h$，
開口面からビームウエストまでの距離を$z_h$とすると
（$R_h \geq z_h$より，ホーンのビームウエスト位置はホーン内部にある），
\begin{eqnarray}
D_h &=& 2 \omega_h \Omega_0
\\
R_h &=& z_h \left( 1+ \frac{1}{v_h^2} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\omega_h &=& \omega_0 \sqrt{1+v_h^2}
\\
v_h &=& \frac{2}{k \omega_0^2} z_h
\end{eqnarray}
また，$\omega _0$はビームウエストにおけるビーム半径を示し，
\begin{eqnarray}
\omega _0 &=& \frac{\omega}{\sqrt{1+v^2}}
\\
v &=& \frac{2}{k \omega_0^2} z
\end{eqnarray}
ただし，$\omega$ は鏡面上のビーム半径，
$z$ は鏡面からビームウエストまでの距離を示す．反射鏡に照射されるビームモードの波面の曲率半径を $\bar{R}$ とすると，
\begin{gather}
z = z_h + d = \frac{\bar{R}}{1+\frac{1}{v^2}}
\end{gather}
パラメータ $v$ を変形すると，
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{2}{k \omega_0^2} z
\nonumber \\
&=& \frac{2}{k} \cdot \frac{1+v^2}{\omega^2} \cdot \frac{\bar{R}}{1+\frac{1}{v^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{2\bar{R}}{k \omega^2} \cdot \frac{(1+v^2)v^2}{1+v^2}
\nonumber \\
&=& \frac{2\bar{R}}{k \omega^2} v^2
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{k \omega^2}{2\bar{R}}
= \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\omega^2}{2 \bar{R}}
\nonumber \\
&=& \frac{\pi \omega^2}{\lambda \bar{R}}
\end{eqnarray}
ただし，反射鏡の焦点距離は $f = \bar{R}$ とする．
ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$ を消去すると，ホーンの開口径 $D_h$ は，
\begin{eqnarray}
D_h &=& 2 \Omega_0 \omega_0 \sqrt{1+v_h^2}
\nonumber \\
&=& 2 \Omega_0 \omega \sqrt{\frac{1+v_h^2}{1+v^2}}
\end{eqnarray}
また，ビームウエストから鏡面までの距離は $z_h +d$ ゆえ，
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{2}{k \omega_0^2} (z_h +d)
\nonumber \\
v_h &=& \frac{2}{k \omega_0^2} z_h
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
z_h + d = \frac{v}{v_h} z_h = \frac{\bar{R}}{1+\frac{1}{v^2}}
= \bar{R} \frac{v^2}{v^2+1}
\end{gather}
ホーンの軸長（電気長）$L$は，ホーン開口面での波面の曲率半径$R_h$に等しく，
鏡面での波面の曲率中心を鏡面の焦点と一致させて，焦点距離$f_r=\bar{R}$より，
\begin{eqnarray}
L &=& R_h = z_h \left( 1+ \frac{1}{v_h^2} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{v_h}{v} \cdot \bar{R} \frac{v^2}{v^2+1} \cdot \frac{v_h^2+1}{v_h^2}
\nonumber \\
&=& \frac{f_r v}{1+v^2} \frac{1+v_h^2}{v_h}
\label{eq:LRhzh}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
z_h = \frac{v_h}{v-v_h} d
\label{eq:zhvhvvhd}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
