円形開口面分布による放射特性

円形開口面分布

　直径

D

の円形開口面分布

E_{a} (ρ, ϕ)

によるフレネル領域の指向性関数

g_{r} (R, Θ, Φ)

は，

\begin{matrix} (1) & g_{r} (R, Θ, Φ) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{D / 2} E_{a} (ρ, ϕ) e^{- j k \frac{ρ^{2}}{2 R}} e^{j k a_{R} \cdot ρ} ρ d ρ d ϕ \end{matrix}

ここで，観測方向に沿う単位ベクトル

a_{R}

，および開口面の座標を示す位置ベクトル

ρ

は，

\begin{array}{rcl} (2) & a_{R} & = & \sin Θ (\cos Φ a_{x} + \sin Φ a_{y}) + \cos Θ a_{z} \\ (3) & ρ & = & ρ a_{ρ} = ρ (\cos ϕ a_{x} + \sin ϕ a_{y}) \end{array}

で表され，

\begin{array}{rcl} a_{R} \cdot ρ & = & {\sin Θ (\cos Φ a_{x} + \sin Φ a_{y}) + \cos Θ a_{z}} \cdot ρ (\cos ϕ a_{x} + \sin ϕ a_{y}) \\ = & ρ \sin Θ (\cos Φ \cos ϕ + \sin Φ \sin ϕ) \\ (4) & = & ρ \sin Θ \cos (Φ - ϕ) \end{array}

また，位相項は次のようになる．

\begin{matrix} (5) & k (a_{R} \cdot ρ) = \frac{2 π}{λ} ρ \sin Θ \cos (Φ - ϕ) \end{matrix}

いま，

\begin{array}{rcl} (6) & \overset{―}{ρ} & \equiv & \frac{2 ρ}{D} \\ (7) & u & \equiv & \frac{π D}{λ} \sin Θ \end{array}

とおくと，

\begin{aligned} (8) & k (a_{R} \cdot ρ) = u \overset{―}{ρ} \cos (Φ - ϕ) \\ (9) & d \overset{―}{ρ} = \frac{2}{D} d ρ \end{aligned}

また，

\begin{matrix} (10) & t \equiv \frac{D^{2}}{8 λ R} \end{matrix}

とおくと，

\begin{array}{rcl} k \frac{ρ^{2}}{2 R} & = & \frac{2 π}{λ} \cdot \frac{1}{2 R} {(\frac{D}{2} \overset{―}{ρ})}^{2} \\ = & 2 π (\frac{D^{2}}{8 λ R}) {\overset{―}{ρ}}^{2} \\ (11) & = & 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2} \end{array}

これより，フレネル領域の指向性関数

g_{r} (R, Θ, Φ)

は次のようになる．

\begin{matrix} (12) & g_{r} (R, Θ, Φ) = {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} E_{a} (ρ, ϕ) e^{- j 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2}} e^{j u \overset{―}{ρ} \cos (Φ - ϕ)} \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} d ϕ \end{matrix}

回転対称な円形開口面分布

　開口面分布

E_{a}

が回転対称な場合，

ϕ

に関する定積分が可能で，

\begin{matrix} (13) & e^{j u \overset{―}{ρ} \cos (Φ - ϕ)} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} (j)^{n} J_{n} (u \overset{―}{ρ}) e^{j n (Φ - ϕ)} \end{matrix}

を用いると，指向性関数

g_{r} (R, Θ, Φ)

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} g_{r} & = & {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} E_{a} (\overset{―}{ρ}) e^{- j 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2}} {\sum_{n = - \infty}^{\infty} (j)^{n} J_{n} (u \overset{―}{ρ}) e^{j n (Φ - ϕ)}} \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} d ϕ \\ = & {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} E_{a} (\overset{―}{ρ}) e^{- j 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2}} {\sum_{n = - \infty}^{\infty} (j)^{n} J_{n} (u \overset{―}{ρ}) \int_{0}^{2 π} e^{j n (Φ - ϕ)} d ϕ} \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \end{array}

