1.3 開口面法（開口面が平面の場合）
電界$\VEC{E}_a$と磁界$\VEC{H}_a$の関係が，
\begin{gather}
\VEC{H}_a = \alpha ( \VEC{s} \times \VEC{E}_a )
\end{gather}
とおける場合（後述するホーン），電界$\VEC{E}_p$ の式に見られる$\VEC{H}_a$の項は，
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a )
&=& \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{n} \times \alpha (\VEC{s} \times \VEC{E}_a )
\nonumber \\
&=& \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \Big\{ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a ) \VEC{s} - (\VEC{n} \cdot \VEC{s}) \VEC{E}_a \Big\}
\end{eqnarray}
これより，電界$\VEC{E}_p$ は2次波源の磁界$\VEC{H}_a$を消去して次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _{S_i}
\left[ \VEC{n} \times \VEC{E}_a
- \VEC{a}_{_R} \times \alpha \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \Big\{ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a ) \VEC{s}
- (\VEC{n} \cdot \VEC{s}) \VEC{E}_a \Big\} \right]
e^{j\psi _1} dS
\end{eqnarray}
あるいは，一様媒質の空間中で2次波源$\VEC{E}_a$，$\VEC{H}_a$が，局所的な平面波とみなせるとき，
\begin{gather}
\VEC{H}_a = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} ( \VEC{s} \times \VEC{E}_a )
\end{gather}
この場合には，次のように$\VEC{E}_a$を用いて表すことができる．
\begin{eqnarray}
\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a )
&=& \VEC{n} \times (\VEC{s} \times \VEC{E}_a )
\nonumber \\
&=& (\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a ) \VEC{s} - (\VEC{n} \cdot \VEC{s}) \VEC{E}_a
\end{eqnarray}
これより，電界$\VEC{E}_p$ は2次波源の磁界$\VEC{H}_a$を消去して次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _{S_i}
\left[ \VEC{n} \times \VEC{E}_a
- \VEC{a}_{_R} \times \left\{ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a ) \VEC{s}
- (\VEC{n} \cdot \VEC{s}) \VEC{E}_a \right\} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber \\
&=& \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _{S_i}
\left[ \left\{ \VEC{n} + (\VEC{n} \cdot \VEC{s}) \VEC{a}_{_R} \right\} \times \VEC{E}_a
- (\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a ) \VEC{a}_{_R} \times \VEC{s} \right]
e^{j\psi _1} dS
\nonumber
\end{eqnarray}
ただし，
$k$は自由空間波数，
$R$は原点から観測点までの距離，
$\VEC{a}_{_R}$は観測方向の単位ベクトル，
$\VEC{E}$は開口面$S_i$上の電界，
$\VEC{n}$は開口面上の法線ベクトル，
$\VEC{s}$は電磁界に直交する単位ベクトル，
$\psi _1 = -r+R$（$r$は開口面から観測点までの距離）である．
積分領域である曲面を波面上にとれば，
$\VEC{s} = \VEC{n}$，
$\VEC{n} \cdot \VEC{E}_a = 0$
が成り立ち，このとき，放射電界$\VEC{E}_p$ は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_p
= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times \iint _A
\left\{ ( \VEC{n} + \VEC{a}_{_R} ) \times \VEC{E}_a \right\}
e^{j\psi _1} dS
\end{gather}
ただし，$A$は開口面（aperture）を示し，$\VEC{E}_a$を通常，開口面分布（aperture-field distribution）という．
さらに，波面が平面の場合（$\VEC{n}$は積分変数に依らない），放射電界$\VEC{E}_p$ は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_p
= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times
\left\{ ( \VEC{n} + \VEC{a}_{_R} ) \times \VEC{N} \right\}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\VEC{N} = \iint _A \VEC{E}_a e^{j\psi _1} dS
\end{gather}
直角座標系$(x,y,z)$において，$\VEC{n} = \VEC{a}_z$のとき，
放射電界$\VEC{E}_p$ は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_p
= \frac{-jk}{4\pi R} e^{-jkR} \ \VEC{a}_{_R} \times
\left\{ ( \VEC{a}_z + \VEC{a}_{_R} ) \times \VEC{N} \right\}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\VEC{N}
= (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_x + (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_y
= \iint _A \VEC{E}_a e^{j\psi _1} dS
