5.1 円筒座標系におけるヘルムホルツ方程式
ベクトルポテンシャルを$\psi \VEC{a}_z$とおくと，次のスカラーヘルムホルツ方程式が得られる．
\begin{gather}
\nabla ^{2} \psi+k^{2} \psi=0
\end{gather}
これを，円筒座標系$(\rho , \phi , z)$によって表せば，
\begin{gather}
\frac{1}{\rho } \frac{\partial }{\partial \rho }
\left( \rho \frac{\partial \psi}{\partial \rho } \right)
+ \frac{1}{\rho ^{2}} \frac{\partial ^{2} \psi}{\partial \phi^{2}}
+ \frac{\partial ^{2} \psi}{\partial z^{2}} + k^{2} \psi = 0
\label{eq:Helmholtz_cylindrical}
\end{gather}
いま，$\psi$ を変数分離形によって
\begin{gather}
\psi = \mathcal{R}(\rho ) \Phi(\phi ) \mathcal{Z} (z)
\end{gather}
とおき，スカラーヘルムホルツ方程式に代入すると，次のようになる．
\begin{gather}
\Phi \mathcal{Z} \frac{1}{\rho } \frac{d}{d \rho }
\left( \rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho } \right)
+ \mathcal{R} \mathcal{Z} \frac{1}{\rho ^2 } \frac{d^2 \Phi }{d \phi ^2}
+ \mathcal{R} \Phi \frac{d^2 \mathcal{Z}}{d z^2}+ k^2 \mathcal{R} \Phi \mathcal{Z} = 0
\end{gather}
両辺を$\psi = \mathcal{R} \Phi \mathcal{Z}$ で割って，
\begin{gather}
\frac{1}{\rho \mathcal{R}} \frac{d}{d \rho } \left( \rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho } \right)
+ \frac{1}{\rho ^2 \Phi } \frac{d^2 \Phi }{d \phi ^2}
+ \frac{1}{\mathcal{Z}} \frac{d^2 \mathcal{Z}}{d z^2 }+ k^2 =0
\label{eq:Helmholtz_cylindrical_1}
\end{gather}
第3項は，$\rho $, $\phi $に対して独立，他の項は$z$に対して独立であるから，
\begin{gather}
\frac {1}{\mathcal{Z}} \frac {d^2 \mathcal{Z}}{d z^2} = -k^2_z
\end{gather}
とおける．これを代入して，
\begin{gather}
\frac{1}{\rho \mathcal{R}} \frac{d}{d \rho } \left( \rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho } \right)
+\frac{1}{\rho ^2 \Phi} \frac{d^2 \Phi}{d \phi ^2}- k^2_z+ k^2 = 0
\end{gather}
両辺に$\rho ^2$を乗じて，
\begin{gather}
\frac{\rho }{\mathcal{R}} \frac{d}{d \rho } \left( \rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho } \right)
+\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d \phi^2} + \left( k^2 -k^2_z \right) \rho ^2 =0
\label{eq:Helmholtz_cylindrical_2}
\end{gather}
第2項は $\rho $，$z$ に対して独立，他の項は $\phi $ に対して独立であるから，
\begin{gather}
\frac{1}{\Phi } \frac{d^2 \Phi }{d \phi ^2 } = -m^2
\end{gather}
とおける．これを代入すると，
$\rho $のみの方程式が得られる．
\begin{gather}
\frac{\rho }{\mathcal{R}} \frac{d}{d \rho } \left( \rho \frac{d \mathcal{R}}{d \rho } \right)
-m^2 + \left( k^2 -k^2_z \right) \rho ^2 = 0
\end{gather}
両辺に$\mathcal{R}$を乗じて，
\begin{gather}
\rho \frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac {d\mathcal{R}}{d \rho} \right)
+ \left\{ \left( k^2 -k^2_z \right) \rho ^2 - m^2 \right\} \mathcal{R} = 0
