TRL校正の詳細
TRL校正\(^\dagger\)について詳しく導出して解説する．
\(\dagger\) G. F. Engen and C. A. Hoer,
“Thru-Reflect-Line: An improved technique for calibrating the dual six-port automatic network analyzer,”
IEEE Trans. On Micr. Theory and Tech. , vol.27, pp.987-993, Dec. 1979.
スルー（Through）
まず，スルーのとき，ポート0-3間のRマトリクス（測定値）は，
\begin{gather}
[R_{\mathrm{thru}}] = [R_a] [R_b]
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
[R_b] = [R_a]^{-1} [R_{\mathrm{thru}}]
\end{gather}
伝送線路（Line）
次に，図のように伝送線路（Line）を接続すると，
\begin{eqnarray}
[R_{line}] &=& [R_a] [R_l] [R_b]
\nonumber \\
&=& [R_a] [R_l] [R_a]^{-1} [R_{\mathrm{thru}}]
\end{eqnarray}
測定ポート間に伝送線路を接続した場合
これより，
\begin{gather}
[R_{\mathrm{line}}] [R_{\mathrm{thru}}]^{-1} = [R_a] [R_l] [R_a]^{-1}
\label{eq:tline}
\end{gather}
ただし，\([R_l]\)は線路長\(l\)の伝送線路のRマトリクスを示し，
次のようになる．
\begin{gather}
[R_l] =
\begin{pmatrix}
e^{-\gamma l} & 0 \\
0 & e^{\gamma l} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
ここで，測定値から求められる値を次のようにおく．
\begin{gather}
[R_{\mathrm{line}}] [R_{\mathrm{thru}}]^{-1} \equiv
\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
行列のトレース
要素\(a_{ij}\)（\(i, j=1,2, \cdots , n\)）からなる行列を\([A]\)とすると，行列のトレース\(\mbox{tr}\) は，対角要素\(a_{ii}\)の和より，
\begin{eqnarray}
\mbox{tr} \ [A]
&=& a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^n a_{ii}
\end{eqnarray}
行列\([A][B]\)のトレースは，
\begin{eqnarray}
\mbox{tr} \ [A] [B]
&=& \sum_{i=1}^n ([A] [B])_{ii}
\nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^n \left( \sum_{m=1}^n a_{im} b_{mi} \right)
\nonumber \\
&=& \sum_{m=1}^n \left( \sum_{i=1}^n b_{mi} a_{im} \right)
\nonumber \\
&=& \sum_{m=1}^n ([B] [A])_{mm}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \ [B] [A]
\end{eqnarray}
つまり，行列を入れ替えてもトレースは不変である．これより，
\begin{eqnarray}
\mbox{tr} ([P]^{-1}[A][P])
&=& \mbox{tr} \left\{ ([P]^{-1} [A]) [P] \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \left\{ [P] ([P]^{-1} [A]) \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \left\{ ([P] [P]^{-1}) [A] \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \left\{ [U] [A] \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \ [A]
\end{eqnarray}
ただし，\([U]\)は単位行列を示す．よって，行列の相似変換でもトレースは不変である．
伝送線路の電気長
式\eqref{eq:tline}の行列のトレースを求めると，
\begin{eqnarray}
\mbox{tr} \left\{ [R_{line}] [R_{thru}]^{-1} \right\}
&=& \mbox{tr} \left\{ [R_a] [R_l] [R_a]^{-1} \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \left\{ [R_a]^{-1} ([R_a] [R_l]) \right\}
\nonumber \\
&=& \mbox{tr} \ [R_l]
= e^{-\gamma l} + e^{\gamma l}
\end{eqnarray}
行列のトレースは，対角要素の和ゆえ，
\begin{eqnarray}
r_{11} + r_{22} &=& e^{-\gamma l} + e^{\gamma l}
\nonumber \\
&=& 2 \cosh \gamma l
\end{eqnarray}
よって，伝送線路の電気長\(\gamma l\)を求めることができる．
\begin{gather}
\gamma l = \cosh ^{-1} \left( \frac{r_{11} + r_{22}}{2} \right)
\end{gather}