\end{gather}
ただし，$\VEC{N} \cdot \VEC{a}_z = 0$．ここで，
$\VEC{a}_x$，$\VEC{a}_y$，$\VEC{a}_z$は，
$x$，$y$，$z$に沿う単位ベクトルを各々示す．
図に示す球座標系$(R, \Theta , \Phi)$において，
$\Theta $，$\Phi $に沿う単位ベクトル$\VEC{a}_\Theta$，$\VEC{a}_\Phi$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\Theta
&=& \cos \Theta ( \cos \Phi \VEC{a}_x + \sin \Phi \VEC{a}_y ) - \sin \Theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_\Phi
&=& -\sin \Phi \VEC{a}_x + \cos \Phi \VEC{a}_y
\end{eqnarray}
開口面法に関わる座標系の定義
新たに
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\xi
&\equiv& \cos \Phi \VEC{a}_\Theta - \sin \Phi \VEC{a}_\Phi
\\
\VEC{a}_\eta
&\equiv& \sin \Phi \VEC{a}_\Theta + \cos \Phi \VEC{a}_\Phi
\end{eqnarray}
を定義する．これより，次のように変形する（問題参照）．
\begin{gather}
\VEC{a}_{_R} \times \left\{ ( \VEC{a}_z + \VEC{a}_{_R} ) \times \VEC{N} \right\}
= -(1+\cos \Theta )
\{ (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_\xi + (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_\eta \}
\label{eq:ap-pol}
\end{gather}
開口面分布$\VEC{E}_a (\equiv E_x \VEC{a}_x + E_y \VEC{a}_y)$による放射電界$\VEC{E}_p$ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{jk}{4\pi R} e^{-jkR}
(1+\cos \Theta )
\{ (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_\xi + (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_\eta \}
\nonumber \\
&=& j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R}
\left( N_x \VEC{a}_{\xi } + N_y \VEC{a}_{\eta } \right)
\nonumber \\
&\equiv& E_\xi \VEC{a}_\xi + E_\eta \VEC{a}_\eta
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
N_x &=& \VEC{N} \cdot \VEC{a}_x
= \iint _A (\VEC{E}_a \cdot \VEC{a}_x ) e^{j\psi _1} dS
= \iint _A E_x e^{j\psi _1} dS \\
N_y &=& \VEC{N} \cdot \VEC{a}_y
= \iint _A (\VEC{E}_a \cdot \VEC{a}_y ) e^{j\psi _1} dS
= \iint _A E_y e^{j\psi _1} dS
\end{eqnarray}
ただし，$\psi _1 \equiv -k(r-R)$．これより，電界ベクトル$\VEC{E}_p$の直交成分$E_\xi$，$E_\eta$は，
\begin{gather}
E_{\xi \choose \eta} (R, \Theta , \Phi)
= j \frac{1+ \cos \Theta}{2 \lambda} \cdot \frac{e^{-jkR}}{R}
\iint_A E_{x \choose y} (x,y) e^{-jk(r -R)} dS
\label{eq:scalar_ep}
\end{gather}
したがって，開口面電界分布$\VEC{E}_a$が$x$成分のみ
($\VEC{E}_a \cdot \VEC{a}_y =0$)の場合，放射電界$\VEC{E}_p$は$\VEC{a} _{\xi } $方向成分のみ
($\VEC{E}_p \cdot \VEC{a}_{\eta } =0$)で表され，逆に開口面電界分布$\VEC{E}_a$が$y$成分のみ
($\VEC{E}_a \cdot \VEC{a}_x =0$)の場合，放射電界$\VEC{E}_p$は$\VEC{a} _{\eta } $方向成分のみ
($\VEC{E}_p \cdot \VEC{a}_{\xi } =0$)で表される．このようにして各々の成分は独立な式で扱うことができ，直線偏波の場合，ベクトルの成分（スカラ）だけで解析すればよい．
開口面(平面)における励振偏波成分と放射電界における主偏波および交差偏波成分との対応関係をまとめると次のようになる．
表 開口面法に基づく偏波の対応関係
\begin{array}{c|cc}
\hline \hline
{励振偏波}&{\VEC{a}_x(垂直)}&{\VEC{a}_y(水平)} \\ \hline
{主偏波}&{\VEC{a}_{\xi }成分}&{\VEC{a}_{\eta }成分} \\
{交差偏波}&{\VEC{a}_{\eta }成分}&{\VEC{a}_{\xi }成分} \\
\hline
\end{array}
【問題】式\eqref{eq:ap-pol}を導出せよ．
略解
球座標系$(R, \Theta, \Phi)$の単位ベクトル$\VEC{a}_R$，$\VEC{a}_\Theta$，$\VEC{a}_\Phi$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R
&=& \sin \Theta \big( \cos \Phi \VEC{a}_x + \sin \Phi \VEC{a}_y \big)
+ \cos \Theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_\Theta
&=& \cos \Theta \big( \cos \Phi \VEC{a}_x + \sin \Phi \VEC{a}_y \big)
- \sin \Theta \VEC{a}_z
\\
\VEC{a}_\Phi
&=& -\sin \Phi \VEC{a}_x + \cos \Phi \VEC{a}_y
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R &=& \VEC{a}_\Theta \times \VEC{a}_\Phi
\\
\VEC{a}_\Theta &=& \VEC{a}_\Phi \times \VEC{a}_R
\\
\VEC{a}_\Phi &=& \VEC{a}_R \times \VEC{a}_\Theta
\end{eqnarray}