ただし，

J_{n}

は

n

次の第１種ベッセル関数を示す．上式の

ϕ

に関する積分は，

\begin{matrix} (14) & \int_{0}^{2 π} e^{j n (Φ - ϕ)} d ϕ = {\begin{array}{cl} 2 π & (n = 0) \\ 0 & (n \neq 0) \end{array} \end{matrix}

よって，

g_{r} (R, Θ, Φ)

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} g_{r} (R, Θ, Φ) & = & {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} E_{a} (\overset{―}{ρ}) e^{- j 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2}} {j^{0} J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \cdot 2 π} \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \\ (15) & = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} E_{a} (\overset{―}{ρ}) e^{- j 2 π t {\overset{―}{ρ}}^{2}} J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \end{array}

円形一様開口面分布

　開口面分布の振幅，位相が一様の場合，つまり

E_{a}

を一定と考えると，ベッセルの不定積分公式

\begin{matrix} (16) & \int J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} = \frac{\overset{―}{ρ}}{u} J_{1} (u \overset{―}{ρ}) \end{matrix}

より，フラウンホーファ領域（

t = 0

）の指向性関数

g (u)

は（

E_{a} (x, y) = E_{0}

は一定，

S

は円形開口面の面積），

\begin{array}{rcl} g (u) & = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} E_{0} \int_{0}^{1} J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \\ = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} E_{0} {[\frac{\overset{―}{ρ}}{u} J_{1} (u \overset{―}{ρ})]}_{0}^{1} \\ (17) & = & 2 S E_{0} \frac{J_{1} (u)}{u} \end{array}

また，

\begin{matrix} (18) & g (0) = E_{0} \iint_{A} d S = E_{0} S \end{matrix}

相対電界指向性（ユニバーサル電界パターン）

\bar{g} (u)

は，

\begin{array}{rcl} \bar{g} (u) & = & \frac{g (u)}{g (0)} = \frac{2 S E_{a} \frac{J_{1} (u)}{u}}{E_{a} S} \\ (19) & = & 2 \frac{J_{1} (u)}{u} \end{array}

ユニバーサル電界パターンのサイロドーブレベルは，ピーク値に対して第1サイドローブから順に，

- 17.6

，

- 23.8

，

- 28.0

，

- 31.2

，

- 33.6

，

- 35.7

dBとなる．また，規格化した相対的な放射（電力）パターン

\bar{G} (θ, ϕ)

は，

\begin{matrix} (20) & \bar{G} (θ, ϕ) = {(\frac{1 + \cos θ}{2})}^{2} {| 2 \frac{J_{1} (u)}{u} |}^{2} \end{matrix}

放物線テーパ分布

　回転対称の円形開口面分布において，半径

ρ

方向に放物線テーパ（Parabolic taper）のとき，

ρ = \frac{D}{2} \overset{―}{ρ}

とおいて，

\begin{array}{rcl} E (ρ) & = & 1 - {(\frac{2 ρ}{D})}^{2} \\ (21) & = & 1 - {\overset{―}{ρ}}^{2} = E (\overset{―}{ρ}) \end{array}

これより，

\begin{array}{rcl} g (0) & = & \iint_{A} E (ρ) d S \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{D}{2}} {1 - {(\frac{2 ρ}{D})}^{2}} ρ d ϕ d ρ \\ = & (\int_{0}^{2 π} d ϕ) {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} (\overset{―}{ρ} - {\overset{―}{ρ}}^{3}) d \overset{―}{ρ} \\ = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} {[\frac{{\overset{―}{ρ}}^{2}}{2} - \frac{{\overset{―}{ρ}}^{4}}{4}]}_{0}^{1} \\ (22) & = & \frac{S}{2} \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} \iint_{A} | E (ρ) |^{2} d S & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} {1 - {(\frac{2 ρ}{D})}^{2}}^{2} ρ d ϕ d ρ \\ = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} (\overset{―}{ρ} - 2 {\overset{―}{ρ}}^{3} + {\overset{―}{ρ}}^{5}) d \overset{―}{ρ} \\ = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} {[\frac{{\overset{―}{ρ}}^{2}}{2} - \frac{{\overset{―}{ρ}}^{4}}{2} + \frac{{\overset{―}{ρ}}^{6}}{6}]}_{0}^{1} \\ (23) & = & \frac{S}{3} \end{array}

