平均放射パターン
位相誤差のある開口面分布による指向性関数
位相が一様の開口面分布$E_a$に位相誤差 $\delta$ があるとき，円形開口の指向性関数$g(\Theta ,\Phi)$は，
\begin{gather}
g(\Theta ,\Phi ) = \iint _A E_a e ^{j \delta } e ^{j \VEC{k} \cdot \VECi{\rho} } dA
\end{gather}
開口面を円形とすると，開口面分布に位相誤差の項$e^{j\delta}$ を乗じて次のようになる．
\begin{gather}
g(\Theta ,\Phi )
= \left( \frac{D}{2} \right) ^2
\int _0 ^{2\pi} \int _0 ^1 E_a e ^{j \delta } e ^{j u \rho ' \cos (\Phi - \phi )}
\rho ' d\rho ' d \phi
\end{gather}
いま，この開口面を半径方向に$N$分割，周方向に$K_n $分割して微小なゾーンを定義し，位相誤差がこれらゾーン毎に独立に正規分布
（平均値を$0$，rms値（標準偏差）を$\sigma $）に従うものとすると$^\dagger$，
\begin{gather}
g(\Theta ,\Phi )
= \left( \frac{D}{2} \right) ^2 \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n}
\int _{a_{n-1}} ^{a_n} \int _{\phi _{n,j-1}} ^{\phi _{n,j}}
E_a e ^{j \delta } e ^{j u \rho ' \cos (\Phi - \phi )}
\rho ' d\rho ' d \phi
\end{gather}
ただし，ゾーン内では位相誤差は一定とする．
第$(n, j)$番目のゾーンの位相誤差を$\delta _{n,j}$とおけば，
\begin{gather}
g(\Theta ,\Phi )
%= \left( \frac{D}{2} \right) ^2 \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} e ^{j \delta _{n,j}}
%\int _{a_{n-1}} ^{a_n} \int _{\phi _{n,j-1}} ^{\phi _{n,j}}
%E_a e ^{j u \rho ' \cos (\Phi - \phi )}
%\rho ' d\rho ' d \phi
%\nonumber \\ \hspace{13mm}
= \left( \frac{D}{2} \right) ^2 \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} e ^{j \delta _{n,j}}
E_{n,j}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
E_{n,j}
\equiv \int _{a_{n-1}} ^{a_n} \int _{\phi _{n,j-1}} ^{\phi _{n,j}}
E_a e ^{j u \rho ' \cos (\Phi - \phi )}
\rho ' d\rho ' d \phi
\end{gather}
放射電力については，$|g|^2$を求めればよく，
\begin{eqnarray}
|g|^2 &=& g g^*
= \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\left( \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} e ^{j \delta _{n,j}} E_{n,j} \right)
\left( \sum _{m=1}^M \sum _{l=1}^{K_m} e ^{-j \delta _{m,l}} E_{m,l}^* \right)
\nonumber \\
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\sum _{n=1}^N \sum _{m=1}^M \sum _{j=1}^{K_n} \sum _{l=1}^{K_m}
E_{n,j} E_{m,l}^* \ e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}
\end{eqnarray}
平均的な放射電力
放射電力として最も起こり得る値は，平均的な放射電力であるので，
$|g|^2$の平均値$\overline{|g|^2}$を求めると次のようになる．
\begin{gather}
\overline{|g|^2}
= \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\sum _{n=1}^N \sum _{m=1}^M \sum _{j=1}^{K_n} \sum _{l=1}^{K_m}
E_{n,j} E_{m,l}^* \ \overline{e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}}
\end{gather}
ここで，$\delta $の確立密度関数$f(\delta )$は，正規分布ゆえ，
\begin{gather}
f(\delta )
= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma } e^{-\frac{1}{2} ( \frac{\delta }{\sigma } )^2}
\end{gather}
で与えられるから，ゾーン$(n, j)$と$(m,l)$が異なる場合，
\begin{eqnarray}
\overline{e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}}
&=& \int _{-\infty }^\infty \int _{-\infty }^\infty e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}
f(\delta _{n,j}) f(\delta _{m,l}) d\delta _{n,j} d\delta _{m,l}
\nonumber \\
&=& \int _{-\infty }^\infty e ^{ j \delta _{n,j}} f(\delta _{n,j}) d\delta _{n,j}
\int _{-\infty }^\infty e ^{-j \delta _{m,l}} f(\delta _{m,l}) d\delta _{m,l}
\nonumber \\
&=& \overline{e ^{j \delta _{n,j}}} \cdot \overline{e ^{-j \delta _{m,l}}}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\overline{e ^{j \delta _{n,j}}}
= \int _{-\infty }^\infty e ^{ j \delta _{n,j}} f(\delta _{n,j}) d\delta _{n,j}\\
\overline{e ^{-j \delta _{m,l}}}
= \int _{-\infty }^\infty e ^{ -j \delta _{m,l}} f(\delta _{m,l}) d\delta _{m,l}
\end{gather}
これらの積分は，
\begin{eqnarray}
\overline{e ^{\pm j \delta }}
&=& \int _{-\infty }^\infty e ^{ \pm j \delta} f(\delta) d\delta
\nonumber \\
&=& \int _{-\infty }^\infty \cos \delta f(\delta) d\delta
\pm j \int _{-\infty }^\infty \sin \delta f(\delta) d\delta
\nonumber \\
&=& 2 \int _0^\infty \cos \delta f(\delta) d\delta
\nonumber \\
&=& 2 \int _0^\infty \cos \delta