逆の関係は，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_x
&=& \cos \Phi \big( \sin \Theta \VEC{a}_R + \cos \Theta \VEC{a}_\Theta \big)
- \sin \Phi \VEC{a}_\Phi
\\
\VEC{a}_y
&=& \sin \Phi \big( \sin \Theta \VEC{a}_R + \cos \Theta \VEC{a}_\Theta \big)
+ \cos \Phi \VEC{a}_\Phi
\\
\VEC{a}_z &=& \cos \Theta \VEC{a}_R - \sin \Theta \VEC{a}_\Theta
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R \times \VEC{a}_x
&=& \VEC{a}_R \times \big\{ \cos \Phi \big( \sin \Theta \VEC{a}_R
+ \cos \Theta \VEC{a}_\Theta \big) - \sin \Phi \VEC{a}_\Phi \big\}
\nonumber \\
&=& \cos \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi + \sin \Phi \VEC{a}_\Theta
\\
\VEC{a}_R \times \VEC{a}_y
&=& \VEC{a}_R \times \big\{ \sin \Phi \big( \sin \Theta \VEC{a}_R
+ \cos \Theta \VEC{a}_\Theta \big) + \cos \Phi \VEC{a}_\Phi \big\}
\nonumber \\
&=& \sin \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi - \cos \Phi \VEC{a}_\Theta
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:ap-pol}の左辺は，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{a}_R \times \big\{ (\VEC{a}_z + \VEC{a}_R) \times \VEC{N} \big\}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_R \times \big\{ (\VEC{a}_z + \VEC{a}_R) \times
(N_x \VEC{a}_x + N_y \VEC{a}_y ) \big\}
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_R \times \big\{
N_x (\VEC{a}_y + \VEC{a}_R \times \VEC{a}_x )
+ N_y(-\VEC{a}_x + \VEC{a}_R \times \VEC{a}_y )
\big\}
\nonumber \\
&=& N_x \big\{ \VEC{a}_R \times \VEC{a}_y
+ \VEC{a}_R \times (\cos \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi + \sin \Phi \VEC{a}_\Theta) \big\}
\nonumber \\
&&+ N_y \big\{ -\VEC{a}_R \times \VEC{a}_x
+ \VEC{a}_R \times (\sin \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi - \cos \Phi \VEC{a}_\Theta) \big\}
\nonumber \\
&=& N_x \big\{ (\sin \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi - \cos \Phi \VEC{a}_\Theta)
+ (-\cos \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Theta + \sin \Phi \VEC{a}_\Phi) \big\}
\nonumber \\
&&+ N_y \big\{ -(\cos \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Phi + \sin \Phi \VEC{a}_\Theta)
+ (-\sin \Phi \cos \Theta \VEC{a}_\Theta - \cos \Phi \VEC{a}_\Phi) \big\}
\nonumber \\
&=& N_x \big\{ -\cos \Phi (1 +\cos \Theta) \VEC{a}_\Theta
+ \sin \Phi (\cos \Theta + 1) \VEC{a}_\Phi \big\}
\nonumber \\
&&+ N_y \big\{ -\sin \Phi (1 +\cos \Theta) \VEC{a}_\Theta
- \cos \Phi (\cos \Theta + 1) \VEC{a}_\Phi \big\}
\nonumber \\
&=& -(1 +\cos \Theta) \big\{ N_x (\cos \Phi \VEC{a}_\Theta - \sin \Phi \VEC{a}_\phi)
+ N_y (\sin \Phi \VEC{a}_\Theta + \cos \Phi \VEC{a}_\phi) \big\}
\nonumber
\end{eqnarray}
単位ベクトル
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_\xi
&=& \cos \Phi \VEC{a}_\Theta - \sin \Phi \VEC{a}_\Phi
\\
\VEC{a}_\eta
&=& \sin \Phi \VEC{a}_\Theta + \cos \Phi \VEC{a}_\Phi
\end{eqnarray}
を用いると，
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R &=& \VEC{a}_\xi \times \VEC{a}_\eta
\\
\VEC{a}_\xi &=& \VEC{a}_\eta \times \VEC{a}_R
\\
\VEC{a}_\eta &=& \VEC{a}_R \times \VEC{a}_\xi
\end{eqnarray}
したがって，次式が得られる．
\begin{eqnarray}
\VEC{a}_R \times \big\{ (\VEC{a}_z + \VEC{a}_R) \times \VEC{N} \big\}
&=& -(1 +\cos \Theta) \big( N_x \VEC{a}_\xi + N_y \VEC{a}_\eta \big)
\nonumber \\
&=& -(1+\cos \Theta )
\big\{ (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_x ) \VEC{a}_\xi
+ (\VEC{N} \cdot \VEC{a}_y ) \VEC{a}_\eta \big\}
\end{eqnarray}