1.1 面上の境界線での不連続を考慮した積分表示
電荷の保存則（連続の式）
電流密度を$\VEC{J}$，電荷密度を$\rho$とすると，電荷の保存則は，
\begin{gather}
\nabla \cdot \VEC{J}
= -\frac{\partial \rho}{\partial t}
= -j \omega \rho
\end{gather}
微小な領域において体積積分して，ガウスの発散定理より，
\begin{eqnarray}
&&\iiint \nabla \cdot \VEC{J} dV
= \oiint \VEC{J} \cdot d\VEC{S}
\nonumber \\
&=& -\iiint \frac{\partial \rho}{\partial t} dV
= -j \omega \iiint \rho dV
\end{eqnarray}
面$S$上の面電流密度を$\VEC{J}_s$，面電荷密度を$\rho_s$とすると，
\begin{gather}
\nabla_s \cdot \VEC{J}_s
= -\frac{\partial \sigma}{\partial t}
= - j \omega \rho_s
\end{gather}
ただし，$\nabla_s$は面$S$上の2次元微分演算子を示す．微小な面上の領域において面積積分して，2次元のガウスの発散定理より，
\begin{eqnarray}
&&\iint \nabla_s \cdot \VEC{J}_s dS
= \oint \VEC{J}_s \cdot \VEC{n}_s d\ell
\nonumber \\
&=& -\iint \frac{\partial \sigma}{\partial t} dS
= -j \omega \iint \rho_s dS
\end{eqnarray}
面電流分布の不連続
面$S$上において領域1,2が接している境界線上周辺に面積積分の積分範囲をとる．いま，境界線に沿う微小長さを$dl$，境界線に垂直な微小幅を$h$とおくと，
\begin{eqnarray}
\big( \VEC{J}_s^{(2)} - \VEC{J}_s^{(1)} \big) \cdot \VEC{n}_1 dl
&=& -\lim_{h\to 0} \frac{\partial \sigma}{\partial t} h dl
= - \frac{\partial \sigma_l}{\partial t} dl
\nonumber \\
&=& -\lim_{h\to 0} j \omega \rho_s h dl
= - j \omega \sigma dl
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{n}_1$は面$S$上の領域1から2に向く法線ベクトル，
$\sigma$は境界線上の線電荷密度を示し，
\begin{gather}
\sigma \equiv \lim_{h\to 0} h \rho_s
\end{gather}
また，$\VEC{J}_s^{(1)}$，$\VEC{J}_s^{(2)}$は，領域1,2の境界線での等価的な面電流密度を各々示し，
面$S$上の磁界を$\VEC{H}_1$，$\VEC{H}_2$とおくと，
\begin{gather}
\VEC{J}_s^{(i)} = \VEC{n} \times \VEC{H}_i \ \ \ \ (i=1,2)
\end{gather}
境界線に沿う単位ベクトルを$\VECi{\tau}$とおき，
$\VECi{\tau} = \VEC{n} \times \VEC{n}_1$とすると，不連続な面電流分布に対する境界条件の式が得られる$^\dagger$．
\begin{eqnarray}
\big( \VEC{J}_s^{(2)} - \VEC{J}_s^{(1)} \big) \cdot \VEC{n}_1
&=& \big( \VEC{n} \times \VEC{H}_2 - \VEC{n} \times \VEC{H}_1 \big) \cdot \VEC{n}_1
\nonumber \\
&=& ( \VEC{n}_1 \times \VEC{n} ) \cdot ( \VEC{H}_2 - \VEC{H}_1)
\nonumber \\
&=& -\VECi{\tau} \cdot ( \VEC{H}_2 - \VEC{H}_1)
\nonumber \\
&=& \VECi{\tau} \cdot ( \VEC{H}_1 - \VEC{H}_2)
\nonumber \\
&=& - j \omega \sigma
\end{eqnarray}
$\dagger$ Julius Adams Stratton, "Electromagnetic Theory,"
8.16. Discontinuous Surface Distributions, p.468, McGraw-Hill, New York (1941), Wiley-IEEE Press (2007),
Kindle Edition (2013).