\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma } e^{-\frac{1}{2} ( \frac{\delta }{\sigma } )^2} \right) d\delta
\nonumber \\
&=& \frac{2}{\sqrt{2\pi} \sigma } \int _0^\infty e^{-\frac{\delta ^2}{2 \sigma ^2}} \cos \delta d\delta
\end{eqnarray}
上式の積分は，次のLaplaceの積分を用いている．
\begin{gather}
\int _0^\infty e^{-b x^2} \cos (2ax) dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{b}} e^{-\frac{a^2}{b}}
\end{gather}
これより，
$\displaystyle{b \to \frac{1}{2 \sigma ^2}}$，$2a \to 1$，$\delta \to x$とおけば，
\begin{gather}
\int _0^\infty e^{-\frac{\delta ^2}{2 \sigma ^2}} \cos \delta d\delta
= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma e^{-\frac{\sigma ^2}{2}}
\end{gather}
両辺に$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{2\pi} \sigma }}$を乗じて，
\begin{gather}
\overline{e ^{\pm j \delta }}
= \frac{2}{\sqrt{2\pi} \sigma } \int _0^\infty e^{-\frac{\delta ^2}{2 \sigma ^2}} \cos \delta d\delta
= e^{-0.5 \sigma ^2}
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
\overline{e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}}
&=& \overline{e ^{j \delta _{n,j}}} \cdot \overline{e ^{-j \delta _{m,l}}}
\nonumber \\
&=& e^{-0.5 \sigma ^2} \cdot e^{-0.5 \sigma ^2}
\nonumber \\
&=& e^{-\sigma ^2}
\end{eqnarray}
一方，ゾーン$(n, j)$と$(m,l)$が同じ場合（$n = m$，$j=l$），
$\delta _{n,j} = \delta _{m,l}$ゆえ，
\begin{gather}
\overline{e ^{j (\delta _{n,j} - \delta _{m,l})}} = e^0 = 1
\end{gather}
これらの結果より，$|g|^2$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\overline{|g|^2}
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\left( \left. \sum _{n=1}^N \sum _{m=1}^M \sum _{j=1}^{K_n} \sum _{l=1}^{K_m} \right._{(n \neq m, j \neq l)}
E_{n,j} E_{m,l}^* \cdot e^{-\sigma ^2} \right.
\nonumber \\
&&\left. + \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} E_{n,j} E_{n,j}^* \right)
\nonumber \\
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\left( \sum _{n=1}^N \sum _{m=1}^M \sum _{j=1}^{K_n} \sum _{l=1}^{K_m}
E_{n,j} E_{m,l}^* \cdot e^{-\sigma ^2} \right.
\nonumber \\
&& \left. + (1 - e^{-\sigma ^2}) \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} E_{n,j} E_{n,j}^* \right)
\nonumber \\
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^4
\left( e^{-\sigma ^2} \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} E_{n,j} \sum _{m=1}^M \sum _{l=1}^{K_m} E_{m,l}^* \right.
\nonumber \\
&&\left. + (1 - e^{-\sigma ^2}) \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} E_{n,j} E_{n,j}^* \right)
\end{eqnarray}
ここで，位相誤差のないときの指向性関数を$g_0$とおくと，
\begin{gather}
\overline{|g|^2} = e^{-\sigma ^2} \cdot g_0 \cdot g_0^* +
(1 - e^{-\sigma ^2}) \left( \frac{D}{2} \right) ^4 \sum _{n=1}^N \sum _{j=1}^{K_n} E_{n,j} E_{n,j}^*
\end{gather}
鏡面ひずみによる利得低下量
位相誤差が大きくない場合を考えると，正面方向$u=0$では，上式の第１項は第２項に比べて十分大きくなり，近似して，
\begin{gather}
\overline{|g(0)|^2} \simeq e^{-\sigma ^2} | g_0 (0)|^2
\end{gather}
平均的な利得低下量$\overline{\Delta G}$ [dB]を求めると，
\begin{eqnarray}
\overline{\Delta G}
&=& 10 \log _{10} \left( \frac{\overline{|g(0)|^2}}{|g_0 (0)|^2} \right)
\nonumber \\
&=& 10 \log _{10} \left( e^{-\sigma ^2} \right)
\nonumber \\
&=& -\sigma ^2 \left( 10 \log _{10} e \right)
\nonumber \\
&=& -4.343 \sigma ^2
\end{eqnarray}
反射鏡の鏡面誤差（鏡面ひずみ，凹凸）のrms値を$\varepsilon $とすると，位相誤差のrms値$\sigma $は，
\begin{gather}
\sigma \simeq k \cdot 2 \varepsilon
= \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right) 2 \varepsilon
= \frac{4\pi \varepsilon}{\lambda }
\end{gather}
このとき，利得低下量$\overline{\Delta G}$ [dB]は，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\overline{\Delta G}
&=& -\left( \frac{4\pi \varepsilon}{\lambda } \right) ^2 \left( 10 \log _{10} e \right)
\nonumber \\
&=& - \left( 160 \pi ^2 \log _{10} e \right) \left( \frac{\varepsilon}{\lambda } \right) ^2
\nonumber \\
&\simeq& - 686 \left( \frac{\varepsilon}{\lambda } \right) ^2
\end{eqnarray}