1.4 フラウンホーファ領域放射電界
電界ベクトル$\VEC{E}_p$の直交するスカラ成分$E_\xi$，$E_\eta$は，
\begin{gather}
E_{\xi \choose \eta} (R, \Theta , \Phi)
= j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R}
\iint_A E_{x \choose y} (x,y) e^{-jk(r -R)} dS
\label{eq:scalar_ep}
\end{gather}
観測点が十分遠方の場合，次のように近似する．
\begin{gather}
r-R \simeq -\rho \left( \VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{a}_{\rho } \right)
\label{eq:nro10rb2}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_{_R} &=& \sin \Theta \left( \cos \Phi \VEC{a}_x
+ \sin \Phi \VEC{a}_y \right) + \cos \Theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_{\rho } &=& \cos \varphi \VEC{a}_x + \sin \varphi \VEC{a}_y
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{a}_{_R} $は観測点を表す極座標系
$(R,\Theta ,\Phi )$の$R$方向に沿う単位ベクトル，
$\VEC{a}_{\rho } $は開口面を表す円筒座標系$(\rho, \varphi, z)$の$\rho $方向に沿う単位ベクトル，
$\VEC{a}_x$，$\VEC{a}_y$，$\VEC{a}_z$は直角座標系$(x,y,z)$の直交単位ベクトルを示す．
波数ベクトル$\VEC{k}$より，横断面内波数ベクトル$\VEC{k}_t$を
\begin{eqnarray}
\VEC{k} &=& k \VEC{a}_{_R}
\nonumber \\
&=& k_x \VEC{a}_x + k_y \VEC{a}_y + k_z \VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& \VEC{k} _t + k_z \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
で定義すると，
\begin{eqnarray}
k \rho ( \VEC{a}_{_R} \cdot \VEC{a}_{\rho } )
&=& (k \VEC{a}_{_R} ) \cdot (\rho \VEC{a}_\rho )
\nonumber \\
&=& \VEC{k} \cdot \VECi{\rho}
= \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}
\nonumber \\
&=& k_x x + k_y y
\end{eqnarray}
放射電界$E_p$と開口面分布$E_a$との関係は，逆フーリエ変換によって次のように表される．
\begin{gather}
E_p = j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R} g (k_x, k_y )
\label{eq:nro45-f1} \\
g (k_x, k_y ) = \iint _{-\infty }^{\infty } u (x,y)
e^{j \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho} } dxdy
\label{eq:nro45-f3} \\
u (x,y) = \left\{
\begin{array}{ll}
E_a(x,y) & \mbox{ (inside A) } \\
0 & \mbox{ (outside A) }
\end{array} \right.
\label{eq:nro45-f2}
\end{gather}
ただし，
$\VEC{k}_t $は横断面内波数ベクトルを示し，次のように定義される．
\begin{gather}
\VEC{k}_t = k_x \VEC{a}_x + k_y \VEC{a}_y
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
k_x &=& k \sin \Theta \cos \Phi
\\
k_y &=& k \sin \Theta \sin \Phi
\end{eqnarray}
さらに，フーリエ変換より，
\begin{gather}
u (x,y) = \frac{1}{(2 \pi )^2 } \iint _{-\infty }^{\infty }
g (k_x, k_y ) e^{-j \VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho} } dk_x dk_y
\label{eq:nro45-f4}
\end{gather}
が成り立ち，放射特性を表す$g (k_x, k_y )$がわかれば，逆に開口面分布を表す$u (x,y)$が得られることになる．
このような連続フーリエ変換対は，離散フーリエ変換対として扱われることが多い．
さて，式\eqref{eq:scalar_ep}の近似について，具体的に考えてみる．
式\eqref{eq:scalar_ep}の第2項の
$\displaystyle{\frac{\rho ^2}{2R}}$が十分小さい場合であり，開口径を$D$とすると，$\rho$の最大値は$D/2$であり，このとき，式\eqref{eq:scalar_ep}の第2項の最大値は
$\displaystyle{\frac{(D/2)^2}{2R}}$となる．この最大値が
$\lambda /16$以下となれば（$\lambda $は波長），第1項が支配的であるとみなしてよい．つまり，
$\displaystyle{\frac{(D/2)^2}{2R} < \frac{\lambda}{16}}$のとき，近似が妥当であり，$R$の条件式は，
\begin{gather}
R \gt \frac{2D^2}{\lambda }
\end{gather}
となる．この範囲の放射領域を，フラウンホーファ領域（Fraunhofer region）という．