開口能率

η_{a}

は，

\begin{array}{rcl} η_{a} & = & \frac{{| \iint_{A} E_{a} d S |}^{2}}{S \iint_{A} | E_{a} |^{2} d S} \\ (24) & = & \frac{{(\frac{S}{2})}^{2}}{S \cdot \frac{S}{3}} = \frac{3}{4} = 0.75 \end{array}

フラウンホーファ領域（

t = 0

）の指向性関数

g (u)

は，ベッセル関数に関わる積分公式を用いて，

\begin{array}{rcl} g (u) & = & 2 π {(\frac{D}{2})}^{2} \int_{0}^{1} E_{a} (\overset{―}{ρ}) J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \\ = & 2 S \int_{0}^{1} (1 - {\overset{―}{ρ}}^{2}) J_{0} (u \overset{―}{ρ}) \overset{―}{ρ} d \overset{―}{ρ} \\ (25) & = & 2 S \cdot \frac{2 J_{2} (u)}{u^{2}} = S \frac{4 J_{2} (u)}{u^{2}} \end{array}

相対電界指向性（ユニバーサル電界パターン）

\bar{g} (u)

は，

\begin{array}{rcl} \bar{g} (u) & = & \frac{g (u)}{g (0)} = \frac{S \frac{4 J_{2} (u)}{u^{2}}}{\frac{S}{2}} \\ (26) & = & 8 \frac{J_{2} (u)}{u^{2}} \end{array}

ユニバーサル電界パターンのサイロドーブレベルは，ピーク値に対して第1サイドローブから順に，

- 24.6

，

- 33.6

，

- 39.7

，

- 44.5

，

- 48.4

，

- 51.6

dBとなる．また，規格化した相対的な放射（電力）パターン

\bar{G} (θ, ϕ)

は，

\begin{matrix} (27) & \bar{G} (θ, ϕ) = {(\frac{1 + \cos θ}{2})}^{2} {| 8 \frac{J_{2} (u)}{u^{2}} |}^{2} \end{matrix}

【問題】次の極限を求めよ．

\begin{matrix} (28) & (a) lim_{u \to 0} \frac{J_{1} (u)}{u}, (b) lim_{u \to 0} \frac{J_{2} (u)}{u^{2}} \end{matrix}

略解 (a)

u = 0

のとき，ロピタルの定理より，

\begin{array}{rcl} lim_{u \to 0} \frac{J_{1} (u)}{u} & = & \frac{lim_{u \to 0} \frac{d}{d u} J_{1} (u)}{lim_{u \to 0} \frac{d}{d u} u} \\ = & \frac{lim_{u \to 0} \frac{1}{2} {J_{0} (u) - J_{2} (u)}}{1} \\ (29) & = & \frac{1}{2} J_{0} (0) = \frac{1}{2} \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (30) & \frac{d}{d x} J_{n} (x) = \frac{1}{2} (J_{n - 1} (x) - J_{n + 1} (x)) \end{matrix}

また，

\begin{matrix} (31) & J_{0} (0) = 1, J_{1} (0) = 0, J_{2} (0) = 0 \end{matrix}

略解 (b)

\begin{matrix} (32) & lim_{u \to 0} \frac{J_{2} (u)}{u^{2}} = \frac{1}{8} \end{matrix}