6.2 Laplaceの積分
積分$I(a)$
\begin{gather}
I(a) = \int _0^\infty e^{-b x^2} \cos (2ax) dx
\end{gather}
を$a$について微分すると，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\frac{dI}{da}
&=& \frac{d}{da} \left( \int _0^\infty e^{-b x^2} \cos (2ax) dx \right)
\nonumber \\
&=& \int _0^\infty \left( -2x e^{-b x^2} \right) \sin (2ax) dx
\end{eqnarray}
部分積分より，
\begin{eqnarray}
\frac{dI}{da}
&=& \left[ \frac{e^{-b x^2}}{b} \cdot \sin (2ax) \right] _0^\infty
- \int _0^\infty \frac{e^{-b x^2}}{b} \cdot 2a \cos (2ax) dx
\nonumber \\
&=& -\frac{2a}{b} \int _0^\infty e^{-b x^2} \cos (2ax) dx
\nonumber \\
&=& -\frac{2a}{b} I
\end{eqnarray}
したがって，次の微分方程式を$a$について解けばよいことになる．
\begin{gather}
\frac{dI(a)}{da} = -\frac{2a}{b} I(a)
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\int \frac{dI}{I} = - \frac{2}{b} \int a da
\end{gather}
この不定積分を実行すると，
\begin{gather}
\log _e I = -\frac{2}{b} \frac{a^2}{2} + C'
= -\frac{a^2}{b} + C'
\end{gather}
よって，$I(a)$は次のようになる（$C'$および$C$は積分定数）．
\begin{gather}
I (a) = C e^{-\frac{a^2}{b}}
\end{gather}
いま，$a=0$とおくと，
\begin{gather}
I(0) = C
\end{gather}
ゆえ，$I(0)$より$C$が決まる．
\begin{gather}
I(0) = \int _0 ^\infty e^{-bx^2} dx
= \int _0 ^\infty e^{-by^2} dy
\end{gather}
これより，$I ^2(0)$を求めると次のようになる．
\begin{eqnarray}
I^2 (0)
&=& \left( \int _0 ^\infty e^{-bx^2} dx \right)
\left( \int _0 ^\infty e^{-by^2} dy \right)
\nonumber \\
&=& \int _0 ^\infty \int _0 ^\infty e^{-b(x^2 + y^2)} dx dy
\end{eqnarray}
ただし，$0 \leq x \leq \infty$，$0 \leq y \leq \infty$．
また，
\begin{eqnarray}
x &\equiv& r \cos \theta
\\
y &\equiv& r \sin \theta
\end{eqnarray}
とおいて変数変換すると，
\begin{align}
&x^2 + y^2 = r^2
\\
&dx dy = r dr d\theta
\end{align}
より，
\begin{eqnarray}
I^2 (0)
&=& \int _0 ^{\pi /2} \int _0 ^\infty e^{-br^2} rdrd\theta
\nonumber \\
&=& \int _0 ^{\pi /2} d\theta
\int _0 ^\infty e^{-br^2} rdr
\nonumber \\
&=& \frac{\pi}{2} \int _0 ^\infty e^{-br^2} rdr
\end{eqnarray}
さらに，$r^2 \equiv t$とおいて，
\begin{gather}
2rdr = dt
\end{gather}
より，変数変換すると，
\begin{eqnarray}
I^2 (0)
&=& \frac{\pi}{2} \int _0 ^\infty e^{-bt} \frac{1}{2} dt
\nonumber \\
&=& \frac{\pi}{4} \left[ -\frac{1}{b} e^{-bt} \right] _0 ^\infty
\nonumber \\
&=& \frac{\pi}{4b} (-\frac{1}{e^{\infty}} + e^0 )
\nonumber \\
&=& \frac{\pi}{4b}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
C = I(0) = \int _0 ^\infty e^{-bx^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{b}}
\end{gather}
これより，$I(a)$は次のようになる．
\begin{gather}
I(a) = \int _0^\infty e^{-b x^2} \cos (2ax) dx
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{b}} e^{-\frac{a^2}{b}}
\end{gather}
これを．Laplaceの積分という．