1.5 フレネル領域放射電界
電界ベクトル$\VEC{E}_p$の直交するスカラ成分$E_\xi$，$E_\eta$は，
\begin{gather}
E_{\xi \choose \eta} (R, \Theta , \Phi)
= j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R}
\iint_A E_{x \choose y} (x,y) e^{-jk(r -R)} dS
\label{eq:scalar_ep}
\end{gather}
第2項までで近似して，
\begin{gather}
r-R \simeq -\rho \left( \VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{a}_{\rho } \right)
+ \frac{\rho ^2}{2R}
\label{eq:nro10rb2} \ \ \ \ \
\end{gather}
このとき，$e^{-jk(r-R)} $は次のように近似できる．
\begin{gather}
e^{-jk(r-R)} \simeq e^{j \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho} }
e^{-jk \frac{\rho ^2}{2R}}
\end{gather}
とすると，放射電界$E_p $は次のようになり，このような領域をフレネル領域（Fresnel region）という．
\begin{align}
&E_p
= j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R} g_r (k_x, k_y, R)
\\
&g_r (k_x, k_y, R) = \iint _{-\infty }^{\infty } u_r (x,y,R)
e^{j \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho} } dxdy
\\
&u_r (x,y,R) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle{ E_a(x,y) e^{-jk \frac{\rho ^2}{2R} }} & \mbox{ (inside A) } \\
\displaystyle{ 0 } & \mbox{ (outside A) } \\
\end{array} \right.
\end{align}
このときも開口面分布はフーリエ変換によって求めることができ，
\begin{gather}
u_r (x,y,R) = \frac{1}{(2 \pi )^2 } \iint _{-\infty }^{\infty }
g_r (k_x, k_y ,R) e^{-j \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho} } dk_x dk_y
\label{eq:nro10Upb}
\end{gather}
この場合もフーリエ変換対によって表され，高速フーリエ変換を用いて計算できる．
フレネル領域の距離$R$の下限については，はっきりとした定義がないが，一つの目安として，無視した位相の第３項が$\lambda /16$以下とすると，
$\displaystyle{\frac{(D/2)^4}{8R^3} < \frac{\lambda}{16}}$より，
\begin{gather}
\frac{2D^2}{\lambda } > R > \frac{D}{2} \left( \frac{D}{\lambda} \right) ^{1/3}
\end{gather}
を満たす範囲となる．一方，$1/R$の項で近似できる領域は放射近傍領域と呼ばれ，
$1/R$の項だけでは表せない波源の近傍は，誘導性近傍領域と呼ばれる．