誤差回路のSパラメータ
誤差回路のRマトリクス要素を
\begin{gather}
[R_a] \equiv
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(a)} & r_{12}^{(a)} \\ r_{21}^{(a)} & r_{22}^{(a)} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
とおくと，
\begin{align}
&[R_{\mathrm{line}}] [R_{\mathrm{thru}}]^{-1} = [R_a] [R_l] [R_a]^{-1}
\nonumber \\
&[R_{\mathrm{line}}] [R_{\mathrm{thru}}]^{-1} [R_a] = [R_a] [R_l]
\end{align}
より，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(a)} & r_{12}^{(a)} \\ r_{21}^{(a)} & r_{22}^{(a)} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(a)} & r_{12}^{(a)} \\ r_{21}^{(a)} & r_{22}^{(a)} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{-\gamma l} & 0 \\ 0 & e^{\gamma l} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
r_{11} r_{11}^{(a)} + r_{12} r_{21}^{(a)} = r_{11}^{(a)} e^{-\gamma l} \label{eq:t11t11}\\
r_{11} r_{12}^{(a)} + r_{12} r_{22}^{(a)} = r_{12}^{(a)} e^{\gamma l} \label{eq:t11t12}\\
r_{21} r_{11}^{(a)} + r_{22} r_{21}^{(a)} = r_{21}^{(a)} e^{-\gamma l} \label{eq:t21t11}\\
r_{21} r_{12}^{(a)} + r_{22} r_{22}^{(a)} = r_{22}^{(a)} e^{\gamma l} \label{eq:t21t12}
\end{gather}
式\eqref{eq:t11t11}と式\eqref{eq:t21t11}の比をとり，\(e^{-\gamma l}\)を消去すると，
\begin{gather}
\frac{r_{11} r_{11}^{(a)} + r_{12} r_{21}^{(a)}}{r_{21} r_{11}^{(a)} + r_{22} r_{21}^{(a)}}
= \frac{r_{11}^{(a)}}{r_{21}^{(a)}}
\end{gather}
整理すると次の2次方程式となる．
\begin{gather}
r_{21} \left( \frac{r_{11}^{(a)}}{r_{21}^{(a)}} \right) ^2
+ (r_{22}-r_{11}) \frac{r_{11}^{(a)}}{r_{21}^{(a)}} -r_{12} = 0
\end{gather}
また，式(\ref{eq:t11t12})と式(\ref{eq:t21t12})の比をとり，\(e^{\gamma l}\)を消去して整理すると，
\begin{gather}
\frac{t_{11} t_{12}^{(a)} + t_{12} t_{22}^{(a)}}{t_{21} t_{12}^{(a)} + t_{22} t_{22}^{(a)}} = \frac{t_{12}^{(a)}}{t_{22}^{(a)}}
\\
r_{21} \left( \frac{r_{12}^{(a)}}{r_{22}^{(a)}} \right) ^2
+ (r_{22}-r_{11}) \frac{r_{12}^{(a)}}{r_{22}^{(a)}} -r_{12} = 0
\end{gather}
上の二つの2次方程式は，係数が同じゆえ，
\begin{gather}
r_{21} x^2 + (r_{22}-r_{11}) x -r_{12} = 0
\end{gather}
よって，解は，
\begin{gather}
x = \frac{-(r_{22}-r_{11}) \pm \sqrt{(r_{22}-r_{11})^2 + 4 r_{21} r_{12}}}{2r_{21}}
= x_1, x_2
\end{gather}
RマトリクスからSマトリクスに変換して，
\begin{eqnarray}
x_1 &=& \frac{r_{11}^{(a)}}{r_{21}^{(a)}}
= \frac{-e_{00}e_{11}+e_{01}e_{01}}{-e_{11}}
= e_{00} - \frac{e_{01}e_{10}}{e_{11}}
\\
x_2 &=& \frac{r_{12}^{(a)}}{r_{22}^{(a)}} = e_{00}
\end{eqnarray}
とおく．誤差回路による反射が大きくないとすれば，\(|x_1| > |x_2|\)となるような解を選べばよい．したがって，
\begin{eqnarray}
e_{00} &=& x_2
\\
\frac{e_{01}e_{10}}{e_{11}} &=& x_2 -x_1
\end{eqnarray}
同様にして，ポート2-3間の誤差回路のパラメータも求めることができ，
\begin{eqnarray}
[R_{\mathrm{line}}]
&=& [R_a] [R_l] [R_b]
\nonumber \\
&=& [R_{\mathrm{thru}}] [R_b]^{-1} [R_l] [R_b]
\end{eqnarray}
変形して，
\begin{align}
&[R_{\mathrm{thru}}]^{-1} [R_{\mathrm{line}}] = [R_b]^{-1} [R_l] [R_b]
\\
