1.2 開口面法（開口面が曲面の場合）
開口面の電磁界を$\VEC{E}_a$，$\VEC{H}_a$，
観測点$P$での電磁界を$\VEC{E}_p$，$\VEC{H}_p$とすると，
$k^2 = \omega ^2 \epsilon \mu$より，
開口面法（aperture-field method）の基本式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \iint _A
\Big\{ k^2 ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a ) \psi
\nonumber \\
&&+ ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a ) \cdot \nabla (\nabla \psi)
+ j \omega \epsilon (\VEC{n} \times \VEC{E}_a) \times \nabla \psi \Big\} dS
\end{eqnarray}
同様にして，磁界$\VEC{H}_p$は（導出省略），
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p
&=& -\frac{1}{4\pi j \omega \mu} \iint _A
\Big\{ k^2 ( \VEC{n} \times \VEC{E}_a ) \psi
\nonumber \\
&&+ ( \VEC{n} \times \VEC{E}_a ) \cdot \nabla (\nabla \psi)
- j \omega \mu (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \times \nabla \psi \Big\} dS
\end{eqnarray}
開口面のある点から観測点$P$までの距離および単位ベクトルを$r$，
$\VEC{a}_r$とすると，開口面の座標に関わる微分演算子$\nabla$の勾配は，
\begin{eqnarray}
\nabla \psi
&=& \nabla \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& (-\VEC{a}_r) \left( -jk - \frac{1}{r} \right) \frac{e^{-jkr}}{r}
\nonumber \\
&=& jk \left( 1 + \frac{1}{jkr} \right) \psi \VEC{a}_r
\end{eqnarray}
さらに，
\begin{gather}
\nabla (\nabla \psi )
= \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 \frac{\partial ^2\psi}{\partial x_i \partial x_j} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\end{gather}
放射波（$1/r$に比例する項）を求めることにすると，$kr \gg 1$とみなして次のように近似できる．
\begin{align}
&\nabla \psi \simeq jk \psi \VEC{a}_r
\\
&\nabla (\nabla \psi ) \simeq (jk)^2 \psi \VEC{a}_r \VEC{a}_r
\end{align}
これより，放射電界$\VEC{E}_p$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&\simeq& \frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \iint _A
\Big\{ k^2 ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&&+ ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a ) \cdot (-k^2) \VEC{a}_r \VEC{a}_r
+ j \omega \epsilon (\VEC{n} \times \VEC{E}_a) \times jk \VEC{a}_r \Big\} \psi dS
\end{eqnarray}
ベクトル公式
\begin{gather}
\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c} )
= (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) \VEC{b} - (\VEC{a} \cdot \VEC{b} ) \VEC{c}
\end{gather}
を用いれば，
\begin{align}
&\VEC{a}_r \times ( \VEC{a}_r \times \VEC{J} )
= (\VEC{a}_r \cdot \VEC{J}) \VEC{a}_r - (\VEC{a}_r \cdot \VEC{a}_r ) \VEC{J}
= (\VEC{a}_r \cdot \VEC{J}) \VEC{a}_r - \VEC{J}
\nonumber \\
&\VEC{J}
= (\VEC{a}_r \cdot \VEC{J}) \VEC{a}_r - \VEC{a}_r \times ( \VEC{a}_r \times \VEC{J} )
\end{align}
および
$\VEC{J} = \VEC{n} \times \VEC{H}_a$
より，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \VEC{H}_a
= \{ \VEC{a}_r \cdot (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \} \VEC{a}_r
- \VEC{a}_r \times \{ \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \}
\nonumber \\ \therefore
\VEC{n} \times \VEC{H}_a - \{ ( \VEC{n} \times \VEC{H}_a ) \cdot \VEC{a}_r \} \VEC{a}_r
= - \VEC{a}_r \times \{ \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \}
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
\VEC{E}_p = \frac{jk}{4\pi} \iint _A
\left[ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_r \times \{ \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \}
- \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{E}_a) \right] \psi dS
\end{gather}
座標原点から観測点までの距離を$R$とし，
$kR \gg 1$のとき，次のように近似できる（$R \simeq r$）．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p &=& \frac{-jk}{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \iint _A
\left(
\VEC{a}_r \times \left[ (\VEC{n} \times \VEC{E}_a)
- \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \big\{ \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \big\}
\right] \right)
\nonumber \\
&&\cdot \frac{R}{r} e^{-jk(r-R)} dS
\end{eqnarray}
同様にして，磁界$\VEC{H}$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p &=& \frac{-jk}{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \iint _A
\left(
\VEC{a}_r \times \left[ (\VEC{n} \times \VEC{H}_a)
+ \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \big\{ \VEC{a}_r \times (\VEC{n} \times \VEC{E}_a) \big\}
\right] \right)
\nonumber \\
&&\cdot \frac{R}{r} e^{-jk(r-R)} dS
\end{eqnarray}
さらに，$\VEC{a}_R \simeq \VEC{a}_r$のとき，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p &=& \frac{jk}{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \VEC{a}_R \times \iint _A
\left[ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \{ \VEC{a}_R \times (\VEC{n} \times \VEC{H}_a) \}
+ (\VEC{E}_a \times \VEC{n} )
\right]
\nonumber \\
&&\cdot e^{-jk(r-R)} dS
\end{eqnarray}
開口面の電界$\VEC{E}_a$，磁界$\VEC{H}_a$から，等価的な2次波源
\begin{gather}
\VEC{J} \equiv \VEC{n} \times \VEC{H}_a
\\
\VEC{M} \equiv \VEC{E}_a \times \VEC{n}
\end{gather}
を定義すれば，開口面法の式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \frac{jk}{4\pi} \frac{e^{-jkR}}{R} \VEC{a}_R \times \iint _A
\left( \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \VEC{a}_R \times \VEC{J} + \VEC{M} \right) e^{-jk(r-R)} dS
\nonumber \\
&=& jk G_0 \VEC{a}_R \times \iint _A
\big( \VEC{a}_R \times Z_0 \VEC{J} + \VEC{M} \big) e^{-jk(r-R)} dS
\end{eqnarray}
任意電磁流分布による放射電磁界の積分表示式と同様の結果となる．ここで，
\begin{gather}
G_0 = \frac{e^{-jkR}}{4 \pi R}, \ \ \ \ \
Z_0 = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
\end{gather}