線電荷，線磁荷の周回積分による電磁界
境界線上の領域1の面上の磁界を$\VEC{H}$とし
（$\VEC{H}_1=\VEC{H}$，$\VEC{H}_2=0$），
\begin{align}
&\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}_1 = \VECi{\tau} \cdot \VEC{H}= - j \omega \sigma
\\
&\therefore
\sigma = -\frac{\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}}{j \omega}
\end{align}
領域1の周囲の線電荷密度$\sigma$による電界$\VEC{E}_C$は，等価波源の面積分を線積分として，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_C
&=& \frac{1}{4\pi} \oint_C \frac{\sigma}{\epsilon} \nabla \psi ds
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
\label{eq:EC}
\end{eqnarray}
領域1の電界を$\VEC{E}$とし（$\VEC{E}_1=\VEC{E}$，$\VEC{E}_2=0$），双対性より，境界線上の線磁荷密度
$\sigma_m$は，
\begin{gather}
\sigma_m = \frac{\VECi{\tau} \cdot \VEC{E}}{j \omega}
\end{gather}
この線磁荷による磁界$\VEC{H}_C$もまた，等価波源の面積分を線積分として，あるいは双対性より，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_C
&=& \frac{1}{4\pi} \oint_C \frac{\sigma_m}{\mu} \nabla \psi ds
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi j \omega \mu} \oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{E}) ds
\end{eqnarray}
有限の開口面分布による電磁界の積分表示式
開口面分布の面積分の項に加えて，開口面の内部と外部とで連続の式を満足するように開口面の周囲の線電荷・線磁荷の周回積分の項を加え，開口面分布によって生じる電界
$\VEC{E}_p$，磁界
$\VEC{H}_p$は$^\ddagger$，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{4\pi} \iint _A
\left\{ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \psi
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} dS
\\
\VEC{H}_p
&=& \frac{1}{4\pi j \omega \mu} \oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{E}) ds
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{4\pi} \iint _A
\left\{ j\omega \epsilon ( \VEC{n} \times \VEC{E} ) \psi
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \nabla \psi \right\} dS
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:EC}の積分項について，直角座標系$(x_1, x_2, x_3)$を考え，
$x_i \ (i=1,2,3)$方向の単位ベクトルを$\VEC{i}_i$とすると，
\begin{eqnarray}
\oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
&=& \oint_C \left( \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{i}_i \right)
(\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i
\oint_C \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \cdot \VECi{\tau} ds
\end{eqnarray}
ただし，$\VECi{\tau}$は周回積分路に沿う方向の単位ベクトルを示す．上式の周回積分は，次のようにストークスの定理より，周回積分路$C$に囲まれた面$A$の面積分に変換できる．
\begin{gather}
\oint_C \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \cdot \VECi{\tau} ds
= \iint _A \left\{ \nabla \times \left( \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \right) \right\}
\cdot \VEC{n} dS
\end{gather}
被積分関数は，
\begin{eqnarray}
\left\{ \nabla \times \left( \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \right) \right\} \cdot \VEC{n}
&=& \left\{ \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right) \times \VEC{H}
+ \frac{\partial \psi}{\partial x_i} (\nabla \times \VEC{H}) \right\} \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& \left\{ \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right) \times \VEC{H} \right\} \cdot \VEC{n}
+ \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \big( \nabla \times \VEC{H} \big) \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& ( \VEC{H} \times \VEC{n}) \cdot \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right)
+ \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \big( j \omega \epsilon \VEC{E} \big) \cdot \VEC{n}
\nonumber \\
&=& -( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right)
+ j \omega \epsilon \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \big( \VEC{n} \cdot \VEC{E} \big)
\end{eqnarray}
電流源$\VEC{J}_0=0$，導電率$\sigma=0$として，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{H} = (j \omega \epsilon + \sigma) \VEC{E} + \VEC{J}_0
= j \omega \epsilon \VEC{E}
\end{gather}
つまり，周回積分項は，
\begin{eqnarray}
&&\oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i
\oint_C \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \cdot \VECi{\tau} ds
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i
\iint _A \left\{ \nabla \times \left( \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \VEC{H} \right) \right\}
\cdot \VEC{n} dS
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i
\iint _A \left\{ j \omega \epsilon \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \big( \VEC{n} \cdot \VEC{E} \big)
-( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right) \right\}
dS
\nonumber \\
&=& \iint _A \left[ j \omega \epsilon \big( \VEC{n} \cdot \VEC{E} \big) \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i \frac{\partial \psi}{\partial x_i}
- \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i \left\{ ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \right) \right\}
\right] dS
\nonumber \\
&=& \iint _A \left\{ j \omega \epsilon \big( \VEC{n} \cdot \VEC{E} \big) \nabla \psi
- ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \nabla (\nabla \psi) \right\} dS
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\nabla \psi = \sum_{i=1}^3 \VEC{i}_i \frac{\partial \psi}{\partial x_i}
\end{gather}
$\ddagger$ Samuel Silver, "Microwave Antenna Theory and Design," 5.11. The Aperture-field Method,
McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).
