円形開口面分布による放射特性
円形開口面分布
直径$D$の円形開口面分布
$E_a (\rho ,\phi )$ によるフレネル領域の指向性関数
$g_r(R,\Theta ,\Phi)$ は，
\begin{gather}
g_r (R, \Theta ,\Phi )
= \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^{D/2} E_a (\rho ,\phi) e^{-jk \frac{\rho ^2}{2R}}
e ^{j k \VEC{a}_R \cdot \VECi{\rho} } \rho d\rho d \phi
\end{gather}
ここで，観測方向に沿う単位ベクトル$\VEC{a}_R$，および開口面の座標を示す位置ベクトル$\VECi{\rho}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R &=& \sin \Theta (\cos \Phi \VEC{a}_x + \sin \Phi \VEC{a}_y ) + \cos \Theta \VEC{a}_z
\\
\VECi{\rho} &=& \rho \VEC{a}_\rho
= \rho (\cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y)
\end{eqnarray}
で表され，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R \cdot \VECi{\rho}
&=& \{ \sin \Theta (\cos \Phi \VEC{a}_x + \sin \Phi \VEC{a}_y ) + \cos \Theta \VEC{a}_z \}
\cdot \rho (\cos \phi \VEC{a}_x + \sin \phi \VEC{a}_y)
\nonumber \\
&=& \rho \sin \Theta (\cos \Phi \cos \phi + \sin \Phi \sin \phi )
\nonumber \\
&=& \rho \sin \Theta \cos (\Phi - \phi )
\end{eqnarray}
また，位相項は次のようになる．
\begin{gather}
k ( \VEC{a}_R \cdot \VECi{\rho} )
= \frac{2\pi }{\lambda } \rho \sin \Theta \cos (\Phi - \phi )
\end{gather}
いま，
\begin{eqnarray}
\overline{\rho} &\equiv& \frac{2\rho}{D}
\\
u &\equiv& \frac{\pi D}{\lambda} \sin \Theta
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{align}
&k ( \VEC{a}_R \cdot \VECi{\rho} )
= u \overline{\rho} \cos (\Phi - \phi )
\\
&d\overline{\rho} = \frac{2}{D} d\rho
\end{align}
また，
\begin{gather}
t \equiv \frac{D^2}{8 \lambda R}
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
k \frac{\rho ^2}{2R}
&=& \frac{2\pi}{\lambda } \cdot \frac{1}{2R} \left( \frac{D}{2} \overline{\rho} \right) ^2
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D^2}{8 \lambda R} \right) \overline{\rho} ^2
\nonumber \\
&=& 2\pi t \overline{\rho} ^2
\end{eqnarray}
これより，フレネル領域の指向性関数$g_r(R,\Theta ,\Phi)$は次のようになる．
\begin{gather}
g_r (R, \Theta ,\Phi )
= \left( \frac{D}{2} \right) ^2
\int _0 ^{2\pi} \int _0 ^1 E_a (\rho ,\phi) e^{-j2\pi t \overline{\rho}^2}
e ^{j u \overline{\rho} \cos (\Phi - \phi )} \overline{\rho} d\overline{\rho} d \phi
\end{gather}
回転対称な円形開口面分布
開口面分布$E_a$が回転対称な場合，$\phi$に関する定積分が可能で，
\begin{gather}
e ^{j u \overline{\rho} \cos (\Phi - \phi )}
= \sum _{n = -\infty} ^{\infty} (j)^n J_n (u \overline{\rho} ) e ^{jn(\Phi -\phi)}
\end{gather}
を用いると，指向性関数$g_r (R, \Theta ,\Phi)$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
g_r
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^2
\int _0 ^{2\pi} \int _0 ^1 E_a (\overline{\rho}) e^{-j2\pi t \overline{\rho}^2}
\left\{ \sum _{n = -\infty} ^{\infty} (j)^n J_n (u \overline{\rho}) e ^{jn(\Phi -\phi)} \right\}
\overline{\rho} d\overline{\rho} d \phi
\nonumber \\
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^2
\int _0 ^1 E_a (\overline{\rho}) e^{-j2\pi t \overline{\rho}^2}
\left\{ \sum _{n = -\infty} ^{\infty} (j)^n J_n (u \overline{\rho})
\int _0 ^{2\pi} e ^{jn(\Phi -\phi)} d \phi \right\}
\overline{\rho} d\overline{\rho}
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，$J_n$は$n$次の第１種ベッセル関数を示す．上式の$\phi$に関する積分は，
\begin{gather}
\int _0 ^{2\pi} e ^{jn(\Phi -\phi)} d \phi
= \left\{
\begin{array}{cl}
2\pi & (n=0) \\
0 & (n \neq 0)
\end{array} \right.
