6.1 ソニンの第1積分
ソニン（ニコライ・ヤコヴレヴィチ・ソニン（ロシアの数学者））の第1積分（Sonine's first finite integral）$^\dagger$は
\begin{gather}
J_{\mu+\nu +1}(z)
= \frac{z^{\nu+1}}{2^\nu \Gamma(\nu+1)}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} J_\mu (z \sin \theta) \sin ^{\mu+1} \theta \cos ^{2\nu+1} \theta d\theta
\end{gather}
上式において，
\begin{gather}
z \to x, \ \ \ \ \
\sin \theta \to t, \ \ \ \ \
\mu \to n, \ \ \ \ \
\nu \to m-n-1
\end{gather}
とすると，
$\cos \theta d\theta = dt$より，ソニンの積分（Sonine's integral）は，
\begin{eqnarray}
J_m(x)
&=& \frac{x^{m-n}}{2^{m-n-1} \Gamma(m-n)}
\int _0^1 J_n(xt) t^{n+1} (1-t^2)^{m-n-1} dt
\nonumber \\
&=& \frac{2x^{m-n}}{2^{m-n} \Gamma(m-n)}
\int _0^1 J_n(xt) t^{n+1} (1-t^2)^{m-n-1} dt
\end{eqnarray}
$n=0$ のとき，
\begin{gather}
J_m(x) = \frac{x^m}{2^{m-1} \Gamma(m)}
\int _0^1 J_0(xt) t (1-t^2)^{m-1} dt
\end{gather}
$m \to m+1$とすると，
\begin{gather}
J_{m+1}(x) = \frac{x^{m+1}}{2^m \Gamma(m+1)}
\int _0^1 J_0(xt) t (1-t^2)^m dt
\end{gather}
よって，次式が得られる．
\begin{gather}
\int _0^1 (1-t^2)^m J_0(xt) t dt
= \frac{2^m \Gamma(m+1) J_{m+1}(x)}{x^{m+1}}
\end{gather}
ただし，$\Gamma(m+1)$ はガンマ関数を示し，$m$が正整数のとき，
\begin{gather}
\Gamma(m+1) = m !
\end{gather}
$\dagger$ G. N. Watson, "Theory of Bessel Functions," 2d ed., p.373, Macmillan, New York (1945).