z_h + d &=& \frac{v_h}{v-v_h} d + d
\nonumber \\
&=& \frac{v}{v-v_h} d
\nonumber \\
&=& \frac{\bar{R}}{1+\frac{1}{v^2}}
\nonumber \\
v-v_h &=& vd \frac{1+\frac{1}{v^2}}{\bar{R}}
\nonumber \\
&=& \frac{d}{\bar{R}} \left( v+\frac{1}{v} \right)
\nonumber \\
v_h &=& v - \frac{d}{\bar{R}} \left( v+\frac{1}{v} \right)
\nonumber \\
&=& v - \frac{d}{f_r} \left( v+\frac{1}{v} \right)
\label{eq:vhvdR}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
v &=& \frac{k\omega^2}{2\bar{R}}
= \frac{2\pi}{\lambda} \frac{\omega^2}{2 \bar{R}}
\nonumber \\
&=& \frac{\pi \omega^2}{\lambda \bar{R}}
= \frac{\pi \omega^2}{\lambda f_r}
\end{eqnarray}
ホーンアンテナの位相中心
開口面から距離$d$離れた観測点におけるビームモードの波面の曲率半径
$\bar{R}$
は，ビームウエストから観測点までの距離
$z_h + d$
を用いて次のようになる．
\begin{gather}
\bar{R} = \left( z_h + d \right) \left( 1+ \frac{1}{v^2} \right)
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
v = \frac{2}{k \omega _0^2} (z_h + d)
\end{gather}
ホーンアンテナの位相中心は鏡面上の波面の曲率中心と一致させるため，
ホーン開口面から位相中心（つまり波面の曲率中心）までの距離 $L_c$ は，
\begin{eqnarray}
L_c &=& \bar{R} - d
\nonumber \\
&=& \left( z_h + d \right) \left( 1+ \frac{1}{v^2} \right) -d
\nonumber \\
&=& \left( z_h + d \right) \left( 1+ \frac{1}{\left\{ \frac{2}{k \omega _0^2} (z_h + d) \right\} ^2} \right) -d
\nonumber \\
&=& \left( z_h + d \right) \left\{ 1+ \frac{k^2 \omega_0^4}{4(z_h + d)^2} \right\} -d
\nonumber \\
&=& \left( z_h + d \right) \frac{4(z_h + d)^2 + k^2 \omega_0^4}{4(z_h + d)^2} -d
\nonumber \\
&=& \frac{4(z_h + d)^2 + k^2 \omega_0^4 - 4(z_h + d)d}{4(z_h + d)}
\end{eqnarray}
さらに変形するため，$k^2 \omega_0^4$ について計算する．まず，
\begin{align}
&\omega _0 = \frac{\omega_h}{\sqrt{1+v_h ^2}}
\\
&v_h = \frac{k \omega_h^2}{2R_h}
\end{align}
より，$\omega_h$を消去すると，
\begin{eqnarray}
v_h &=& \frac{k \omega_0^2(1+v_h^2)}{2 R_h}
\\
k \omega_0^2 &=& \frac{2 R_h}{1+ v_h^2} v_h
= \frac{2R_h}{1 + \frac{1}{v_h^2}} \cdot \frac{1}{v_h}
\nonumber \\
&=& \frac{2R_h}{v_h} \frac{z_h}{R_h}
\nonumber \\
&=& \frac{2 z_h}{v_h}
\\
z_h &=& \frac{R_h}{1+\frac{1}{v_h^2}}
\\
k^2 \omega_0^4 &=& \frac{4 z_h^2}{v_h^2}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&1+\frac{1}{v_h^2} = \frac{R_h}{z_h}
\\
&v_h^2 = \frac{1}{\frac{R_h}{z_h}-1} = \frac{z_h}{R_h - z_h}
\end{align}
これより，
\begin{gather}
k^2 \omega_0^4 = 4 z_h^2 \frac{R_h - z_h}{z_h} = 4 z_h (R_h - z_h)