\end{gather}
よって，$g_r (R,\Theta ,\Phi )$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
g_r (R,\Theta ,\Phi )
&=& \left( \frac{D}{2} \right) ^2
\int _0 ^1 E_a (\overline{\rho}) e^{-j2\pi t \overline{\rho}^2}
\left\{ j^0 J_0 (u \overline{\rho} ) \cdot 2 \pi \right\}
\overline{\rho} d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right) ^2 \int _0 ^1 E_a (\overline{\rho}) e^{-j2\pi t \overline{\rho}^2} J_0 (u \overline{\rho}) \overline{\rho} d\overline{\rho}
\end{eqnarray}
円形一様開口面分布
開口面分布の振幅，位相が一様の場合，つまり$E_a$を一定と考えると，ベッセルの不定積分公式
\begin{gather}
\int J_0 (u \overline{\rho} ) \overline{\rho} d\overline{\rho}
= \frac{\overline{\rho}}{u} J_1 (u \overline{\rho})
\end{gather}
より，フラウンホーファ領域（$t=0$）の指向性関数$g(u)$は
（$E_a(x,y)=E_0$は一定，$S$は円形開口面の面積），
\begin{eqnarray}
g(u)
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right) ^2 E_0 \int _0 ^1
J_0 (u \overline{\rho}) \overline{\rho} d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right) ^2 E_0 \left[ \frac{\overline{\rho}}{u}
J_1 (u \overline{\rho}) \right] _0 ^1
\nonumber \\
&=& 2S E_0 \frac{J_1 (u)}{u}
\end{eqnarray}
また，
\begin{gather}
g(0) = E_0 \iint_A dS = E_0 S
\end{gather}
相対電界指向性（ユニバーサル電界パターン）$\bar{g} (u)$は，
\begin{eqnarray}
\bar{g} (u)
&=& \frac{g(u)}{g(0)} = \frac{2S E_a \frac{J_1 (u)}{u}}{E_a S}
\nonumber \\
&=& 2 \frac{J_1 (u)}{u}
\end{eqnarray}
ユニバーサル電界パターンのサイロドーブレベルは，ピーク値に対して第1サイドローブから順に，
$-17.6$，$-23.8$，$-28.0$，$-31.2$，$-33.6$，$-35.7$ dBとなる．また，規格化した相対的な放射（電力）パターン$\bar{G}(\theta, \phi)$は，
\begin{gather}
\bar{G}(\theta, \phi)
= \left( \frac{1+\cos \theta}{2} \right)^2 \left| 2 \frac{J_1 (u)}{u} \right|^2
\end{gather}
直線開口および円形開口（$D=6\lambda$）の一様分布による放射パターン
放物線テーパ分布
回転対称の円形開口面分布において，半径$\rho$方向に放物線テーパ（Parabolic taper）のとき，
$\rho = \frac{D}{2} \overline{\rho}$とおいて，
\begin{eqnarray}
E (\rho)
&=& 1-\left( \frac{2\rho}{D} \right)^2
\nonumber \\
&=& 1- \overline{\rho}^2
= E(\overline{\rho})
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
g(0)
&=& \iint_A E(\rho) dS
\nonumber \\
&=& \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{D}{2}} \left\{ 1-\left( \frac{2\rho}{D} \right)^2 \right\} \rho d\phi d\rho
\nonumber \\
&=& \left( \int_0^{2\pi} d\phi \right) \left( \frac{D}{2} \right)^2
\int_0^1 \big( \overline{\rho}- \overline{\rho}^3 \big) d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 \left[ \frac{\overline{\rho}^2}{2} - \frac{\overline{\rho}^4}{4} \right]_0^1
\nonumber \\
&=& \frac{S}{2}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\iint_A |E(\rho)|^2 dS