ベクトルの勾配
ベクトル関数$\VEC{F}$の勾配$\nabla \VEC{F}$は，
\begin{eqnarray}
\nabla \VEC{F}
&=& \nabla \left( \sum _{j=1}^3 F_j \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \left( \sum _{j=1}^3 \nabla F_j \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \frac{\partial F_j}{\partial x_1} \VEC{i}_1
+ \frac{\partial F_j}{\partial x_2} \VEC{i}_2 + \frac{\partial F_j}{\partial x_3} \VEC{i}_3 \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( \sum _{i=1}^3 \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \VEC{i}_i \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
となり，ダイアディック関数で表される．これより，
\begin{gather}
\VEC{F} = \sum _{j=1}^3 F_j \VEC{i}_j
= \nabla \psi
= \sum _{j=1}^3 \frac{\partial \psi}{\partial x_j} \VEC{i}_j
\end{gather}
とおくと，スカラ関数$\psi$の勾配の勾配$\nabla (\nabla \psi )$は，
\begin{gather}
\nabla (\nabla \psi )
= \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 \frac{\partial ^2\psi}{\partial x_i \partial x_j} \VEC{i}_i \VEC{i}_j
\end{gather}
いま，
\begin{align}
&\VEC{J} = \VEC{n} \times \VEC{H}
\\
&\psi'_j = \frac{\partial \psi}{\partial x_j}
\end{align}
とおいて，周回積分の第2項の被積分関数を計算していくと，
\begin{eqnarray}
\sum_{j=1}^3 \VEC{i}_j \left\{ ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \left( \nabla \frac{\partial \psi}{\partial x_j} \right) \right\}
&=& \sum_{j=1}^3 (\VEC{J} \cdot \nabla \psi_j') \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum_{j=1}^3 \left( \sum_{i=1}^3 J_i \frac{\partial \psi_j'}{\partial x_i} \right) \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 J_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sum_{j=1}^3 \psi_j' \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^3 J_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sum_{j=1}^3 \frac{\partial \psi}{\partial x_j} \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{J} \cdot \left( \sum _{i=1}^3 \sum _{j=1}^3 \frac{\partial ^2\psi}{\partial x_i \partial x_j} \VEC{i}_i \VEC{i}_j \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{J} \cdot \nabla (\nabla \psi)
\nonumber \\
&=& (\VEC{n} \times \VEC{H}) \cdot \nabla (\nabla \psi)
\end{eqnarray}
よって，$\VEC{E}_C$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_C
&=& -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \oint_C \nabla \psi (\VECi{\tau} \cdot \VEC{H}) ds
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi}
\iint _A \left\{ -( \VEC{n} \cdot \VEC{E} ) \nabla \psi
+ \frac{1}{j\omega \epsilon } ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \nabla (\nabla \psi) \right\} dS
\end{eqnarray}
一方，面積分で求められる電界$\VEC{E}_S$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_S
= \frac{1}{4\pi} \iint _A
\left\{ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \psi
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla \psi \right\} dS
\end{gather}
領域1の面$A$の開口面分布によって生じる電界$\VEC{E}_p$は，両者の和より，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p
&=& \VEC{E}_S + \VEC{E}_C
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \iint _A
\Big\{ - j\omega \mu ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \psi
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{j\omega \epsilon } ( \VEC{n} \times \VEC{H} ) \cdot \nabla (\nabla \psi)
+ (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla \psi \Big\} dS
\end{eqnarray}
同様にして，磁界$\VEC{H}_p$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p
&=& \VEC{E}_S + \VEC{E}_C
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \iint _A
\Big\{ j\omega \epsilon ( \VEC{n} \times \VEC{E} ) \psi
\nonumber \\
&&- \frac{1}{j\omega \mu } ( \VEC{n} \times \VEC{E} ) \cdot \nabla (\nabla \psi)
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla \psi \Big\} dS
\end{eqnarray}
このような積分表示式を開口面法（aperture-field method）という．