\end{gather}
これを用いると，
\begin{eqnarray}
L_c &=& \frac{4(z_h^2 + 2 z_h d + d^2) + 4 z_h (R_h - z_h) - 4(z_h d + d^2)}{4(z_h + d)}
\nonumber \\
&=& \frac{z_h d + z_h R_h}{z_h + d}
\nonumber \\
&=& z_h \frac{R_h+d}{z_h+d}
\end{eqnarray}
特別な場合として，
- $d=0$（開口面）とおいて $L_c$ を求めると，
開口面での波面の曲率半径 $L_c = R_h$ が得られる．
- $d=\infty$（観測点が無限遠方）とおけば，
遠方放射パターンの位相中心 $L_c = z_h$ が得られる．
- $t=0$，$d=\infty$とおけば，円筒導波管開口による遠方放射パターンの位相中心が得られ，
$L_c = 0$ となって位相中心が開口面上にあることがわかる．
軸長が最小となる最適1次ホーン
1次ホーンの軸長（電気長）$L$，すなわちホーン開口面の波面の曲率半径
$R_h$ は，式\eqref{eq:LRhzh}に示すように $v_h$ の関数であり，
極値の条件は，
\begin{gather}
\frac{d R_h}{d v_h} = 0
\end{gather}
つまり，
\begin{eqnarray}
\frac{d R_h}{d v_h}
&=& \frac{\bar{R}v}{1+v^2} \cdot \frac{d}{d v_h} \left( \frac{1+v_h^2}{v_h} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{\bar{R}v}{1+v^2} \frac{2v_h^2 - (1+v_h^2)}{v_h^2}
\nonumber \\
&=& \frac{\bar{R}v}{1+v^2} \frac{v_h^2-1}{v_h^2} = 0
\end{eqnarray}
したがって，$v_h^2 = 1$．
開き角が正のホーンを考えれば，$v_h = 1$．このとき $R_h$ は最小となる．
これより，軸長最小の最適1次ホーンの開口径
$D_{h,min}$，軸長$R_{h,min}$ は，
\begin{eqnarray}
D_{h,min} &=& D_h \Big|_{v_h=1}
= 2 \Omega_0 \omega \sqrt{\frac{1+1}{1+v^2}}
\nonumber \\
&=& 2 \Omega_0 \omega \sqrt{\frac{2}{1+v^2}}
\\
R_{h,min} &=& R_h \Big|_{v_h=1}
= \frac{\bar{R}v}{1+v^2} \frac{1+1}{1}
\nonumber \\
&=& \frac{2\bar{R}v}{1+v^2}
\label{eq:Rhmin}
\end{eqnarray}
ホーン開口面における位相遅れの大きさを表すパラメータ $t$ は，
\begin{eqnarray}
t &=& \frac{D_h^2}{8 R_h \lambda}
= \frac{(2 \omega_h \Omega_0)^2}{8 R_h \lambda}
\nonumber \\
&=& \frac{\omega_h^2 \Omega_0^2}{2 R_h \lambda}
\nonumber \\
&=& \frac{\Omega_0^2 v_h}{2\pi}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
v_h = \frac{2\pi t}{\Omega_0^2}
\end{gather}
軸長が最小となる最適1次ホーンの $t$ パラメータは，
$v_h = 1$ より，
\begin{eqnarray}
t_{Rmin} &=& t \Big| _{v_h=1}
= \frac{\Omega_0^2}{2\pi} v_h \Big| _{v_h=1}
\nonumber \\
&=& \frac{\Omega_0^2}{2\pi}
\end{eqnarray}
ただし，$\Omega _0$ はモードによって決まる定数であり，基本ビームモード（ガウス分布）の電力が最大となる条件で
$\Omega _0$ を求めると$^\dagger$，
- コルゲートホーン（corrugated horn）の場合，$\Omega _0 = 1.554$
- TE$_{11}$モードの円すいホーン（conical horn）の場合，$\Omega _0 = 1.302$
このときの $t$ パラメータ$t_{Rmin}$は，
\begin{gather}
t_{Rmin} = \left\{
\begin{array}{ll}
0.384 & (\mbox{コルゲートモード}) \\
0.270 & (\mbox{TE}_{11}\mbox{モード}) \\
\end{array} \right.