&[R_b] [R_{\mathrm{thru}}]^{-1} [R_{\mathrm{line}}]= [R_l] [R_b]
\end{align}
いま，
\begin{align}
&[R_{\mathrm{thru}}]^{-1} [R_{\mathrm{line}}] \equiv
\begin{pmatrix}
r_{11}' & r_{12}' \\ r_{21}' & r_{22}' \\
\end{pmatrix}
\\
&[R_b] \equiv
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(b)} & r_{12}^{(b)} \\ r_{21}^{(b)} & r_{22}^{(b)} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
とおくと，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(b)} & r_{12}^{(b)} \\ r_{21}^{(b)} & r_{22}^{(b)} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
r_{11}' & r_{12}' \\ r_{21}' & r_{22}' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
e^{-\gamma l} & 0 \\ 0 & e^{\gamma l} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
r_{11}^{(b)} & r_{12}^{(b)} \\ r_{21}^{(b)} & r_{22}^{(b)} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
r_{11}^{(b)} r_{11}' + r_{12}^{(b)} r_{21}' = r_{11}^{(b)} e^{-\gamma l} \label{eq:t11bt11} \\
r_{11}^{(b)} r_{12}' + r_{12}^{(b)} r_{22}' = r_{12}^{(b)} e^{-\gamma l} \label{eq:t11bt12} \\
r_{21}^{(b)} r_{11}' + r_{22}^{(b)} r_{21}' = r_{21}^{(b)} e^{\gamma l} \label{eq:t21bt11} \\
r_{21}^{(b)} r_{12}' + r_{22}^{(b)} r_{22}' = r_{22}^{(b)} e^{\gamma l} \label{eq:t21bt12}
\end{gather}
式\eqref{eq:t11bt11}と式\eqref{eq:t11bt12}の比をとり\(e^{-\gamma l}\)を消去，
\begin{gather}
\frac{r_{11}^{(b)} r_{11}' + r_{12}^{(b)} r_{21}'}{r_{11}^{(b)} r_{12}' + r_{12}^{(b)} r_{22}'} = \frac{r_{11}^{(b)}}{r_{12}^{(b)}}
\nonumber \\
r_{12}' \left( \frac{r_{11}^{(b)}}{r_{12}^{(b)}} \right) ^2
+ (r_{22}'-r_{11}') \frac{r_{11}^{(b)}}{r_{12}^{(b)}} -r_{21}' = 0
\end{gather}
また，式\eqref{eq:t21bt11}と式\eqref{eq:t21bt12}の比をとり\(e^{\gamma l}\)を消去して整理すると，
\begin{gather}
\frac{r_{21}^{(b)} r_{11}' + r_{22}^{(b)} r_{21}'}{r_{21}^{(b)} r_{12}' + r_{22}^{(b)} r_{22}'} = \frac{r_{21}^{(b)}}{r_{22}^{(b)}}
\nonumber \\
r_{12}' \left( \frac{r_{21}^{(b)}}{r_{22}^{(b)}} \right) ^2
+ (r_{22}'-r_{11}') \frac{r_{21}^{(b)}}{r_{22}^{(b)}} -r_{21}' = 0
\end{gather}
上の二つの方程式は，
\begin{gather}
r_{12}' y^2 + (r_{22}'-r_{11}') y -r_{21}' = 0
\end{gather}
で表され，解は\((|y_1| > |y_2|)\)，
\begin{gather}
y = \frac{-(r'_{22}-r'_{11}) \pm \sqrt{(r'_{22}-r'_{11})^2 + 4 r'_{12} r'_{21}}}{2r'_{12}}
= y_1, y_2
\end{gather}
RマトリクスからSマトリクスに変換して，
\begin{eqnarray}
y_1 &=& \frac{r_{11}^{(b)}}{r_{12}^{(b)}}
= \frac{-e_{22}e_{33}+e_{23}e_{32}}{e_{22}}
= -e_{33} - \frac{e_{23}e_{32}}{e_{22}}
\\
y_2 &=& \frac{r_{21}^{(b)}}{r_{22}^{(b)}} = -e_{33}
\end{eqnarray}
したがって，
\begin{eqnarray}
e_{33} &=& -y_2
\\
\frac{e_{23}e_{32}}{e_{22}} &=& y_1 -y_2
\end{eqnarray}
反射器（Reflect）
測定ポートに反射器（Reflect）を接続した場合を考える（反射係数\(\Gamma _L\)）．
測定ポート間に伝送線路を接続した場合
ポート0での反射係数\(S_{11}^{\mathrm{(R)}}\)，およびポート3での反射係数\(S_{22}^{\mathrm{(R)}}\)は，
\begin{gather}
