平均放射パターン

位相誤差のある開口面分布による指向性関数

　位相が一様の開口面分布

E_{a}

に位相誤差

δ

があるとき，円形開口の指向性関数

g (Θ, Φ)

は，

\begin{matrix} (1) & g (Θ, Φ) = \iint_{A} E_{a} e^{j δ} e^{j k \cdot ρ} d A \end{matrix}

開口面を円形とすると，開口面分布に位相誤差の項

e^{j δ}

を乗じて次のようになる．

\begin{matrix} (2) & g (Θ, Φ) = {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} E_{a} e^{j δ} e^{j u ρ^{'} \cos (Φ - ϕ)} ρ^{'} d ρ^{'} d ϕ \end{matrix}

いま，この開口面を半径方向に

N

分割，周方向に

K_{n}

分割して微小なゾーンを定義し，位相誤差がこれらゾーン毎に独立に正規分布（平均値を

0

，rms値（標準偏差）を

σ

）に従うものとすると

^{†}

，

\begin{matrix} (3) & g (Θ, Φ) = {(\frac{D}{2})}^{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} \int_{a_{n - 1}}^{a_{n}} \int_{ϕ_{n, j - 1}}^{ϕ_{n, j}} E_{a} e^{j δ} e^{j u ρ^{'} \cos (Φ - ϕ)} ρ^{'} d ρ^{'} d ϕ \end{matrix}

ただし，ゾーン内では位相誤差は一定とする．第

(n, j)

番目のゾーンの位相誤差を

δ_{n, j}

とおけば，

\begin{matrix} (4) & g (Θ, Φ) = {(\frac{D}{2})}^{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} e^{j δ_{n, j}} E_{n, j} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (5) & E_{n, j} \equiv \int_{a_{n - 1}}^{a_{n}} \int_{ϕ_{n, j - 1}}^{ϕ_{n, j}} E_{a} e^{j u ρ^{'} \cos (Φ - ϕ)} ρ^{'} d ρ^{'} d ϕ \end{matrix}

放射電力については，

| g |^{2}

を求めればよく，

\begin{array}{rcl} | g |^{2} & = & g g^{*} = {(\frac{D}{2})}^{4} (\sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} e^{j δ_{n, j}} E_{n, j}) (\sum_{m = 1}^{M} \sum_{l = 1}^{K_{m}} e^{- j δ_{m, l}} E_{m, l}^{*}) \\ (6) & = & {(\frac{D}{2})}^{4} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{K_{n}} \sum_{l = 1}^{K_{m}} E_{n, j} E_{m, l}^{*} e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})} \end{array}

平均的な放射電力

　放射電力として最も起こり得る値は，平均的な放射電力であるので，

| g |^{2}

の平均値

\overset{―}{| g |^{2}}

を求めると次のようになる．

\begin{matrix} (7) & \overset{―}{| g |^{2}} = {(\frac{D}{2})}^{4} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{K_{n}} \sum_{l = 1}^{K_{m}} E_{n, j} E_{m, l}^{*} \overset{―}{e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})}} \end{matrix}

ここで，

δ

の確立密度関数

f (δ)

は，正規分布ゆえ，

\begin{matrix} (8) & f (δ) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} (\frac{δ}{σ})^{2}} \end{matrix}

で与えられるから，ゾーン

(n, j)

と

(m, l)

が異なる場合，

\begin{array}{rcl} \overset{―}{e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})}} & = & \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})} f (δ_{n, j}) f (δ_{m, l}) d δ_{n, j} d δ_{m, l} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} e^{j δ_{n, j}} f (δ_{n, j}) d δ_{n, j} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- j δ_{m, l}} f (δ_{m, l}) d δ_{m, l} \\ (9) & = & \overset{―}{e^{j δ_{n, j}}} \cdot \overset{―}{e^{- j δ_{m, l}}} \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (10) & \overset{―}{e^{j δ_{n, j}}} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{j δ_{n, j}} f (δ_{n, j}) d δ_{n, j} \\ (11) & \overset{―}{e^{- j δ_{m, l}}} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- j δ_{m, l}} f (δ_{m, l}) d δ_{m, l} \end{matrix}

これらの積分は，

\begin{array}{rcl} \overset{―}{e^{\pm j δ}} & = & \int_{- \infty}^{\infty} e^{\pm j δ} f (δ) d δ \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} \cos δ f (δ) d δ \pm j \int_{- \infty}^{\infty} \sin δ f (δ) d δ \\ = & 2 \int_{0}^{\infty} \cos δ f (δ) d δ \\ = & 2 \int_{0}^{\infty} \cos δ (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} (\frac{δ}{σ})^{2}}) d δ \\ (12) & = & \frac{2}{\sqrt{2 π} σ} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{δ^{2}}{2 σ^{2}}} \cos δ d δ \end{array}