\end{gather}
ビームウエストでのビーム半径，ホーン開口面からビームウエストまでの距離は，
\begin{align}
&\omega_0 \Big|_{v_h=1}
= \left. \frac{\omega_h}{\sqrt{1+v_h^2}} \right|_{v_h=1}
= \frac{\omega_h}{\sqrt{2}}
\\
&z_h \Big|_{v_h=1}
= \left. \frac{R_{h,min}}{1+\frac{1}{v_h^2}} \right|_{v_h=1}
= \frac{R_{h,min}}{2}
\end{align}
式\eqref{eq:zhvhvvhd}より，ホーン開口面から鏡面までの距離は，
\begin{eqnarray}
d \Big|_{v_h=1}
&=& \left. \frac{v-v_h}{v_h} z_h \right|_{v_h=1}
\nonumber \\
&=& (v-1) z_h \Big|_{v_h=1}
\nonumber \\
&=& (v-1) \frac{R_{h,min}}{2}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
v = \frac{k \omega^2}{2 \bar{R}}
\end{gather}
ホーン開口面から位相中心までの距離は，
\begin{eqnarray}
L_c \Big|_{v_h=1}
&=& \left. z_h \frac{R_{h,min} + d}{z_h +d} \right|_{v_h=1}
\nonumber \\
&=& \frac{1+v}{v} \frac{R_{h,min}}{2}
\end{eqnarray}
このとき，ホーン開口面でのビーム半径$\omega_h$は，
\begin{gather}
\omega_h = \frac{D_{h,min}}{2 \Omega_0}
\end{gather}
軸長が最小となる最適1次ホーンの例および電力分布
最適円錐ホーン（ホーン単体の軸長最小の条件）
ホーンアンテナ単体で最適円錐ホーンの条件を求めよう．
\begin{eqnarray}
v_h &=& \frac{\pi \omega_h^2}{\lambda R_h}
\nonumber \\
&=& \frac{\pi \omega_0^2}{\lambda R_h} (1+v_h^2)
\\
\omega_0^2 &=& \frac{\lambda R_h}{\pi} \frac{v_h}{1+v_h^2}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\omega_0 = \sqrt{\frac{\lambda R_h}{\pi} \frac{v_h}{1+v_h^2}}
\end{gather}
軸長 $R_h$ が一定のとき，最大利得を得る条件を求めればよい．これは，ビームウエストでのビーム半径 $\omega_0$ が最大となるときで，
\begin{gather}
\frac{d\omega_0}{dv_h} = 0
\end{gather}
よって，
\begin{align}
&\frac{d\omega_0}{dv_h}
= \sqrt{\frac{\lambda R_h}{\pi}} \cdot \frac{d}{dv_h} \left( \frac{v_h}{1+v_h^2} \right) ^{\frac{1}{2}} = 0
\nonumber \\
&\therefore
\left( \frac{1+v_h^2}{v_h} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{1-v_h^2}{(1+v_h^2)^2} = 0
\end{align}
これより，$v_h = 1$ のとき，ビーム半径$\omega_0$が最大となる．これは軸長が最小となる最適1次ホーンと同じ条件である．
いま，ホーンの開口径 $D_h$ が与えられれば，ホーン開口面でのビーム半径 $\omega_h$ は，
\begin{gather}
\omega_h = \frac{D_h}{2 \Omega_0}
\end{gather}
最適円錐ホーンの条件$v_h =1$ より，ホーン開口面での波面の曲率半径$R_h$は，
\begin{align}
&v_h = \frac{\pi \omega_h^2}{\lambda R_h} =1
\\
&\therefore R_h = \frac{\pi \omega_h^2}{\lambda} = L
\end{align}
なお，
開口面法によって求めた最適円錐ホーンの$ t$ パラメータの値は，
\begin{gather}
t = \left\{
\begin{array}{ll}
0.49 & (\mbox{コルゲートモード}) \\
0.39 & (\mbox{TE}_{11}\mbox{モード}) \\
\end{array} \right.
\end{gather}
両者の差異は，高次のビームモードによる影響などによるものである$^\dagger$．
$\dagger$ 蛭子井貴，片木孝至，"一次放射器としての最適円錐ホーン," 信学全大，746（1984）