Smith_chart

スミス図表の使い方

【例題1】

　次の規格化負荷$z_1$をスミス図表にプロットせよ．

$z_1 = 0.2+j0.5$
$z_1 = 0.5-j0.5$
$z_1 = 1-j2$
$z_1 = 2+j1$

略解

【例題2】

　次の規格化入力インピーダンス$z_{in} =z_L+\frac{1}{j\omega C}$をスミス図表にプロットせよ．ただし，$0 \leq \omega \leq \infty $．

$z_L = 0.2$
$z_L = 0.5$
$z_L = 1$
$z_L = 2$

略解

【例題3】

　次の規格化入力インピーダンス$z_{in} =z_L+\frac{1}{j\omega C}$をスミス図表にプロットせよ．ただし，$0 \leq \omega \leq \infty $．

$z_1 = 0.2+j0.5$
$z_1 = 0.5-j0.5$
$z_1 = 1-j2$
$z_1 = 2+j1$

略解

伝送線路上の入力インピーダンス

　負荷点から $l=0.2 \lambda_g$ 離れた無損失線路上の点での反射係数は， \begin{gather} \Gamma (l)= \Gamma _L e^{-j2\beta l} \end{gather} スミス図表において，規格化負荷インピーダンス$z_L$ \begin{gather} z_L= r _1+jx_1 = 0.5 + j0.5 \end{gather} の点P$_1$を，等反射係数円上において位相角 [rad] \begin{gather} \theta = 2\beta l = 2 \cdot \frac{2\pi}{\lambda_g} \cdot 0.2 \lambda_g = 0.8 \pi \end{gather} だけ時計回りに回転させた点P$_2$から入力インピーダンス$z_{in} (l)$がわかる（スミス図表参照）．

負荷点P$_1$：$z_{L}= r _1+jx_1 = 0.5 + j0.5$

　数式を用いて求める場合，規格化負荷インピーダンス$z_L$が \begin{gather} z_L= r _1+jx_1 = 0.5 + j0.5 \end{gather} のとき，負荷点での電圧反射係数$\Gamma_L$は， \begin{eqnarray} \Gamma _L &=& \frac{z_L-1}{z_L+1} = \frac{(0.5 + j0.5)-1}{(0.5 + j0.5)+1} \nonumber \\ &=& -0.2 + j 0.4 = 0.447 e^{j 0.65 ^\pi} \end{eqnarray} 負荷点から$l=0.2 \lambda_g$離れた無損失伝送線路上の点での電圧反射係数は， \begin{eqnarray} \Gamma &=& \Gamma _L e^{-j2\beta l} = \Gamma _L e^{-j2\frac{2\pi}{\lambda_g} \cdot 0.2 \lambda_g} \nonumber \\ &=& (-0.2 + j 0.4) e^{-j0.8 \pi} \simeq 0.4 - j0.2 \end{eqnarray} よって，規格化入力インピーダンス$z_{in}$，規格化入力アドミタンス$y_{in}$は， \begin{eqnarray} z_{in} &=& \frac{1+\Gamma _L e^{-j2\beta l}}{1-\Gamma _L e^{-j2\beta l}} = \frac{1+(0.4 - j0.2)}{1-(0.4 - j0.2)} \simeq 2-j1 \\ y_{in} &=& \frac{1}{z_{in}} = \frac{1}{2-j1} = 0.4 + j0.2 \end{eqnarray}

損失のある伝送線路

　負荷点から$l$離れた点での電圧反射係数$\Gamma(l)$について，伝送線路に損失がある場合（$\alpha \neq 0$）とない場合（$\alpha=0$）の比は$e^{-2\alpha l}$，両者の差は， \begin{eqnarray} \Gamma (l) - \Gamma (l) |_{\alpha=0} &=& \Gamma _L e^{-2(\alpha + j \beta ) l} - \Gamma _L e^{-j 2\beta l} \nonumber \\ &=& \Gamma _Le^{-j2\beta l} (1- e^{-2\alpha l} ) \end{eqnarray}