\label{eq:Helmholtz_cylindrical_3}
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
k^2_{\rho } \equiv k^2 -k^2_z
\end{gather}
とおくと，次式を得る．
\begin{gather}
\rho \frac{d}{d \rho} \left( \rho \frac {d\mathcal{R}}{d \rho} \right)
+ \{ (k_{\rho } \rho )^2 -m^2 \} \mathcal{R} = 0
\ \ \ \mbox{[Bessel's equation of order m]}
\end{gather}
また,
\begin{gather}
\frac{d^2 \Phi}{d \phi ^2} + m^2 \Phi = 0 \ \ \ \mbox{[Harmonic equation]} \\
\frac{d^2 \mathcal{Z}}{d z^2} + k^2_z \mathcal{Z} = 0 \ \ \ \ \mbox{[Harmonic equation]}
\end{gather}
これらの方程式の解を各々求めれば$\psi$の一般解
$\psi _{k_{\rho }, m, k_{z} } $（elementary wave function）が得られ，
次のようになる．
\begin{gather}
\psi _{k_{\rho }, m, k_{z} }
= \mathscr{B}_m (k_{\rho } \rho ) \mathscr{H}(m \phi) \mathscr{H}(k_z z)
\end{gather}
ここで，$\mathscr{B}_m (k_{\rho } \rho )$は$m$次の（広義）ベッセル関数を示し，
\begin{gather}
\mathscr{B}_m (k_{\rho } \rho ) \sim
J_m (k_{\rho } \rho ), \
N_m (k_{\rho } \rho ), \
H_m^{(1)} (k_{\rho } \rho ), \
H_m^{(2)} (k_{\rho } \rho )
\end{gather}
ただし，
$J_m (k_{\rho } \rho )$は第1種ベッセル関数，
$N_m (k_{\rho } \rho )$は第2種ベッセル関数，
$H_m^{(1)} (k_{\rho } \rho )$は第1種ハンケル関数，
$H_m^{(2)} (k_{\rho } \rho )$は第2種ハンケル関数を示し，次のような関係がある．
\begin{gather}
H_m^{(1)} (k_{\rho } \rho ) = J_m (k_{\rho } \rho ) + i N_m (k_{\rho } \rho )\\
H_m^{(2)} (k_{\rho } \rho ) = J_m (k_{\rho } \rho ) - i N_m (k_{\rho } \rho )
\end{gather}
また，$\mathscr{H}(m \phi)$，$\mathscr{H}(k_z z)$は調和関数を示し，次のようになる．
\begin{gather}
\mathscr{H}(m \phi) \sim
\cos m \phi, \sin m \phi, e^{jm \phi}, e^{-jm \phi}
\\
\mathscr{H}(k_z z) \sim \cos k_z z, \sin k_z z, e^{jk_z z}, e^{-jkz_z}
\end{gather}
ベッセル関数
第1種ベッセル関数$J_0(z), J_1(z), J_2(z), J_3(z)$
第2種ベッセル関数$N_0(z), N_1(z), N_2(z), N_3(z), N_4(z)$
ヘルムホルツ方程式の解
先に示した$\psi _{k_{\rho }, m, k_{z} } $の線形結合もヘルムホルツ方程式を満たし，例えば，
$m$，$k_\rho$が離散値となる場合，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\psi &=& \sum _m \sum _{k_\rho} C_{m,k_\rho} \psi _{k_{\rho }, m, k_{z} }
\nonumber \\
&=& \sum _m \sum _{k_\rho} C_{m,k_\rho}
\mathscr{B}_m (k_{\rho } \rho ) \mathscr{H}(m \phi) \mathscr{H}(k_z z)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
k^2 = k_\rho^2 + k_z^2
\end{gather}
ただし，係数$C_{m,k_\rho}$は境界条件によって決められる定数である．また，$k_\rho$が連続的な値をとる場合，積分形で表して，
\begin{eqnarray}
\psi
&=& \sum _m \int_{k_\rho} f_m (k_\rho)
\psi _{k_{\rho }, m, k_{z} } dk_\rho
\nonumber \\
&=& \sum _m \int_{k_\rho} f_m (k_\rho)
\mathscr{B}_m (k_{\rho } \rho ) \mathscr{H}(m \phi) \mathscr{H}(k_z z) dk_\rho
\end{eqnarray}
ただし，$f_m (k_\rho)$は境界条件によって決定される．