入力インピーダンスと電圧定在波比

　入力インピーダンスが純抵抗，つまり

z_{i n} = r (j x = 0)

で与えられるとき，電圧反射係数

Γ

は，

\begin{array}{rcl} Γ |_{j x = 0} & = & \frac{z_{i n} - 1}{z_{i n} + 1} = \frac{r - 1}{r + 1} \\ (1) & = & {\begin{aligned} | Γ | & (r \geq 1) \\ - | Γ | & (r \leq 1) \end{aligned} \end{array}

これより，規格化入力インピーダンス

z_{i n}

は，

\begin{array}{rcl} z_{i n} & = & r = \frac{1 + Γ}{1 - Γ} = \frac{1 + (\pm | Γ |)}{1 - (\pm | Γ |)} \\ (2) & = & {\begin{array}{cl} \frac{1 + | Γ |}{1 - | Γ |} = ρ & (r \geq 1) \\ \frac{1 - | Γ |}{1 + | Γ |} = \frac{1}{ρ} & (r \leq 1) \end{array} \end{array}

となり，電圧定在波比

ρ

もわかる．

　電圧定在波の最大の位置での電圧反射係数は $Γ = | Γ |$ ゆえ，その点での規格化入力インピーダンス $z_{i n}$ は， $\begin{matrix} (3) & z_{i n} |_{V_{m a x}} = {\frac{1 + Γ}{1 - Γ} |}_{V_{m a x}} = \frac{1 + | Γ |}{1 - | Γ |} = ρ \end{matrix}$ ここで， $ρ$ は電圧定在波比を示し， $\begin{matrix} (4) & ρ = \frac{| V |_{m a x}}{| V |_{m i n}} \geq 1 \end{matrix}$ このとき， $z_{i n} (= r + j x)$ は実数となる（純抵抗）．したがって， $r \geq 1$ ， $x = 0$ ．これは，複素平面の正の実軸上である．

　電圧定在波の最小の位置での電圧反射係数は $Γ = - | Γ |$ ゆえ，その点での規格化入力アドミタンス $y_{i n}$ は， $\begin{array}{rcl} y_{i n} |_{V_{m i n}} & = & {\frac{1 - Γ}{1 + Γ} |}_{V_{m i n}} = \frac{1 - (- | Γ |)}{1 + (- | Γ |)} = \frac{1 + | Γ |}{1 - | Γ |} = ρ \\ (5) & = & \frac{1}{z_{i n}} |_{V_{m i n}} \geq 1 \end{array}$ このとき， $y_{i n} (= g + j b)$ は実数となる（純コンダクタンス）．したがって， $g \geq 1$ ， $b = 0$ ．あるいは， $z_{i n} (= r + j x)$ が実数となり（純抵抗）， $r \leq 1$ ， $x = 0$ ．これは，複素平面の負の実軸上であり，スミス図表では電圧定在波比 $ρ$ の読み取りにも対応している．

　スミス図表を用いる場合，

点P $_{1}$ ：規格化負荷インピーダンス $z_{L} = 0.8 + j 1.0$ をプロット．
点P $_{2}$ ：点P $_{1}$ をとおる等反射係数円と正の実軸との交点（電圧最大）．
図表より，電圧定在波比 $ρ = z_{i n} = r = 3$ がわかる．

この手順を逆にすれば，電圧定在波 $ρ$ ，負荷点から電圧定在波の最大の位置までの距離 $l$ がわかれば，実軸上の点P $_{2}$ を反時計回りに $2 β l$ 回転させ，規格化負荷インピーダンス（点P $_{1}$ ）を求めることができる．