入力インピーダンスと電圧定在波比

　入力インピーダンスが純抵抗，つまり\(z_{in}=r (jx=0)\)で与えられるとき，電圧反射係数\(\Gamma\)は， \begin{eqnarray} \Gamma \Big| _{jx=0} &=& \frac{z_{in} -1}{z_{in}+1} = \frac{r-1}{r+1} \nonumber \\ &=& \left\{ \begin {array}{rl} \displaystyle{|\Gamma|} & (r \geq 1) \\ \displaystyle{-|\Gamma|} & (r \leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray} これより，規格化入力インピーダンス\(z_{in}\)は， \begin{eqnarray} z_{in} &=& r = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{1+(\pm |\Gamma|)}{1-(\pm |\Gamma|)} \nonumber \\ &=& \left\{ \begin {array}{cl} \displaystyle{\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}} = \rho & (r \geq 1) \\ \displaystyle{\frac{1-|\Gamma|}{1+|\Gamma|}} = \frac{1}{\rho} & (r \leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray} となり，電圧定在波比\(\rho\)もわかる．

　電圧定在波の最大の位置での電圧反射係数は\(\Gamma = |\Gamma|\)ゆえ，その点での規格化入力インピーダンス\(z_{in}\)は， \begin{gather} z_{in} \Big|_{V_{max}} = \left. \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} \right| _{V_{max}} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} = \rho \end{gather} ここで，\(\rho\)は電圧定在波比を示し， \begin{gather} \rho = \frac{|V|_{max}}{|V|_{min}} \geq 1 \end{gather} このとき，\(z_{in} (= r + jx)\)は実数となる（純抵抗）．したがって，\(r \geq 1\)，\(x=0\)．これは，複素平面の正の実軸上である．

　電圧定在波の最小の位置での電圧反射係数は\(\Gamma = -|\Gamma|\)ゆえ，その点での規格化入力アドミタンス\(y_{in}\)は， \begin{eqnarray} y_{in} \Big|_{V_{min}} &=& \left. \frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \right| _{V_{min}} = \frac{1-(-|\Gamma|)}{1+(-|\Gamma|)} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} = \rho \nonumber \\ &=& \frac{1}{z_{in}} \Big|_{V_{min}} \geq 1 \end{eqnarray} このとき，\(y_{in} (= g + jb)\)は実数となる（純コンダクタンス）．したがって，\(g \geq 1\)，\(b=0\)． あるいは，\(z_{in} (= r + jx)\)が実数となり（純抵抗），\(r \leq 1\)，\(x=0\)．これは，複素平面の負の実軸上であり，スミス図表では電圧定在波比\(\rho\)の読み取りにも対応している．

　スミス図表を用いる場合，

  • 点P\(_1\)：規格化負荷インピーダンス\(z_L=0.8 + j1.0\)をプロット．
  • 点P\(_2\)：点P\(_1\)をとおる等反射係数円と正の実軸との交点（電圧最大）．
  • 図表より，電圧定在波比\(\rho =z_{in} =r = 3\)がわかる．

    • この手順を逆にすれば，電圧定在波\(\rho\)，負荷点から電圧定在波の最大の位置までの距離\(l\)がわかれば， 実軸上の点P\(_2\)を反時計回りに\(2\beta l\)回転させ，規格化負荷インピーダンス（点P\(_1\)）を求めることができる．

    電圧定在波比