6.8 単一ビームモードの放射パターン
単一ビームモードの直角座標成分は，
\begin{gather}
\VEC{e}^{(R)}_{m,n}
= e_{xm,n} \VEC{a}_x + e_{ym,n} \VEC{a}_y
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
e_{xm,n} = e_{m,n} \cos \big\{ (m+1) \phi + \alpha _m \big\}
\\
e_{ym,n} = e_{m,n} \sin \big\{ (m+1) \phi + \alpha _m \big\}
\end{gather}
球座標系$(r, \theta , \varphi)$で表した単一ビームモードの放射電界$\VEC{E}_s$は，
$r >0$ ，$0 \leq \theta \leq \pi/2 $において，次のように近似できる（導出省略）．
\begin{eqnarray}
\VEC{e}^{(S)}_{m,n}
&\simeq& \frac{s}{(\cos \theta )^{3/2}} e^{jk \frac{\rho ^2}{2s}}
( e_{xm,n} \VEC{a}_\xi + e_{ym,n} \VEC{a}_\eta )
\nonumber \\
&=& \frac{1}{(\cos \theta )^{3/2}} \cdot
\frac{2s}{\omega } \cdot F_{l,n}(t)
\cdot e^{j\{ (2n+l+1) \tan ^{-1} v \} }
\nonumber \\
&&\cdot e^{j \frac{k}{2} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\bar{R}} \right) \rho ^2 }
\Big\{ \cos \left( m \phi + \alpha _m \right) \VEC{a}_\theta
+ \sin \left( m \phi + \alpha _m \right) \VEC{a}_\varphi \Big\}
\end{eqnarray}
このとき，
$\varphi = \phi$より，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\xi &=& \cos \phi \VEC{a}_\theta - \sin \phi \VEC{a}_\varphi
\\
\VEC{a}_\eta &=& -\sin \phi \VEC{a}_\theta + \cos \phi \VEC{a}_\varphi
\end{eqnarray}
このとき，球座標系$(r, \theta , \varphi)$の単位ベクトル
$\VEC{a}_\theta $，$\VEC{a}_\varphi$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\theta &=& \cos \theta ( \cos \varphi \VEC{a}_x + \sin \varphi \VEC{a}_y ) -\sin \theta \VEC{a}_x
\\
\VEC{a}_\varphi &=& -\sin \varphi \VEC{a}_x + \cos \varphi \VEC{a}_y = \VEC{a}_\phi
\end{eqnarray}
無限遠方での放射電界を求めるためには，$r \to \infty$とすればよい．いま，次の図のように$s_0$，$s$を定義すると，
\begin{align}
&\tan \theta = \frac{\rho}{s}
\\
&z = s_0 + s
\end{align}
球座標系の定義球座標系の定義
これより，ビーム半径 $\omega$ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\omega &=& \omega _0 \sqrt{1 + v^2 }
\nonumber \\
&=& \omega _0 \sqrt{1 + \left( \frac{2z}{k\omega _0^2} \right) ^2 }
\nonumber \\
&=& \sqrt{ \omega _0^2 + \frac{4(s_0 + s )^2}{k^2 \omega _0^2} }
\end{eqnarray}
近軸のみに着目するなら，$s \to \infty$としても差し支えない．そこで，まず
$t (= \rho / \omega )$ について
$s \to \infty$ とすると，
\begin{eqnarray}
\lim _{s \to \infty} t
&=& \lim _{s \to \infty} \frac{\rho}{\omega}
\nonumber \\
&=& \lim _{s \to \infty}
\frac{s \tan \theta}{\sqrt{ \omega _0^2 + \frac{2^2 (s_0 + s )^2}{k^2 \omega _0^2} }}
\nonumber \\
&=& \lim _{s \to \infty}
\frac{\tan \theta}{\sqrt{ \left( \frac{\omega _0}{s} \right) ^2
+ \frac{2^2 \left( \frac{s_0}{s} + 1 \right) ^2}{k^2 \omega _0^2} }}
\nonumber \\
&=& \frac{\tan \theta }{\sqrt{\frac{2^2}{k^2 \omega _0^2}}}
\nonumber \\
&=& \frac{k \omega _0}{2} \tan \theta
\end{eqnarray}
同様にして，
\begin{eqnarray}
\lim _{s \to \infty} \frac{2s}{\omega }
&=& \lim _{s \to \infty}
\frac{2s}{\sqrt{ \omega _0^2 + \frac{2^2 (s_0 + s )^2}{k^2 \omega _0^2} }}
\nonumber \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\frac{2^2}{k^2 \omega _0^2}}}
\nonumber \\
&=& k \omega _0
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\lim _{s \to \infty} v
&=& \lim _{s \to \infty} \frac{2z}{k \omega _0^2}
\nonumber \\
&=& \lim _{s \to \infty} \frac{2(s_0 +s)}{k \omega _0^2} \to \infty
\end{eqnarray}
より次のようになる．
\begin{gather}
\lim _{s \to \infty} \tan ^{-1} v = \frac{\pi}{2}
\end{gather}
一方，波面の曲率半径$\bar{R}$は，
\begin{eqnarray}
\bar{R}
&=& z \left( 1+\frac{1}{v^2} \right)
\nonumber \\
&=& z \left\{ 1+ \left( \frac{k\omega _0^2}{2z} \right) ^2 \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{ 4z^2 + k^2 \omega _0^4}{4z}
\nonumber \\
&=& \frac{ 4(s_0 +s)^2 + k^2 \omega _0 ^4}{4(s_0 +s)}
\end{eqnarray}
となるので，
\begin{eqnarray}
\lim _{s \to \infty} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\bar{R}} \right) \rho ^2
&=& \lim _{s \to \infty} \left\{ \frac{1}{s} - \frac{4(s_0 +s)}{ 4(s_0 +s)^2 + k^2 \omega _0 ^4}
\right\} s^2 \tan ^2 \theta
\nonumber \\
&=& \lim _{s \to \infty} \frac{(4s_0s+k^2\omega _0^4)s^2}{s\{ 4(s_0+s)^2 + k^2\omega _0^4 \}}
\tan ^2 \theta
\nonumber \\
&=& \lim _{s \to \infty} \frac{s_0+\frac{k^2\omega _0^4}{4s}}{
(\frac{s_0}{s}+1)^2 + \frac{k^2\omega _0^4}{4s^2} }
\tan ^2 \theta
\nonumber \\
&=& s_0 \tan ^2 \theta
\end{eqnarray}
よって，無限遠方の放射電界は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\lim _{s \to \infty} \VEC{e}_{m,n}^{(S)}
&=& \frac{k \omega _0}{(\cos \theta )^{3/2}} \cdot F_{l,n}(t)
\cdot e^{j(2n+l+1) \frac{\pi}{2} }
\cdot e^{j \frac{k}{2} s_0 \tan ^2 \theta }
\nonumber \\
&&\cdot \Big\{ \cos \left( m \phi + \alpha _m \right) \VEC{a}_\theta
+ \sin \left( m \phi + \alpha _m \right) \VEC{a}_\varphi \Big\}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&F_{l,n}(t) = \sqrt{ \frac{n!}{ (n+l)!} } \sqrt{2^l} t^l L_{n,l} ( 2 t^2 ) e^{-t^2}
\\
&l = | m+1 |
\\
&t = \frac{k \omega _0}{2} \tan \theta
\end{align}