スミス図表の使い方

【例題1】

　次の規格化負荷\(z_1\)をスミス図表にプロットせよ．

• \(z_1 = 0.2+j0.5\)
• \(z_1 = 0.5-j0.5\)
• \(z_1 = 1-j2\)
• \(z_1 = 2+j1\)

略解

【例題2】

　次の規格化入力インピーダンス\(z_{in} =z_L+\frac{1}{j\omega C}\)をスミス図表にプロットせよ． ただし，\(0 \leq \omega \leq \infty \)．

• \(z_L = 0.2\)
• \(z_L = 0.5\)
• \(z_L = 1\)
• \(z_L = 2\)

略解



【例題3】

　次の規格化入力インピーダンス\(z_{in} =z_L+\frac{1}{j\omega C}\)をスミス図表にプロットせよ． ただし，\(0 \leq \omega \leq \infty \)．

• \(z_1 = 0.2+j0.5\)
• \(z_1 = 0.5-j0.5\)
• \(z_1 = 1-j2\)
• \(z_1 = 2+j1\)

略解



伝送線路上の入力インピーダンス

　負荷点から \(l=0.2 \lambda_g\) 離れた無損失線路上の点での反射係数は， \begin{gather} \Gamma (l)= \Gamma _L e^{-j2\beta l} \end{gather} スミス図表において，規格化負荷インピーダンス\(z_L\) \begin{gather} z_L= r _1+jx_1 = 0.5 + j0.5 \end{gather} の点P\(_1\)を，等反射係数円上において位相角 [rad] \begin{gather} \theta = 2\beta l = 2 \cdot \frac{2\pi}{\lambda_g} \cdot 0.2 \lambda_g = 0.8 \pi \end{gather} だけ時計回りに回転させた点P\(_2\)から入力インピーダンス\(z_{in} (l)\)がわかる（スミス図表参照）．





　数式を用いて求める場合，規格化負荷インピーダンス\(z_L\)が \begin{gather} z_L= r _1+jx_1 = 0.5 + j0.5 \end{gather} のとき，負荷点での電圧反射係数\(\Gamma_L\)は， \begin{eqnarray} \Gamma _L &=& \frac{z_L-1}{z_L+1} = \frac{(0.5 + j0.5)-1}{(0.5 + j0.5)+1} \nonumber \\ &=& -0.2 + j 0.4 = 0.447 e^{j 0.65 ^\pi} \end{eqnarray} 負荷点から\(l=0.2 \lambda_g\)離れた無損失伝送線路上の点での電圧反射係数は， \begin{eqnarray} \Gamma &=& \Gamma _L e^{-j2\beta l} = \Gamma _L e^{-j2\frac{2\pi}{\lambda_g} \cdot 0.2 \lambda_g} \nonumber \\ &=& (-0.2 + j 0.4) e^{-j0.8 \pi} \simeq 0.4 - j0.2 \end{eqnarray} よって，規格化入力インピーダンス\(z_{in}\)，規格化入力アドミタンス\(y_{in}\)は， \begin{eqnarray} z_{in} &=& \frac{1+\Gamma _L e^{-j2\beta l}}{1-\Gamma _L e^{-j2\beta l}} = \frac{1+(0.4 - j0.2)}{1-(0.4 - j0.2)} \simeq 2-j1 \\ y_{in} &=& \frac{1}{z_{in}} = \frac{1}{2-j1} = 0.4 + j0.2 \end{eqnarray}

損失のある伝送線路

　負荷点から$l$離れた点での電圧反射係数\(\Gamma(l)\)について，伝送線路に損失がある場合（\(\alpha \neq 0\)）とない場合（\(\alpha=0\)）の比は\(e^{-2\alpha l}\)，両者の差は， \begin{eqnarray} \Gamma (l) - \Gamma (l) |_{\alpha=0} &=& \Gamma _L e^{-2(\alpha + j \beta ) l} - \Gamma _L e^{-j 2\beta l} \nonumber \\ &=& \Gamma _Le^{-j2\beta l} (1- e^{-2\alpha l} ) \end{eqnarray}



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