&=& \int_0^{2\pi} \int_0^a \left\{ 1-\left( \frac{2\rho}{D} \right)^2 \right\}^2 \rho d\phi d\rho
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 \int_0^1 \big( \overline{\rho}- 2\overline{\rho}^3 + \overline{\rho}^5 \big)
d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 \left[ \frac{\overline{\rho}^2}{2} - \frac{\overline{\rho}^4}{2}
+ \frac{\overline{\rho}^6}{6} \right]_0^1
\nonumber \\
&=& \frac{S}{3}
\end{eqnarray}
開口能率$\eta_a$は，
\begin{eqnarray}
\eta _a
&=& \frac{\displaystyle
\left| \iint _A E_a dS \right| ^2}{\displaystyle S \iint _A | E_a | ^2 dS}
\nonumber \\
&=& \frac{\left( \frac{S}{2} \right)^2}{S \cdot \frac{S}{3}}
= \frac{3}{4} = 0.75
\end{eqnarray}
フラウンホーファ領域（$t=0$）の指向性関数$g(u)$は，ベッセル関数に関わる積分公式を用いて，
\begin{eqnarray}
g(u)
&=& 2\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 \int _0 ^1 E_a (\overline{\rho})
J_0 (u \overline{\rho}) \overline{\rho} d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2 S \int _0 ^1 (1- \overline{\rho}^2 )
J_0 (u \overline{\rho}) \overline{\rho} d\overline{\rho}
\nonumber \\
&=& 2 S \cdot \frac{2 J_2(u)}{u^2}
= S \frac{4 J_2(u)}{u^2}
\end{eqnarray}
相対電界指向性（ユニバーサル電界パターン）$\bar{g} (u)$は，
\begin{eqnarray}
\bar{g} (u)
&=& \frac{g(u)}{g(0)}
= \frac{\displaystyle{S \frac{4 J_2(u)}{u^2}}}{\displaystyle{\frac{S}{2}}}
\nonumber \\
&=& 8 \frac{J_2 (u)}{u^2}
\end{eqnarray}
ユニバーサル電界パターンのサイロドーブレベルは，ピーク値に対して第1サイドローブから順に，
$-24.6$，$-33.6$，$-39.7$，$-44.5$，$-48.4$，$-51.6$ dBとなる．
また，規格化した相対的な放射（電力）パターン$\bar{G}(\theta, \phi)$は，
\begin{gather}
\bar{G}(\theta, \phi)
= \left( \frac{1+\cos \theta}{2} \right)^2 \left| 8 \frac{J_2 (u)}{u^2} \right|^2
\end{gather}
放物線テーパ分布（$D=6 \lambda$）による放射パターン
【問題】次の極限を求めよ．
\begin{gather}
\mbox{(a)} \ \lim_{u \to 0} \frac{J_1 (u)}{u}, \ \ \ \ \
\mbox{(b)} \ \lim_{u \to 0} \frac{J_2 (u)}{u^2}
\end{gather}
略解 (a)
$u=0$ のとき，ロピタルの定理より，
\begin{eqnarray}
\lim _{u \to 0} \frac{J_1 (u)}{u}
&=& \frac{\displaystyle \lim _{u \to 0} \frac{d}{du} \ J_1(u)}{\displaystyle \lim _{u \to 0} \frac{d}{du} \ u}
\nonumber \\
&=& \frac{\displaystyle \lim _{u \to 0} \frac{1}{2} \{ J_0 (u) - J_2 (u) \} }{1}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} J_0 (0)
= \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\frac{d}{dx} J_n(x) = \frac{1}{2} \big( J_{n-1} (x) - J_{n+1} (x) \big)
\end{gather}
また，
\begin{gather}
J_0(0)=1, \ \ \ \
J_1(0)=0, \ \ \ \
J_2(0)=0
\end{gather}
略解 (b)
\begin{gather}
\lim_{u \to 0} \frac{J_2 (u)}{u^2} = \frac{1}{8}
\end{gather}