S_{11}^{\mathrm{(R)}} = e_{00} + \frac{e_{01} e_{10} \Gamma _L }{1-e_{11} \Gamma _L}
= x_2 + \frac{e_{11} (x_2-x_1)\Gamma _L}{1-e_{11} \Gamma _L} \\
S_{22}^{\mathrm{(R)}} = e_{33} + \frac{e_{23} e_{32} \Gamma _L }{1-e_{22} \Gamma _L}
= -y_2 + \frac{e_{22} (y_1-y_2)\Gamma _L}{1-e_{22} \Gamma _L}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\Gamma _L = \frac{S_{11}^{\mathrm{(R)}} - x_2}{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_1) e_{11}}
= \frac{S_{22}^{\mathrm{(R)}} + y_2}{(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_1) e_{22}}\\
\therefore
\frac{e_{22}}{e_{11}}
= \frac{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_1)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_2)}{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_2)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_1)}
\end{gather}
一方，スルーのときの反射係数\(S_{11}^{\mathrm{(T)}}\)，\(S_{22}^{\mathrm{(T)}}\)は，
\begin{eqnarray}
S_{11}^{\mathrm{(T)}}
&=& e_{00} + \frac{e_{22} e_{01} e_{10}}{1-e_{11}e_{22}}
= x_2 + \frac{e_{11}e_{22}(x_2-x_1)}{1-e_{11}e_{22}}
\nonumber \\
&=& \frac{x_2-e_{11}e_{22}x_1}{1-e_{11}e_{22}}\\
S_{22}^{\mathrm{(T)}}
&=& e_{33} + \frac{e_{22} e_{23} e_{32}}{1-e_{11}e_{22}}
= -y_2 + \frac{e_{11}e_{22}(y_1-y_2)}{1-e_{11}e_{22}}
\nonumber \\
&=& \frac{-y_2+e_{11}e_{22}y_1}{1-e_{11}e_{22}}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
e_{11} e_{22} = \frac{S_{11}^{\mathrm{(T)}}-x_1}{S_{11}^{\mathrm{(T)}}-x_2}
= \frac{S_{22}^{\mathrm{(T)}}+y_1}{S_{22}^{\mathrm{(T)}}+y_2}
\end{gather}
したがって，
\begin{gather}
e_{11}^2
= \frac{(S_{11}^{\mathrm{(T)}}-x_1) (S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_2)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_1)}{(S_{11}^{\mathrm{(T)}}-x_2) (S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_1)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_2)}
\\
e_{22} = \frac{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_1)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_2)}{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_2)(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_1)} e_{11}
\end{gather}
ここで，\(\Gamma_L\)の推定値を用いて，
\begin{gather}
e_{11} = \frac{S_{11}^{\mathrm{(R)}} - x_2}{(S_{11}^{\mathrm{(R)}} -x_1) \Gamma _L}, \ \ \ \ \
e_{22} = \frac{S_{22}^{\mathrm{(R)}} + y_2}{(S_{22}^{\mathrm{(R)}} +y_1) \Gamma _L}
\label{eq:e11e22}
\end{gather}
より推定値を求め，\(e_{11}\)，\(e_{22}\)の符号を決定すればよい．
さらに\(e_{10} e_{32}\)，\(e_{01} e_{23}\)は，
SOLT校正のスルーの式と同様であり，スルーの透過係数\(S_{21}^{\mathrm{(T)}}\)，\(S_{12}^{\mathrm{(T)}}\)がわかれば求められる．したがって，
\begin{gather}
e_{00}, \ e_{11}, \ e_{10}e_{01}, \ e_{33}, \ e_{22}, \ e_{23}e_{32}, \ e_{10}e_{32}, \ e_{01}e_{23}
\nonumber
\end{gather}
が決定され，ディエンベッディングによって被測定素子のSパラメータを得ることができる．
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