上式の積分は，次のLaplaceの積分を用いている．

\begin{matrix} (13) & \int_{0}^{\infty} e^{- b x^{2}} \cos (2 a x) d x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{b}} e^{- \frac{a^{2}}{b}} \end{matrix}

これより，

b \to \frac{1}{2 σ^{2}}

，

2 a \to 1

，

δ \to x

とおけば，

\begin{matrix} (14) & \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{δ^{2}}{2 σ^{2}}} \cos δ d δ = \sqrt{\frac{π}{2}} σ e^{- \frac{σ^{2}}{2}} \end{matrix}

両辺に

\frac{2}{\sqrt{2 π} σ}

を乗じて，

\begin{matrix} (15) & \overset{―}{e^{\pm j δ}} = \frac{2}{\sqrt{2 π} σ} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{δ^{2}}{2 σ^{2}}} \cos δ d δ = e^{- 0.5 σ^{2}} \end{matrix}

したがって，

\begin{array}{rcl} \overset{―}{e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})}} & = & \overset{―}{e^{j δ_{n, j}}} \cdot \overset{―}{e^{- j δ_{m, l}}} \\ = & e^{- 0.5 σ^{2}} \cdot e^{- 0.5 σ^{2}} \\ (16) & = & e^{- σ^{2}} \end{array}

一方，ゾーン

(n, j)

と

(m, l)

が同じ場合（

n = m

，

j = l

），

δ_{n, j} = δ_{m, l}

ゆえ，

\begin{matrix} (17) & \overset{―}{e^{j (δ_{n, j} - δ_{m, l})}} = e^{0} = 1 \end{matrix}

これらの結果より，

| g |^{2}

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} \overset{―}{| g |^{2}} & = & {(\frac{D}{2})}^{4} ({\sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{K_{n}} \sum_{l = 1}^{K_{m}}}_{(n \neq m, j \neq l)} E_{n, j} E_{m, l}^{*} \cdot e^{- σ^{2}} \\ + \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} E_{n, j} E_{n, j}^{*}) \\ = & {(\frac{D}{2})}^{4} (\sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} \sum_{j = 1}^{K_{n}} \sum_{l = 1}^{K_{m}} E_{n, j} E_{m, l}^{*} \cdot e^{- σ^{2}} \\ + (1 - e^{- σ^{2}}) \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} E_{n, j} E_{n, j}^{*}) \\ = & {(\frac{D}{2})}^{4} (e^{- σ^{2}} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} E_{n, j} \sum_{m = 1}^{M} \sum_{l = 1}^{K_{m}} E_{m, l}^{*} \\ (18) & + (1 - e^{- σ^{2}}) \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} E_{n, j} E_{n, j}^{*}) \end{array}

ここで，位相誤差のないときの指向性関数を

g_{0}

とおくと，

\begin{matrix} (19) & \overset{―}{| g |^{2}} = e^{- σ^{2}} \cdot g_{0} \cdot g_{0}^{*} + (1 - e^{- σ^{2}}) {(\frac{D}{2})}^{4} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{K_{n}} E_{n, j} E_{n, j}^{*} \end{matrix}

鏡面ひずみによる利得低下量

　位相誤差が大きくない場合を考えると，正面方向

u = 0

では，上式の第１項は第２項に比べて十分大きくなり，近似して，

\begin{matrix} (20) & \overset{―}{| g (0) |^{2}} ≃ e^{- σ^{2}} | g_{0} (0) |^{2} \end{matrix}

平均的な利得低下量

\overset{―}{Δ G}

[dB]を求めると，

\begin{array}{rcl} \overset{―}{Δ G} & = & 10 \log_{10} (\frac{\overset{―}{| g (0) |^{2}}}{| g_{0} (0) |^{2}}) \\ = & 10 \log_{10} (e^{- σ^{2}}) \\ = & - σ^{2} (10 \log_{10} e) \\ (21) & = & - 4.343 σ^{2} \end{array}

反射鏡の鏡面誤差（鏡面ひずみ，凹凸）のrms値を

ε

とすると，位相誤差のrms値

σ

は，

\begin{matrix} (22) & σ ≃ k \cdot 2 ε = (\frac{2 π}{λ}) 2 ε = \frac{4 π ε}{λ} \end{matrix}

このとき，利得低下量

\overset{―}{Δ G}

[dB]は，次のようになる．

\begin{array}{rcl} \overset{―}{Δ G} & = & - {(\frac{4 π ε}{λ})}^{2} (10 \log_{10} e) \\ = & - (160 π^{2} \log_{10} e) {(\frac{ε}{λ})}^{2} \\ (23) & ≃ & - 686 {(\frac{ε}{λ})}^{2} \end{array}